2022年一元二次函数知识点汇总

1、学习必备欢迎下载姓名二次函数总复习（知识点）1. 定义：一般地，如果cbacbxaxy,(2是常数，)0a，那么y叫做x的一元二次函数. 2. 二次函数2axy的性质(1) 抛物线2axy）（0a的顶点是原点，对称轴是y轴. (2) 函数2axy的图像与a的符号关系：当0a时抛物线开口向上顶点为其最低点；当0a时抛物线开口向下顶点为其最高点3. 二次函数cbxaxy2的图像是对称轴平行于( 包括重合 )y轴的抛物线 . 4. 二次函数cbxaxy2用配方法可化成：khxay2的形式，其中abackabh4422，. 5. 抛物线cbxaxy2的三要素：开口方向、对称轴、顶点. a决定抛物线的开

2、口方向：当0a时，开口向上；当0a时，开口向下；a越小，抛物线的开口越大，a越大，抛物线的开口越小。对称轴为平行于y轴( 或重合 ) 的直线，记作hx. 特别地，y轴记作直线0 x. 定点是抛物线的最值点 最大值 (0a时) 或最小值 (0a时) ，坐标为 (h,k) 。6. 求抛物线的顶点、对称轴的方法(1) 公式法：abacabxacbxaxy442222，顶点是），（abacab4422，对称轴是直线abx2. (2) 配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为khxay2的形式，得到顶点为 (h,k)，对称轴是hx. (3) 运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以抛

3、物线上纵坐标相等的两个点连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. 用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失7. 抛物线cbxaxy2中，cba,的作用(1)a决定开口方向及开口大小，这与2axy中的a完全一样 . (2)b和a共同决定抛物线对称轴的位置. 由于抛物线cbxaxy2的对称轴是直线abx2, 故：0b时，对称轴为y轴；0ab时, 对称轴在y轴左侧；0ab时, 对称轴在y轴右侧. 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - -精品学习资料

4、可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载(3)c的大小决定抛物线cbxaxy2与y轴交点的位置. 当0 x时，cy，抛物线cbxaxy2与y轴有且只有一个交点(0 ，c)：0c，抛物线经过原点; 0c, 与y轴交于正半轴；0c, 与y轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时仍成立. 如抛物线的对称轴在y轴右侧，则0ab. 8. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：2axy；kaxy2；2hxay；khxay2；cbxaxy2. 其中左右移动可得到，再上下移动可得到。口诀“左加

5、右减，上加下减”图像特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标2axy当0a时开口向上当0a时开口向下0 x(y轴) (0,0) kaxy20 x(y轴) (0, k) 2hxayhx(h,0) khxay2hx(h,k) cbxaxy2abx2(abacab4422，) 9. 用待定系数法求二次函数的解析式 (1) 一般式：cbxaxy2. 已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式. (2) 顶点式：khxay2. 已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. (3) 交点式：已知图像与x轴的交点坐标1x、2x，通常选用交点式：21xxxxay. 10. 抛物线与y轴的交点 (1)y轴与抛

6、物线cbxaxy2得交点为 (c,0) (2) 抛物线与x轴的交点二次函数cbxaxy2的图像与x轴的两个交点的横坐标1x、2x，是对应一元二次方程精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载02cbxax的两个实数根 . 抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点0抛物线与x轴相交；有一个交点( 顶点

7、在x轴上 )0抛物线与x轴相切；没有交点0抛物线与x轴相离 . 11二次函数与一元二次方程的关系：(1) 一元二次方程cbxax20就是二次函数cbxaxy2当函数 y 的值为 0 时的情况(2) 二次函数cbxaxy2的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；当二次函数cbxaxy2的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当0y时自变量x的值，即一元二次方程02cbxax的根(3) 当二次函数cbxaxy2的图象与x轴有两个交点时，则一元二次方程cbxaxy2有两个不相 等 的 实 数 根 ； 当 二 次 函 数cbxaxy2的 图 象 与x轴 有 一 个 交 点 时 ，

8、 则 一 元 二 次 方 程02cbxax有两个相等的实数根；当二次函数cbxaxy2的图象与x轴没有交点时，则一元二次方程02cbxax没有实数根12. 二次函数的应用：(1) 二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大( 小) 值。一般而言，最大( 小 ) 值会在顶点处取得，达到最大( 小) 值时的x即为顶点横坐标值，最大 ( 小) 值也就是顶点纵坐标值。(2) 二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系；运用二次函数的知识解决实际问题中的最大( 小) 值附： 将二次函数的一般式cbxaxy2化为顶点式khxay2的方法：( 可用配方

9、法和公式法) 典型例题精讲：某商人如果将进货单价为8 元的商品按每件10 元出售，每天可销售100 件，现在他采用提高出售价格，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨价一元，其销售量将减少10 件，问他将出售价定为多少元时，才能使每天所获利润最大？并且求出最大利润是多少？解：设涨价x 元，即售出价为（10+x ）元，利润为y 元，依题意得：y=（10+x-8 ）（ 100-10 x ）=（2+x ）（ 100-10 x ）= -10 x 2+80 x+200 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载 y= -10 （x-4 ）2+360 当涨价x 为 4 元，即售价为10+4=14 元时每天所赚的利润最大，最大利润为36