空间直线课件

1、3.4 3.4.1. 点向式方程点向式方程 3.4.2. 参数式方程参数式方程 3.4.3. 一般式方程一般式方程 3.4.4. 直线与直线的位置关系直线与直线的位置关系 3.4.5. 直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系空间直线3.4.1 3.4.1 点向式方程点向式方程方向向量的定义：方向向量的定义：xyzosL),(0000zyxM),(zyxM,LM sMM0/),(pnms ),(0000zzyyxxMM 如果一非零向量如果一非零向量 平行平行于一条已知直线于一条已知直线L，向量，向量 称为直线称为直线L的的方向向量方向向量ss.M0.M空间直线pzznyymxx000 直线的点

2、向式方程直线的点向式方程直线的一组直线的一组方向数方向数),(pnms ),(0000zzyyxxMM 空间直线例例 求过空间两点求过空间两点A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2)的直线方程的直线方程.解解 s = AB = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1), .:121121121zzzzyyyyxxxxl 例例. 10223: zyxl说明说明：),1, 0, 2()1( s, 02)2( y即，即，l 在平面在平面 y =2上上.空间直线例例 求过点求过点)3 , 1 , 2(M且与直线且与直线12131 zyx垂直垂直相交的直线方程相交的直线方程

3、. 解解先作一过点先作一过点M且与已知直线垂直的平面且与已知直线垂直的平面 0)3()1(2)2(3 zyx再求已知直线与该平面的交点再求已知直线与该平面的交点N,令令tzyx 12131. 1213 tztytx代入平面方程得代入平面方程得 ,73 t交点交点)73,713,72( N空间直线取所求直线的方向向量为取所求直线的方向向量为MNMN)373, 1713, 272( ),724,76,712( 所求直线方程为所求直线方程为.431122 zyx空间直线tpzznyymxx 000设直线设直线 l 的点向式方程的点向式方程则则 ptzzntyymtxx000 上式称为直线上式称为直线

4、l 的的参数方程参数方程，t 称为称为参数参数，不同的，不同的t 对应于直线对应于直线l 上不同的点上不同的点.3.4.2 3.4.2 参数式方程参数式方程空间直线一条空间直线可看成两平面的交线一条空间直线可看成两平面的交线 0022221111DzCyBxADzCyBxA空间直线的一般式方程空间直线的一般式方程 3.4.3 3.4.3 一般式方程一般式方程空间直线例例 将如下直线的一般式方程化为点向式方程将如下直线的一般式方程化为点向式方程.043201 zyxzyx解一解一在直线上任取一点在直线上任取一点M0),(000zyx取取10 x,063020000 zyzy解得解得2, 000

5、zyM0点的坐标点的坐标),2, 0 , 1( 因所求直线与两平面的法向量都垂直因所求直线与两平面的法向量都垂直取取21nns ),3, 1, 4( 312111 kji空间直线点向式方程点向式方程,321041 zyx解二解二 由解法一已得直线上点由解法一已得直线上点M0 的坐标的坐标(1, 0, -2),取取 x1 =0, 则则 043011111zyzy,45,4111 zy解得解得)45,41, 0(1 的坐标的坐标得点得点M),43,41, 1(10 MM取直线的方向向量为取直线的方向向量为 =(4, -1, -3),s得直线方程为得直线方程为,321041 zyx空间直线解三解三

6、( (用高斯消元法用高斯消元法行初等变换行初等变换) )102340 xyzxyz 1111111121340312A140103121423xyzy 参数式：参数式：14.23xtytzt 点向式：点向式：12.413xyz 空间直线例例 确定直线确定直线 l 外一点外一点 M0 (x0, y0, z0) 到到 l 的距离的距离.解解 设设M1(x1, y1, z1)是直线是直线l 上任意一确定的点，上任意一确定的点，M是是l 上另一点，且上另一点，且M1M = s = (m, n, p),则直线则直线l 的方程为的方程为,111pzznyymxx 如图所示平行四边形面积如图所示平行四边形面

7、积S = |M1M0 M1M | = | M1M0 s | = d |s |.|01sMMsd dM0lM1.M.点到直线的距离点到直线的距离空间直线例例 求点求点 M0(1 ,2, 1) 到直线到直线 l 的距离的距离 020:zyxyxl解解取取 z =0， 得得 x =1, y =-1， M1(1, -1, 0) l.111011 kjis,2kji M1M0 = (0, 3, 1).|01sMMsd 空间直线直线直线:1L,111111pzznyymxx 直线直线:2L,222222pzznyymxx 22222221212121212121|),cos(pnmpnmppnnmmLL

8、1. 1. 两直线的夹角两直线的夹角 两直线两直线L1与与L2的方向向量的方向向量 与与 的夹角称为的夹角称为L1与与L2的夹角的夹角，记为，记为.1s2s3.4.4 3.4.4 直线与直线的位置关系直线与直线的位置关系空间直线直线直线:1L,111111pzznyymxx 直线直线:2L,222222pzznyymxx ,1111pnms ,2222pnms ),(1111zyxM),(2222zyxM2. 2. 两直线的位置关系：两直线的位置关系：21)1(LL , 0212121 ppnnmm21)2(LL/,212121ppnnmm 空间直线(4) L1 与与L2 重合重合 s1平行于

9、平行于s2 且平行于且平行于 M1M2 (3) L1 与与L2 平行但不重合平行但不重合 s1平行于平行于s2 但不平行于但不平行于 M1M2 (5) L1 与与L2 相交相交 s1不平行于不平行于s2 且且s1 s2 M1M2 = 0(6) L1 与与L2 异面异面 s1不平行于不平行于s2 且且s1 s2 M1M2 0空间直线 直线和它在平面上的投影直线的夹角直线和它在平面上的投影直线的夹角 称为称为直线与平面的夹角直线与平面的夹角 ,:000pzznyymxxL , 0: DCzByAx),(pnms ),(CBAn 2,ns 2,ns 0.2 1 1、直线与平面的夹角、直线与平面的夹角

10、3.4.5 3.4.5 直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系空间直线222222|sinpnmCBACpBnAm 直线与平面的夹角公式直线与平面的夹角公式2,2,2,2nsnsnsns),(pnms ),(CBAn 空间直线,:000pzznyymxxL ,pnms , 0: DCzByAx,CBAn (1) L / . 0 CpBnAm. 0000 DCzByAx且且. 0 CpBnAm. 0 CpBnAm. 0000 DCzByAx且且2. 2. 直线与平面的位置关系：直线与平面的位置关系：.pCnBmAL (2) L (3) L 空间直线解解n(1,4, 1), (1, 2,2),s

11、 例例判判 定定l :x1y2z122与与: x + 4y z 1 = 0的位置关系的位置关系. 若相交，则求出交点与夹角若相交，则求出交点与夹角.90,s n 所以所以l 与与相交相交.1:22.2xtlytzt 代入代入, 得得89t 所以所以l 与与交点交点1216( ,)999|arcsin| |n sns |182|1arcsinarcsin418 92 空间直线3. 3. 平面束平面束设直线设直线l 的一般式方程是的一般式方程是 0022221111DzCyBxADzCyBxA(1)(2)除方程除方程(2)所表示的平面外，经过直线所表示的平面外，经过直线l 的所有平的所有平面都可由

12、下式表示：面都可由下式表示：)3(0)(22221111 DzCyBxADzCyBxA 经过直线经过直线l 的平面全体称为过的平面全体称为过l 的的平面束平面束.方程方程(3)称为过直线称为过直线l 的的平面束方程平面束方程.空间直线例例 求直线求直线321544: zyxl在平面在平面 ：2x + 2y + z -11=0上的投影直线上的投影直线.解解1 过直线过直线l 作平面作平面 与与 垂直，则垂直，则 与与 的的交交线线l就是就是l 在在 上的投影上的投影.将将 l 的方程改写为一般式的方程改写为一般式 01730244zyyx过过l 的平面束方程为的平面束方程为x + 4y - 24

13、 + (3y + z -17) = 0即即x + (4 + 3 ) y + z - (24 + 17 ) = 0其法向量为其法向量为n =(1, 4 + 3 , ),空间直线例例 求直线求直线321544: zyxl在平面在平面 ：2x + 2y + z -11=0上的投影直线上的投影直线.解解1 过过l 的平面束方程为的平面束方程为x + (4 + 3 ) y + z - (24 + 17 ) = 0其法向量为其法向量为n =(1, 4 + 3 , ),由由 可得可得01071)34(212 nn，710 的方程为的方程为，0)717024(710)7304( zyx空间直线例例 求直线求直

14、线321544: zyxl在平面在平面 ：2x + 2y + z -11=0上的投影直线上的投影直线.解解1 的方程为的方程为，0)717024(710)7304( zyx即即7x - 2 y - 10z + 2 = 0直线直线l 在在 上的投影为上的投影为 01122021027: zyxzyxl空间直线例例 求直线求直线321544: zyxl在平面在平面 ：2x + 2y + z -11=0上的投影直线上的投影直线.解解2.)2 , 5 , 4(上上在在上的点上的点，则，则垂直的垂直的且与且与作过作过 Mll取取413( 7,2,10)221ijknsn 0)2(10)5(2)4(7: zyx即即721020 xyz空间直线例例 求直线求直线321544: zyxl在平面在平面 ：2