A06029018_刘宏宇_蔡森林_宋晋杰

1、2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了全国大学生数学建模竞赛章程和全国大学生数学建模竞赛参赛规则（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛

2、规则的行为，我们将受到严肃处理。我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A 我们的报名参赛队号为（8位数字组成的编号）： 06029018 所属学校（请填写完整的全名）： 沈阳工程学院 参赛队员 (打印并签名) ：1. 刘宏宇 2. 蔡森林 3. 宋晋杰 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 耿爱成 （论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可

3、能被取消评奖资格。） 日期： 2014 年 9 月 15 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略摘要本文主要研究的是嫦娥三号探测器从远月点到软着陆完成的完整过程，进行多元统计分析。首先通过对数据的分析得到已知经验，然后再把这些经验再代入数据中进行模型的验证，接着再重新确立主要影响因素，并建立新的合理模型，最终得到了令人满

4、意的结果。针对问题1，我们建立了动力学模型，明确天体运动的基础上进行空间建立三维坐标系；采用参数化控制方法，运用矩阵的转换和科氏定律求得问题一初始点的速度和坐标，得初始速度，故近月点速度大小为， ，。从而有最优初始点即（近月点）坐标，近月点月理经度，月理纬度。针对问题2，我们在问题1的基础上建立了动力学模型与控制律设计，在问题2中我们分别探讨了近抛物阶段和垂直下降阶段的最优控制策略，建立着陆段垂直动力学模型进行程序制导律设计解出最优开关切换高度，在问题1之上研究了一种利用参数化控制求解了抛物段的最优控制问题的方法，最后通过经典的参数优化方法和仿真运算得出结果软着陆末时刻，末时刻探测器质量，燃料

5、消耗为，最后探测器以的速度对月速度精确降落到指定登月点。针对问题3，通过简化的软着陆力学模型求解特殊两边值问题，建立了月球软着陆主制动段的误差模型，并运用误差敏感系数对提出的制导律的制导误差进行分析结果可以看出敏感系数为数量级，初始速度误差的为数量级 。关键词：动力学模型 控制率设计 最优控制 参数化控制 误差敏感系数 一、问题重述嫦娥三号是中国国家航天局嫦娥工程第二阶段的登月探测器，包括着陆器和月球车。它携带中国的第一艘月球车，并实现中国首次月面软着陆。它于2013年末成功发射，4日后抵达月球轨道。质量为2.4t的嫦娥三号，其下部安装的主减速发动机可产生1500N到7500N的可调节推力，用

6、来调整速度。四周还安装有姿态调整发动机，可自动通过多个发动机的脉冲组合实现各姿态的调整控制。嫦娥三号在高速飞行的同时，要保证准确的在预定的着陆点区域内实现软着陆，需要着陆轨道和控制策略的设计。着陆轨道为从近月点至着陆点，其软着陆过程共分为6个阶段，需要满足每个阶段在关键点所处的状态，并且尽量减少软着陆过程的燃料消耗。根据以上的基本要求，可通过建立数学模型解决一下问题：1.确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应速度的大小与方向。2.确定嫦娥三号的着陆轨道和在6个阶段的最优控制策略。3.根据设计的着陆轨道和控制策略做相应的误差分析和敏感性分析。 二、问题分析探测器经过环月轨道的着陆

7、方式因其具有较长的软着陆准备时间、对着陆位置的限制比较小以及减少着陆舱部分的燃料消耗等优点故而被广泛采用。该方式的关键环节就是从距离月面15 km的近月点至月面的动力下降过程。问题一的分析： 目前诸多学者已经对该方式软着陆问题做出了较多研究工作，并且取得了较好的成果，不过上述文献都是忽略月球自转，没有考虑侧向运动，假设登月器在一个固定的铅垂面内运动来进行研究，而事实上由于月球自传等因素的存在，登月器难以保持在一个固定的铅垂面内运动，因此研究三维空间的精确定点软着陆则更据有工程意义。本文同样考虑了月球自转，针对三维空间内精确定点软着陆问题利用参数化控制解决了变推力软着陆最优控制问题，此外还针对仅

8、知制动近月点到月心距离而具体位置未知的情况，对近月点的选取进行了研究。该方法无需估计不具备物理意义的变量初值，并且收敛速度快。问题二的分析：问题二是建立在问题一的基础上，通过对问题一的研究引入强化技术来求解优化这一问题；问题二实际上是问题一的一种特殊情形，需要对问题二中建立的模型细化，确定对应的参数。问题三的分析：问题三在月球软着陆地点的东面，影响制导精度的误差源主要有偏离标准飞行轨迹的初始条件误差和导航与控制传感器误差。初始条件误差由主制动段以前的任务决定，传感器误差则由导航系统和传感器本身决定。此外，影响制导精度的因素还包括月球不规则摄动等误差。三、模型假设1.假设只考虑月球引力及月球自转

9、对软着陆轨道设计与控制的影响。2.进入环月轨道可忽略地球及其他行星的影响因数。3.把嫦娥三号当做一个质点。四、符号说明：发动机的推力。：月心：地心：日心引力常数，和：探测器速度矢量在月固坐标系各轴上的投影：探测器质量：月球自转角速度：制动火箭的比冲，是一个常值。：月球引力常数。五、模型建立针对问题一嫦娥三号首先进行霍曼变轨，从圆形环月轨道进入一条近月点高度为15 km的椭圆轨道；当到达近月点时，制动发动机点火，探测器进入动力下降段，最终以很小的相对速度降落到月面指定位置。（1）动力学模型建立与控制律设计一般情况下，软着陆飞行动力学建模，低轨月球探测器可产生10 种摄动源的摄动量级和不同需求下的

10、摄动模型选择, 其中对于一般的轨道分析, 只需考虑月球的非球形引力摄动以及地球和太阳的引力摄动即可1。于是, 一般情况下月球软着陆动力学模型的矢量式可写为式中，：月球的中心引力。：地球引力摄动。：太阳引力摄动。，。和是月心到地心和月心到日心的矢径。对于环月低轨探测器，可利用目前最为精确的 LP165 引力模型来分析月球的非球形引力摄动对环月轨道的影响。但是对于月球软着陆，由于其距离月面很近且着陆区域范围较小。因此，月球表面的质量集中问题就显得更为突出，考察摄动影响时应重点考虑着陆区域附近的质量集中问题。为方便软着陆过程各阶段的制导律设计以及下降轨迹各参数的分析，需要根据每个阶段的不同情况将模型

11、建立在合适的参考坐标系下。（2）软着陆飞行动力学建模简化条件下，在只考虑月球重力及其自转条件下，定义惯性坐标系 ，原点在月心，参考平面是月球赤道面，轴指向月球赤道相对于白道的升交点，轴指向月球自转角速度方向，轴按右手坐标系确定。再定义月固坐标系，以月球赤道面为参考平面，轴指向赤道面与起始子午面的交线方向，指向月球自转角速度方向，以轴按右手坐标系确定。为原点在探测器质心的轨道坐标系，指向从月心到着陆器的延伸线方向，垂直，指向运动方向，按右手坐标系确定。制动发动机推力的方向与探测器纵轴重合，为与轴正向所成夹角，为在。平面上的投影与轴负向所成夹角。为与所成夹角，为在平面上的投影与轴正向所成夹角。为月

12、球自转而产生的月固坐标系相对惯性坐标系的转角，可以假设初始时刻月固坐标系与惯性坐标系重合。图1 坐标系示意图显然有轨道坐标系到惯性坐标系转换矩阵惯性坐标系到月固坐标系的转换矩阵为根据牛顿第二定律，结合科氏定律整理可以得到探测器在月固坐标系中的运动方程为其中，和为探测器速度矢量在月固坐标系各轴上的投影，和为该高度月球重力加速度在月固坐标系各轴上的投影。因此，在月固坐标系中探测器的运动方程可表示如下： （1） 其中取为系统状态变量，为控制变量，则式（1）可以简化为针对问题二根据体重所给的附件2，我们将最优控制策略分为两部分。第一部分为探测器从近月点至离月球表面2.4km距离阶段，第二部分为距离月球

13、表面2.4km至月球表面阶段，如图2所示图2（1）为探测器从近月点至离月球表面2.4km距离阶段，按照耗燃最优的要求，取性能指标2为在实际情况下，通常没必要令探测器着陆速度严格等于零，只要能保证探测器以很小的相对速度降落到月面就足可以接受的。因此，考虑到这一点，软着陆的末速度要求以惩罚因子的形式加入到指标中如下式所示，主要目的是降低最优控制问题求解的复杂度，该惩罚因子可以通过反复的数值仿真运算，按经验设定。 （2）此外，显然有约束条件 （3）其中，为预定着陆点在月固坐标系中的坐标；为着陆点到月心距离，即月球半径。对于含有形如这类关于状态变量在连续时间上都要满足的不等式约束最优化问题，至今还是最

14、优化领域的一个难点。通过给出的一种约束变换技术，使得该类问题得到解决。显然0等价于 （4）但上式显然在时不可微，因此用如下不等式去近似上式 （5）其中，是调节参数。当足够小的时候，存在，使得对任何满足的能够令(5)对(4)达到满足要求的近似。不妨记为用(5)式替换0后得到的新的约束函数。因此本题所讨论的软着陆耗燃最优问题转化为：在系统(1)满足约束函数的情况下求取适当的控制变量使指标函数（2）达到最小。图3 嫦娥三号探测器在距离月面2400m处的高程图（2）探测器距离月球表面2.4km至月球表面阶段着陆段垂直动力学模型图3 着陆段下降过程示意图图4 嫦娥三号探测器在距离月面100m处的高程图该

15、段中, 着陆器距离月面很近，且着陆器几乎沿竖直方向下降。因此，该段仍可采用平面月球动力学模型。如图3所示，理想情况下，着陆器在着陆段沿竖直方向下降，则可在平面月球二维模型基础上简化为一维垂直动力学模型3，即要求其中的飞行路径角 = 90°。因此， 公式可简化为 （6）其中，为制动推力的开关控制量。图5 软着陆速度曲线图5为三个方向上的软着陆速度曲线，可以看出探测器着陆时期相对月面速度足够小。图6 软着陆最佳轨线图6为软着陆最优轨线，显示了角与角以及探测器距月心的距离 随时间变化的曲线。针对问题三（1）误差模型建立基于敏感系数矩阵的制导误差分析，建立初始状态误差模型。设着陆器的实际初始

16、状态为，标准初始状态为，则定义初始状态偏差为对于主制动段这一特定的飞行过程，这些偏差都是确定的；而针对整个月球探测任务，这些偏差就变得具有随机性。假定的所有元素均服从零均值高斯分布，相互不独立，其相关性取决于前一阶段任务的特性。传感器误差模型由于只研究误差对制导率的影响，所以这里假设需要测量的量均可由导航系统直接测得，误差大小均考虑为典型误差值。由设计的制导率可以看出，需要由导航与控制传感器测量的量主要为着陆器相对于着陆场坐标系的位置、速度和加速度。定义待测量量为其估计值记为，则传感器误差定义为 （7）那么，单个测量量的估计误差模型可用误差向量的第个元素来表示。第个观测量的总估计误差由以下四部

17、分组成 （8）针对主制动这一特定操作阶段，上述四部分误差具有如下特性： -第个观测量的测量误差，恒为常值，其分布服从零均值高斯分布； -第个观测量的刻度因素误差系数，恒为常值，其分布服从零均值高斯分布； -第个观测量的随机误差，其为一高斯白噪声； -第个观测量的刻度因素随机误差系数，其为一高斯白噪声。六、模型求解与检验针对问题一由于仅仅已知探测器在软着陆起始点到月心的距离，和探测器的初始速度以初始质量，而软着陆起始点另两个空间位置信息角与角的初始值与未知，因而令与为系统待定参数，则系统初始状况可以表示为 （9）设探测器初始质量 ，制动发动机最大推力 ，比冲= ，月球自转角速度；月球引力常数；近

18、月点距月心距离，月球半径。登月点选择月面上的虹湾区，位置为, ；经过计算可得：初始速度 ；由上可得近月点速度大小为。此外可得。从而有最优初始点坐标，；由此可知，近月点月理经度，月理纬度。同理远月点的位置可由能量守恒定律针对问题二（1）参数化控制求解抛物下降过程耗燃最优问题假定初始时刻为0，终端时刻为待定参数。选取满足的序列和三组参数，构造形如下的参数划分段常数控制器。其中用控制器替换系统（9）中的。寻找三组参数来最小化指标函数(2)，并且满足约束函数。显然，对于每个给定的，这都是一个有限维的参数优化问题。当时，问题2的最优解收敛于问题1的最优解。在数值计算中，本组引入强化技术来解决这一问题。从

19、到构造如下变换上式中，序列为区间上预先给定的分段点，并且满足。将上式两边对求导可得其中令，则得到如下增广系统即 （10）其中，与，分别为，与，经变换后的形式，。指标函数变为 （11）约束条件变为 （12）其中。 在系统（10）满足约束并且初始条件如式（9）的情况下，求取适当的控制变量使指标函数（11）达到最小。再由可知，将最初的探月飞行器软着陆最优控制问题转化成了优化静态控制参数，以及系统参数，的问题，利用经典的参数优化算法即可求出登月飞行器的软着陆最优控制的一组逼近解和软着陆最优初值点位置以及终端时刻。利用此算法，增加时间的分段点个数以重新优化，经过多次优化后即得到满意精度的参数化解。此外，

20、假如令系统(1)中的推力F为已知的恒定推力，令控制变量，则本文问题变为恒定推力下软着陆最优控制问题。依然可以利用本文方法解决，而依据极大值原理结合传统的打靶法则只能解决恒定推力的情况，因而相比之下本方法适用性更广。（2）对于着陆段下降过程的求解着陆段程序制导律设计对于推力F大小固定的情况，先关后开是最简单的着陆方式。于是，着陆器依次经过悬停、匀加速、匀减速和关机降落几个过程。几个过程均符合牛顿定律，易得开关切换高度 （14）考虑到着陆的安全性，在着陆段初始要进行短时间的悬停以对着陆区域进行成像勘察，且由于着陆段时间很短，因此应保证着陆器平缓下降，尽量避免受制动发动机的开关冲击。于是，可考虑采用

21、的等效变推力制动方式。利用最优控制软件，通过计算机仿真运算，令，即可得到符合精度的最优解，最终利用本文的参数化控制得到软着陆末时刻，末时刻探测器质量，燃料消耗为，最后探测器以的对月速度精确降落到指定登月点。若不考虑对初始点位置的优化，利用打靶法最终得到着陆时探测器质量为，相比之下本方法在燃料消耗上节省了，比较，同时落点精确，没有偏差。针对问题三由于采用闭环制导，制导控制系统对随机误差具有一定鲁棒性，所以本组着重对初始偏差和类似于和这样的传感器常值误差进行仿真研究，分析它们对制导精度的影响。误差分析系统框架图如图6所示，下面将对其结构进行分析。图6 误差分析系统结构图由前面的分析可知，观测量的实

22、际输出值受到初始状态偏差、传感器测量误差以及传感器刻度因素误差的影响，故误差分析系统模拟程序的实际输入应包含以下几部分（以通道为例）：其中，为观测量的实际输出值，为标准值，为初始状态偏差（只在初始时刻存在），为传感器测量偏差，为传感器刻度因素误差系数。由图6可以看出，为了更准确地表示传感器误差模型，这里考虑了传感器的动态性能，其传递函数设为一阶惯性环节，其中，为传感器时间常数，因传感器的不同而取不同值。由误差分析系统结构框图可以看出，其输入量主要包括：标准初始状态向量、初始状态偏差、传感器测量误差、传感器刻度因素误差系数、传感器时间常数、期望终端状态；输出量为加入误差前后的仿真终端状态向量。误

23、差敏感系数矩阵求取在有误差输入的情况下，首先根据图6生成一个模拟整个闭环制导控制系统的数字仿真程序，然后运行该程序，对比程序输出即可得到误差敏感系数矩阵4。具体运行过程如下：第一步：将传感器误差设置为零，初始状态设置为标准值，运行模拟程序。这一步称为标准运行。第二步：将其中一个传感器误差设置为非零输入或者设置一个非标准初始状态，然后进行一系列运行。第三步：将第二步运行的系统输出和标准运行的系统输出进行比较即可确定各误差源的影响。如通道标准初始偏差为，输入该误差前后，通道终端状态分别为和，则通道对标准初始偏差的敏感性可用来反映。通过这种方法，可得到一组反应月球软着陆主制动段终端总误差向量和两个传

24、感器误差向量、以及初始状态偏差向量之间关系的误差敏感系数矩阵。其相互关系可表示为其中，、和分别表示相对于、和的误差敏感系数矩阵。终端误差向量能用这种形式表示的假设条件是动力学的线性化必须在标准轨迹区域内。验证该假设条件的方法有两种：扩大输出误差仿真法和复合仿真法。误差分析假设导航系统采用常规惯性测量单元，表1列出了其典型误差值，其中，位置误差能保持在102数量级，速度在101数量级，加速度为10-5数量级。表1 常规惯性测量单元典型误差值初始位置偏差（m）初始速度偏差（m/s）位置测量偏差（m）速度测量偏差（m/s）加速度测量偏差位置刻度因素误差速度刻度因素误差加速度刻度因素误差1001010

25、0100.2%0.1%0.1%*为地表重力加速度运用上述方法得到的敏感系数矩阵给出如下：由矩阵可以看出，初始位置偏差的敏感系数为数量级，初始速度误差的为数量级。由此可以看出，提出的制导方法对初始速度偏差较敏感。此外，由矩阵还可以看出，初始位置偏差对终端速度的影响较小，初始速度偏差对终端位置的影响比较大。同样，由 矩阵还可以得出如下结论：位置测量误差只对本轴终端位置影响较大，而对其它轴的位置和速度影响较小，轴向速度测量误差的影响亦有此规律；加速度测量误差对终端各状态变量的影响均较大。矩阵表示刻度因素误差对终端状态的影响。从该矩阵的各元素可以看出，相对于初始状态偏差和测量误差，制导率刻度因素误差的

26、敏感性明显要高。针对月球软着陆主制动段的任务操作，建立了简化的月球软着陆动力学模型，基于极大值原理，求解两点边值问题，给出了一种能量最优显式指导法。该方法对着陆器终端速度和位置均做了约束，能满足精确定点软着陆要求，并且求解简单，无需迭代，是一种实时闭环制导方法。其次，建立了影响月球软着陆主制动段制导精度的误差模型，并运用误差敏感系数矩阵对所设计制导率的制导误差做出了分析。结果表明，与初始位置偏差相比，初始速度偏差对终端个状态的影响要大；位置、速度测量误差分别只对本轴终端位置、速度影响较大；制导率对刻度因素误差最敏感。七、模型评价模型的优点：（1）基于对探测器轨道的处理结果对实际具有较好的意义。

27、（2）相比较传统的打靶法而言，本文方法无需猜测毫无物理意义的共轭变量初值，可以解决变推力软着陆问题。（3）问题三中所用到的软着陆动力学模型求解简单，是一种实施闭环的制导方法，并运用误差敏感系数矩阵所设计的制导率的制导误差，做出了详细分析。模型的缺点和改进：（1）本模型所收集的数据有限，得到的结果也许同实际情况有所出入。（2）对数据进行归一化处理的指标的科学性和合理性没有很好的验证。（3）在做问题二模型时，没有考虑扁率项摄动等问题。八、模型推广本文所建立的模型无需猜测毫无物理意义的共轭变量初值，既可以解决变推力软着陆问题，又适用于恒定推力的情况。同时优化速度更快，仿真结果说明所涉及的方法简单实用

28、，并且易于工程实现。本文所涉及到的各阶段动力学模型和制导率对月球软着陆全过程制导方案的优化设计具有一定的借鉴意义。九、参考文献1单永正，段广仁，张烽，月球精确定点软着陆轨道设计及初始点选取，宇航学报，30（6）：2099-2103，2009。2王鹏基，张熇，曲广吉，月球软着陆飞行动力学和制导控制建模与仿真，中国科学，39（3）：521-527，2009。3刘浩敏，冯军华，崔祜涛，张泽旭，月球软着陆制导律设计及其误差分析，系统仿真学报，21（4）：936-938，2009。4曹涛，董长虹，基于组合优化策略的月球软着陆最优轨道设计，北京航空航天大学学报，38（11）：1537-1541，2012。

29、附录图5，图6 matlab程序如下：>> t=0,500>> vx=1100,0>> plot(t,vx)>> axis(0,600,0,1200)>> t1=0,200,400,500>> vy=-1000,-800,-600,0>> p=polyfit(t1,vy,3)>> t11=0:0.1:500;>> vy1=polyval(p,t11);>> plot(t11,vy1,'r')>> p=polyfit(t1,vy,2)>> vy1=polyval(p,t11);>> plot(t11,vy1,'r')>> t1=0,200,500>> vy=-1000,-800,0>> t11=0:0.1:500;>> p=polyfit(t1,vy,2)>> vy1=polyval(p,t11);>> plot(t11,vy1,'r')>> axis(0,600,-1000,0)>>