第七章第3节曲面及其方程

1、1曲面及其方程第三节一、曲面方程的概念二、旋转曲面三、柱面四、二次曲面2一、曲面方程的概念平平面面上上)(xfy 表示一条平面曲线表示一条平面曲线xyo)(xfy 空间上空间上1222zyx表示单位球面方程表示单位球面方程xyz3如如果果曲曲面面s与与三三元元方方程程0),(zyxf有有下下述述关关系系： （1 1） 曲曲面面s上上任任一一点点的的坐坐标标都都满满足足方方程程； （2 2）不不在在曲曲面面s上上的的点点的的坐坐标标都都不不满满足足方方程程； 曲面方程的定义xyzo0),(zyxfs4研究空间曲面有研究空间曲面有两个基本问题两个基本问题：（2 2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状

2、）已知坐标间的关系式，研究曲面形状（讨论旋转曲面）（讨论旋转曲面）（讨论柱面、二次曲面）（讨论柱面、二次曲面）（1 1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程5解解rmm |0根据题意有根据题意有rzzyyxx2020202202020rzzyyxx所求方程为所求方程为特殊地：球心在原点时方程为特殊地：球心在原点时方程为2222rzyx,),(是是球球面面上上一一点点设设zyxm6例例 2 2 已已知知),(321a，),(412 b，求求线线段段ab的的垂垂直直平平分分面面的的方方程程. 设设),(zyxm是所求平面上任一点，是所求平面上任一点， 根据题意有根

3、据题意有|,|mbma 222321zyx,222412zyx化简得所求方程化简得所求方程. 07262zyx解解7例3. 研究方程042222yxzyx5)2() 1(222zyx解: 配方得5, )0, 2, 1(0m此方程表示:说明:如下形式的三元二次方程 ( a 0 )都可通过配方研究它的图形.其图形可能是一个球面球面或点点或虚轨迹虚轨迹.怎样的曲面. . 表示半径为的球面.0)(222gfzeydxzyxa球心8二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定

4、直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴9xozy0),(zyf), 0(111zym m),(zyxm设设11zz )(（2） 点点m到到 z轴轴的的距距离离 |122yyxd如图如图将将 代入代入2211yxyzz,011),(zyfd:问题问题.),(:轴轴旋旋转转所所成成的的曲曲面面方方程程绕绕面面上上一一条条曲曲线线求求zzyfcyoz0方法方法10将将2211yxyzz,011),(zyf,022zyxf得方程得方程同理：同理： 0),(zyf绕绕y轴轴旋转曲面方程旋转曲面方程 .,022zxyf,022zyxf类似类似 曲线曲线 c:0),(yxf绕绕 x轴轴旋转曲面方程旋转曲

5、面方程. .,022zyxf代入代入11 曲线曲线 c:0),(yxf绕绕 y轴轴旋转曲面方程旋转曲面方程. ,022yzxf类似类似 曲线曲线 c:0),(zxf绕绕 z 轴轴旋转曲面方程旋转曲面方程. ,022zyxf 曲线曲线 c:0),(zxf绕绕 x轴轴旋转曲面方程旋转曲面方程. .,022zyxf12例例4 4.试建立顶点在原点,旋转轴为z轴,半顶角为的圆锥面方程. 解解: :在yoz面上,直线 l的方程为cotyz 绕 z 轴旋转时, 圆锥面的方程为cot22yxz)(2222yxaz,cota令两边平方xyzl), 0(zym13例例5 5 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生

6、将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程成的旋转曲面的方程绕绕x轴轴旋旋转转绕绕z轴轴旋旋转转122222 czyax122222 czayx旋转双曲面旋转双曲面012222yczaxxz（1）双曲线）双曲线分别绕分别绕 轴和轴和 轴；轴；14绕绕y轴轴旋旋转转绕绕z轴轴旋旋转转122222 czxay122222 czayx旋转椭球面旋转椭球面pzyx222 旋转抛物面旋转抛物面15三、柱面三、柱面在平面坐标系在平面坐标系圆周表示圆心在原点的单位122 yx:问题问题?在在空空间间表表示示什什么么图图形形122 yxxyz移移动动而而成成面面上上的的圆圆沿沿轴轴的的直直线线它它

7、可可以以看看成成用用平平行行于于122 yxxoyz16定义定义观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .cl这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线l 叫叫柱面的柱面的母线母线.cl17柱面举例柱面举例xozyxozyxy22 抛物柱面抛物柱面xy 平面平面18xyzo12222byax从柱面方程看柱面的从柱面方程看柱面的特征特征：19:一般地一般地000),(,),(,),(zxfzyfyxf.在在空空间间都都表表示示一一个个柱柱面面.,轴轴平平行行表表示示此

8、此柱柱面面与与哪哪个个坐坐标标就就量量上上面面方方程程中中缺缺少少哪哪个个变变20二次曲面：二次曲面： 三元二次方程所表示的曲面三元二次方程所表示的曲面相应地平面被称为相应地平面被称为一次曲面一次曲面讨论二次曲面方法讨论二次曲面方法: 截痕法截痕法 :曲面方程曲面方程0),(zyxf1) 1(222zyx如032zyx如如四、二次曲面21ozyx（一）椭球面（一）椭球面1222222 czbyax 椭球面与椭球面与三个坐标面三个坐标面的交线：的交线：,012222 yczax.012222 xczby,012222 zbyax22椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化椭圆截面的大小随平面位置的变

9、化而变化.椭球面与平面椭球面与平面 的交线为椭圆的交线为椭圆1zz 同理与平面同理与平面 和和 的交线也是椭圆的交线也是椭圆.1xx 1yy 12122222122221)()(zzzccbyzccaxcz |123椭球面的几种特殊情况：椭球面的几种特殊情况：,)1(ba 1222222 czayax旋转椭球面旋转椭球面12222 czax由椭圆由椭圆 绕绕 轴旋转而成轴旋转而成z旋转椭球面与椭球面的旋转椭球面与椭球面的区别区别：122222 czayx方程可写为方程可写为与平面与平面 的交线为圆的交线为圆.1zz )| (1cz 24,)2(cba 1222222 azayax球面球面.22

10、22azyx .)(12122222 zzzccayx截面上圆的方程截面上圆的方程方程可写为方程可写为25（二）抛物面（二）抛物面zqypx 2222（ 与与 同号）同号）pq椭圆抛物面椭圆抛物面用截痕法讨论：用截痕法讨论：（1）用坐标面）用坐标面 与曲面相截与曲面相截)0( zxoy截得一点，即坐标原点截得一点，即坐标原点)0 , 0 , 0(o设设0, 0 qp原点也叫椭圆抛物面的原点也叫椭圆抛物面的顶点顶点.26与平面与平面 的交线为椭圆的交线为椭圆.1zz 11212122zzqzypzx当当 变动时，这种椭变动时，这种椭圆的圆的中心中心都在都在 轴上轴上.1zz)0(1 z与平面与平

11、面 不相交不相交.1zz )0(1 z（2）用坐标面）用坐标面 与曲面相截与曲面相截)0( yxoz 022ypzx截得抛物线截得抛物线27与平面与平面 的交线为抛物线的交线为抛物线.1yy 121222yyqyzpx它的轴平行于它的轴平行于 轴轴z顶点顶点 qyy2, 0211（3）用坐标面）用坐标面 ， 与曲面相截与曲面相截)0( xyoz1xx 均可得抛物线均可得抛物线.同理当同理当 时可类似讨论时可类似讨论.0, 0 qp28zxyoxyzo椭圆抛物面的图形如下：椭圆抛物面的图形如下：0, 0 qp0, 0 qp29特殊地：当特殊地：当 时，方程变为时，方程变为qp zpypx 222

12、2旋转抛物面旋转抛物面)0( p（由（由 面上的抛物线面上的抛物线 绕它的轴绕它的轴旋转而成的）旋转而成的）xozpzx22 11222zzpzyx与平面与平面 的交线为圆的交线为圆.1zz )0(1 z当当 变动时，这种圆变动时，这种圆的的中心中心都在都在 轴上轴上.1zz30zqypx 2222（ 与与 同号）同号）pq双曲抛物面（马鞍面）双曲抛物面（马鞍面）用截痕法讨论：用截痕法讨论：设设0, 0 qp图形如下：图形如下：xyzo31（三）双曲面（三）双曲面单叶双曲面单叶双曲面1222222 czbyax（1）用坐标面）用坐标面 与曲面相截与曲面相截)0( zxoy截得中心在原点截得中心

13、在原点 的椭圆的椭圆.)0 , 0 , 0(o 012222zbyax32与平面与平面 的交线为椭圆的交线为椭圆.1zz 当当 变动时，这种椭变动时，这种椭圆的圆的中心中心都在都在 轴上轴上.1zz 122122221zzczbyax（2）用坐标面）用坐标面 与曲面相截与曲面相截)0( yxoz截得中心在原点的双曲线截得中心在原点的双曲线. 012222yczax实轴与实轴与 轴相合，轴相合，虚轴与虚轴与 轴相合轴相合.xz33 122122221yybyczax双曲线的双曲线的中心中心都在都在 轴上轴上.y与平面与平面 的交线为双曲线的交线为双曲线.1yy )(1by ,)1(221by x

14、实轴与实轴与 轴平行轴平行,z虚轴与虚轴与 轴平行轴平行.,)2(221by z实轴与实轴与 轴平行轴平行,x虚轴与虚轴与 轴平行轴平行.,)3(1by 截痕为一对相交于点截痕为一对相交于点 的直线的直线.)0 , 0(b34,0 byczax.0 byczax,)4(1by 截痕为一对相交于点截痕为一对相交于点 的直线的直线.)0 , 0(b ,0 byczax.0 byczax（3）用坐标面）用坐标面 ， 与曲面相截与曲面相截)0( xyoz1xx 均可得双曲线均可得双曲线.35单叶双曲面图形单叶双曲面图形 xyoz平面平面 的截痕是的截痕是两对相交直线两对相交直线.ax 36双叶双曲面双

15、叶双曲面1222222 czbyaxxyo373138p习题），（，418 ,72, 138二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴39二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴40二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上

16、的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴41二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴42二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴43二、旋转

17、曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴44二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴45二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .

18、这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴46二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴47二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴48二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直

19、线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴49二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴50二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴51定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形

20、成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .cl这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.cl52定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .cl这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.cl53定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定

21、直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .cl这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.cl54定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .cl这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.cl55定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成

22、的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .cl这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.cl56定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .cl这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.cl57定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .cl这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.cl58定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .cl这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.cl59定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲