鲁京津琼专用2020版高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形43三角函数的图象与性质教案含解析201908312

1、 1 §4.3 三角函数的图象与性质 最新考纲 1.能画出ysin x，ycos x，ytan x的图象，了解三角函数的周期性.2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在0,2，正切函数在? 2， 2上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴交点等) 1用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)在正弦函数ysinx，x0,2的图象中，五个关键点是：(0,0)，? 2，1，(，0)，?3 2，1，(2，0) (2)在余弦函数ycosx，x0,2的图象中，五个关键点是：(0,1)，? 2，0，( ， 1)，?3 2，0，(2，1) 2正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中kZ) 函数 y

2、sinx ycosx ytanx 图象 定义域 R R 错误! xk错误! 值域 周期性 奇偶性 递增区间 递减区间 1,1 2 奇函数 ?2k2，2k2 ?2k2，2k32 1,1 2 偶函数 2k，2k 2k，2k R 奇函数 ?k2，k2 无 2 对称中心 (k，0) ?k2，0 ?k2，0，且 对称轴方程 xk2 xk 无 概念方法微思考 1正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是多少？相邻两个对称中心的距离呢？ 提示 正 (余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是半个周期；相邻两个对称中心的距离也为半个周期 2思考函数f( x)Asin( x)(A0，0)是奇函数，偶函数的充要条件？ 提

3、示 (1)f(x)为偶函数的充要条件是2k(kZ)； (2)f(x)为奇函数的充要条件是k(kZ) 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“×”) (1)ysinx在第一、第四象限是增函数( × ) (2)由sin?6 23sin6知，23是正弦函数ysinx(x R)的一个周期( × ) (3)正切函数ytan x在定义域内是增函数( × ) (4)已知yksinx1，xR，则y的最大值为k1.( × ) (5)ysin|x |是偶函数( ) 题组二 教材改编 2函数f(x)cos ? ?2x4的最小正周期是 答案 3

4、y3sin?2x6在区间?0，2上的值域是 答案 ?32，3 解析 当x?0，2时，2x6?6，56， sin?2x6?12，1， 故3sin?2x6?32，3， 3 即y3sin?2x 6的值域为?32，3. 4函数ytan?2x3 4的单调递减区间为 答案 ? 8k 2，5 8k 2(kZ) 解析 由 2k<2x3 4< 2k(kZ)， 得 8k 2<x<5 8k 2(kZ)， 所以ytan?2x3 4的单调递减区间为 ? 8k 2，5 8k 2(kZ) 题组三 易错自纠 5下列函数中最小正周期为且图象关于直线x 3对称的是( ) Ay2sin?2x 3 By2si

5、n?2x 6 Cy2sin?x2 3 Dy2sin?2x 3 答案 B 解析 函数y2sin?2x 6的最小正周期T2 2， 又sin?2× 3 61， 函数y2sin?2x 6的图象关于直线x 3对称 6函数f(x)4sin? 32x的单调递减区间是 答案 ?k 12，k5 12(kZ) 解析 f(x)4sin? 32x 4sin?2x 3. 所以要求f(x)的单调递减区间， 只需求y4sin?2x 3的单调递增区间 由 22k2x 3 22k(kZ)，得 12kx5 12k(kZ) 4 所以函数f(x)的单调递减区间是 ? 12k，5 12k(kZ) 7cos23°，s

6、in68°，cos97°的大小关系是 答案 sin68°>cos23°>cos97° 解析 sin68°cos22°， 又ycosx在0°，180°上是减函数， sin68°>cos23°>cos97°. 题型一 三角函数的定义域 1函数f(x)2tan?2x 6的定义域是( ) A.?x? x 6 B.?x? x 12 C.?x? xk 6?kZ? D.?x? xk 2 6?kZ? 答案 D 解析 由正切函数的定义域，得2x 6k 2，kZ，即xk

7、2 6(kZ)，故选D. 2函数y sinxcosx的定义域为 答案 ?2k 4，2k5 4(kZ) 解析 方法一 要使函数有意义，必须使sinxcosx0.利用图象，在同一坐标系中画出0,2上ysinx和ycosx的图象，如图所示 在0,2内，满足sinxcosx的x为 4，5 4，再结合正弦、余弦函数的周期是2，所以原函数的定义域为 ?x? 2k 4x2k5 4，kZ. 方法二 利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图中阴影部分所示) 5 所以定义域为?x? 2k 4x2k5 4，kZ. 3函数ylg(sinx) cosx12的定义域为 答案 ?x? 2k< x2k3，kZ 解析

8、 要使函数有意义，则? sinx>0，cosx120， 即? sinx>0，cosx12， 解得? 2k<x<2k， kZ，32 kx32k，kZ， 所以2 k<x32k(kZ)， 所以函数的定义域为?x? 2k< x2k3，kZ. 思维升华三角函数定义域的求法 求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解 题型二 三角函数的值域(最值) 例1 (1)函数y2sin? ? x63(0x9)的最大值与最小值之和为( ) A23B 0C1D13 答案 A 解析 因为0x9，所以 3 x6 376， 6 所以32sin

9、? ?x 6 31，则3y2. 所以ymaxymin 23. (2)函数ycos2x2cosx的值域是( ) A1,3 B.?32，3 C.?32，1 D.?32，3 答案 B 解析 ycos2x2cosx2cos2x2cosx12?cosx12232，因为cosx1,1，所以原式的值域为?32，3. 思维升华求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型： (1)形如yasinxbcosxc的三角函数化为yAsin(x)c的形式，再求值域(最值)； (2)形如yasin2xbsinxc的三角函数，可先设sinxt，化为关于t的二次函数求值域(最值)； (3)形如yasinxcosxb(sinx

10、±cosx)c的三角函数，可先设tsinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(最值) (4)一些复杂的三角函数，可考虑利用导数确定函数的单调性，然后求最值 跟踪训练1(1)已知函数f(x)sin? x6，其中x? ?3，a，若f(x)的值域是?12，1，则实数a的取值范围是 答案 ? ?3， 解析 x? ?3，a， x6? ?6， a6， 当 x6? ? 6，2时，f(x)的值域为?12，1， 由函数的图象(图略 )知，2 a6 76， 3a. (2)(2018·长沙质检)函数ysinxcosxsinxcosx的值域为 答案 ?1 22，1 7 解析 设tsi

11、nxcosx，则t2sin2xcos2x2sinx·cosx，sinxcosx1t2 2 2t 2. yt2 2t121 2(t1)21，t 2 ，2 当t1时，ymax1；当t 2时，ymin12 2. 函数的值域为?1 2 2，1. 题型三 三角函数的周期性与对称性 例2 (1)若函数f(x)2tan?kx 3的最小正周期T满足1<T<2，则自然数k的值为_ 答案 2或3 解析 由题意得1< k<2，kN， 2<k<，kN， k2或3. (2)(2018·武汉模拟)若函数ycos?x 6(N*)图象的一个对称中心是? 6，0，则的最小

12、值为_ 答案 2 解析 由题意知 6 6k 2(kZ)， 6k2(kZ)，又N*，min2. 思维升华 (1)对于函数yAsin(x)(A0，0)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点 (2)求三角函数周期的方法 利用周期函数的定义 利用公式：yAsin(x)和yAcos(x)的最小正周期为2| |，ytan(x)的最小正周期为| |. 跟踪训练2 (1)函数y2sin?2x 3的图象( ) A关于原点对称 8 B关于点? 6，0对称 C关于y轴对称 D关于直线x 6对称 答案 B 解析 当x 6时，函数y2sin? 6×2 30， 函数图象关于点?

13、 6，0对称 (2)若直线x54和x94是函数ycos(x)(>0)图象的两条相邻对称轴，则的一个可能取值为( ) A.34B. 2C. 3D. 4 答案 A 解析 由题意，函数的周期T2×?94542，2 T1，ycos(x)，当x54时，函数取得最大值或最小值，即cos?54±1，可得54k，kZ，k54，kZ.当k2时，可得34. 题型四 三角函数的单调性 命题点1 求三角函数的单调区间 例3(1)函数f(x)sin?2x 3的单调递减区间为 答案 ?k 12，k5 12(kZ) 解析 f(x)sin?2x 3sin?2x 3 sin?2x 3， 由2k 22x

14、 32k 2，kZ， 得k 12xk5 12，kZ. 故所求函数的单调递减区间为 9 ?k 12，k5 12(kZ) (2)函数f(x)tan?2x 3的单调递增区间是 答案 ?k 25 12，k 2 12(kZ) 解析 由k 2<2x 3<k 2(kZ)， 得k 25 12<x<k 2 12(kZ)， 所以函数f(x)tan?2x 3的单调递增区间为 ?k 25 12，k 2 12(kZ) (3)函数y1 2sinx 32cosx?x? 0，2的单调递增区间是 答案 ? 0，6 解析 y12sinx 32cosxsin? x3， 由2k 2 x32k 2(kZ)， 解

15、得2k 56x2k 6(kZ) 函数的单调递增区间为?2k 56，2k 6(kZ)， 又x? 0，2，函数的单调递增区间为? 0，6. 命题点2 根据单调性求参数 例4已知>0，函数f(x)sin? x4在? ?2，上单调递减，则的取值范围是 答案 ? ?12，54 解析 由2<x<，>0，得 24< x4< 4， 又ysinx的单调递减区间为?2k 2，2k 32，kZ， 所以? 2 422k， 4 322k，kZ， 10 解得4k1 22k54，kZ. 又由4k12?2k540，kZ且2k54>0，kZ，得k0，所以?12，54. 引申探究 本例中

16、，若已知>0，函数f(x)cos?x 4在? 2，上单调递增，则的取值范围是 答案 ?32，74 解析 函数ycosx的单调递增区间为2k，2k，kZ，则? 2 42k， 42k，kZ， 解得4k522k1 4，kZ， 又由4k52?2k140，kZ且2k14>0，kZ， 得k1，所以?32，74. 思维升华 (1)已知三角函数解析式求单调区间 求形如yAsin(x)或yAcos(x)(其中>0)的单调区间时，要视“x”为一个整体，通过解不等式求解但如果<0，可借助诱导公式将化为正数，防止把单调性弄错 (2)已知三角函数的单调区间求参数先求出函数的单调区间，然后利用集合

17、间的关系求解 跟踪训练3 (1)已知函数f(x)2sin? 42x，则函数f(x)的单调递减区间为( ) A.?3 82k，7 82k(kZ) B.? 82k，3 82k(kZ) C.?3 8k，7 8k(kZ) D.? 8k，3 8k(kZ) 答案 D 解析 函数的解析式可化为f(x)2sin?2x 4. 11 由2k 22x 42k 2(kZ)，得 8kx3 8k(kZ)，即函数f(x)的单调递减区间为? 8k，3 8k(kZ) (2)(2018·武汉联考)若函数g(x)sin?2x 6在区间?0，a3和?4a，7 6上均单调递增，则实数a的取值范围是 答案 ? 6，7 24 解

18、析 由2k 22x 62k 2(kZ)，可得 k 3xk 6(kZ)， g(x)的单调递增区间为?k 3，k 6(kZ) 又函数g(x)在区间?0，a3和?4a，7 6上均单调递增， ? a3 6，4a2 3，4a<7 6，解得 6a<7 24 . 三角函数的图象与性质 纵观近年高考中三角函数的试题，其有关性质几乎每年必考，题目较为简单，综合性的知识多数为三角函数本章内的知识，通过有效地复习完全可以对此类题型及解法有效攻破，并在高考中拿全分 例(1)在函数ycos|2x|；y|cosx|；ycos?2x 6；ytan?2x 4中，最小正周期为的所有函数为( ) A B C D 答案

19、 A 解析 ycos|2x|cos2x，最小正周期为； 由图象知y|cosx|的最小正周期为； 12 ycos?2x 6的最小正周期T2 2； ytan?2x 4的最小正周期T 2，故选A. (2)(2017·全国)设函数f(x)cos?x 3，则下列结论错误的是( ) Af(x)的一个周期为2 Byf(x)的图象关于直线x8 3对称 Cf(x)的一个零点为x 6 Df(x)在? 2，上单调递减 答案 D 解析 A项，因为f(x)cos?x 3的周期为2k(kZ)，所以f(x)的一个周期为2，A项正确； B项，因为f(x)cos?x 3的图象的对称轴为直线xk 3(kZ)， 所以yf

20、(x)的图象关于直线x8 3对称，B项正确； C项，f(x)cos?x4 3.令x4 3k 2(kZ)，得xk5 6(kZ)，当k1时，x 6， 所以f(x)的一个零点为x 6，C项正确； D项，因为f(x)cos?x 3的单调递减区间为?2k 3，2k2 3(kZ)， 单调递增区间为?2k2 3，2k5 3(kZ)， 所以? 2，2 3是f(x)的单调递减区间，?2 3，是f(x)的单调递增区间，D项错误 故选D. (3)函数f(x)cos(x)(>0)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为 答案 ?2k14，2k3 4，kZ 13 解析 由图象知，周期T2×?541

21、42， 2 2，. 由×14 22k，kZ，不妨取 4， f(x)cos?x 4. 由2k<x 4<2k，kZ， 得2k14<x<2k34，kZ， f(x)的单调递减区间为?2k14，2k34，kZ. (4)设函数f(x)Asin(x)(A，是常数，A>0，>0)若f(x)在区间? 6， 2上具有单调性，且f? 2f?2 3f? 6，则f(x)的最小正周期为 答案 解析 记f(x)的最小正周期为T. 由题意知T2 2 6 3， 又f? 2f?2 3f? 6， 且2 3 2 6， 可作出示意图如图所示(一种情况)： x1? 2 6×12 3

22、， x2? 22 3×127 12， T4x2x17 12 3 4，T . 1(2018·广州质检)下列函数中，是周期函数的为( ) 14 Aysin|x| Bycos|x| Cytan|x| Dy(x1)0 答案 B 解析 cos|x|cosx， ycos|x|是周期函数 2函数f(x)sin?2x 4在区间?0， 2上的最小值为( ) A1 B 22 C.22 D0 答案 B 解析 由已知x? 0，2， 得2 x4? ?4 ，34， 所以sin?2 x4? 22，1， 故函数f(x)sin?2 x4在区间? 0，2 上的最小值为22.故选B. 3函数ysinx2 的图象

23、是( ) 答案 D 解析 函数ysinx2为偶函数，排除A，C； 又当x 2时函数取得最大值，排除B，故选D. 4函数ycos2x2sinx的最大值与最小值分别为( ) A3，1 B3，2 C2，1 D2，2 答案 D 解析 ycos2x2sinx1sin2x2sinx 15 sin2x2sinx1， 令tsinx， 则t1,1，yt22t1(t1)22， 所以ymax2，ymin2. 5已知函数f(x)2sin(2x)?|< 2的图象过点(0 ，3)，则f(x)图象的一个对称中心是( ) A.? 3，0 B.? 6，0 C.? 6，0 D.? 12，0 答案 B 解析 函数f(x)2s

24、in(2x)?|< 2的图象过点(0 ，3)，则f(0)2sin 3， sin 32，又| |<2， 3， 则f(x)2sin?2 x3，令2 x3k(kZ)， 则x k 26(kZ)，当k0时， x6， ? ?6，0是函数f(x)的图象的一个对称中心 6已知函数f(x)sin(2x)，其中为实数，若f(x)?f? ?4对任意xR恒成立，且f? ?6>0，则f(x)的单调递减区间是( ) A.?k，k 4(kZ) B.?k 4，k 4(kZ) C.?k 4，k 34(kZ) D.?k 2，k(kZ) 答案 C 解析 由题意可得函数f(x)sin(2x)的图象关于直线 x4对称

25、， 故有2×4k 2，kZ，即k，kZ.又f? ?6sin? ?3>0，所以2n，nZ，所以f(x)sin(2x2n)sin2x.令2k 22x2k 32，kZ，求得k 4xk 34， 16 kZ，故函数f(x)的单调递减区间为?k 4，k3 4，kZ. 7函数y1tan?x 4的定义域为 答案 ?x? xk 2 4，kZ 解析 要使函数有意义必须有tan?x 40， 则? x 4 2k，kZ，x 4k，kZ. 所以x 4k 2，kZ， 所以xk 2 4，kZ， 所以原函数的定义域为?x? xk 2 4，kZ. 8(2018·珠海模拟)设函数f(x)3sin? 2x

26、4，若存在这样的实数x1，x2，对任意的xR，都有f(x1)f(x)f(x2)成立，则|x1x2|的最小值为 答案 2 解析 |x1x2|的最小值为函数f(x)的半个周期， 又T4，|x1x2|的最小值为2. 9已知函数f(x)2sin?x 61(xR)的图象的一条对称轴为x，其中为常数，且(1,2)，则函数f(x)的最小正周期为 答案 6 5 解析 由函数f(x)2sin?x 61(xR)的图象的一条对称轴为x，可得 6k 2，kZ， k23，又(1,2)，53， 得函数f(x)的最小正周期为25 36 5. 17 10已知函数f(x)?tan?1 2x 6，则下列说法正确的是(填序号) f

27、(x)的周期是 2； f(x)的值域是y|yR，且y0； 直线x5 3是函数f(x)图象的一条对称轴； f(x)的单调递减区间是?2k2 3，2k 3，kZ. 答案 解析 函数f(x)的周期为2，错；f(x)的值域为0，)，错；当x5 3时，12x 62 3k 2，kZ，x5 3不是f(x)的对称轴，错；令k 2<12x 6k，kZ，可得2k2 3<x2k 3，kZ，f(x)的单调递减区间是?2k2 3，2k 3，kZ，正确 11(2017·北京)已知函数f(x) 3cos?2x 32sinxcosx. (1)求f(x)的最小正周期； (2)求证：当x? 4， 4时，f(

28、x)12. (1)解 f(x) 32cos2x32sin2xsin2x 12sin2x 32cos2x sin?2 x3. 所以f(x)的最小正周期T 22. (2)证明 因为4 x4， 所以62 x3 56. 所以sin?2 x3sin? ?612. 所以当x? ? 4，4时，f(x)12. 12(2018·天津河西区模拟)已知函数f(x)2cos2xcos?2 x31. (1)求函数f(x)的最小正周期和对称轴方程； 18 (2)讨论函数f(x)在? 4， 4上的单调性 解 (1)f(x)2cos2xcos?2x 31 cos2x1 2cos2x 32sin2xsin?2 x6，

29、 因为2，所以最小正周期T 2， 令2 x 62k，kZ， 所以对称轴方程为 x6 k2，kZ. (2)令22k2 x 622k，kZ， 得3k x6k，kZ， 设A? ? 4，4， B?x? 3k x6k，kZ， 易知AB? ? 4，6， 所以，当x? ? 4，4时，f(x)在区间? ? 4，6上单调递增；在区间? ? 6， 4上单调递减 13(2018·湖南衡阳八中月考)定义运算：a*b? a，ab，b，a>b.例如1*2，则函数f(x)=sinx*cosx的值域为( ) A.? ?22，22 B 1,1 C.?22，1 D.?1，22 答案 D 解析 根据三角函数的周期性，我们只看两函数在一个最小正周期内的情况即可，设 x0,2，当4x54时，sinxcosx，此时f(x)cosx，f( x)? 1，22，当0x<4 19 或5