定积分的换元法和分部积分法98697

1、目录 上页 下页 返回 结束 二、定积分的分部积分法二、定积分的分部积分法 第三节不定积分一、定积分的换元法一、定积分的换元法 换元积分法分部积分法定积分换元积分法分部积分法定积分的换元法和 分部积分法目录 上页 下页 返回 结束 一、定积分的换元法一、定积分的换元法 定理定理1. 设函数, ,)(bacxf单值函数)(tx满足:1), ,)(1ct 2) 在,上( ),atbf( ),( );abf af b=( ) ( )( )dbaf xftttbaff=蝌证证: 所证等式两边被积函数都连续, 因此积分都存在 ,且它们的原函数也存在 .,)()(的一个原函数是设xfxf是的原函数 , 因

2、此有则baxxfd)()()(afbf)(f)(ftfd)(t)(tf)(tf)(t)(t则目录 上页 下页 返回 结束 说明说明: :1) 当 解解: 令sin ,xat=则dcos d ,xat t=0,0;xt=当时2,.xat=时 原式 =2a220(1cos2 )d2att=+21(sin2 )22att=+0224a=20pttdcos222yax=-xyas且o目录 上页 下页 返回 结束 +40221xdxx+解解: 令21,tx=+则21,dd,2txx t t-=0,x=当时4,x=时3.t = 原式 =213212dtttt-+3211(3)d2tt=+31 1(3 )2

3、 3tt=+13223=1;t =且 目录 上页 下页 返回 结束 注意注意:（2）不引入新的变量记号，积分限不变；引入新的不引入新的变量记号，积分限不变；引入新的变量记号，积分限跟着变变量记号，积分限跟着变。练习练习 205sincos xdxxxu cos 1066u .61 015duu 205sincos xdxx或或为为积积分分变变量量以以xcos 205coscos xxd206|cos61 x .61 （1）换元前后换元前后，上限对上限上限对上限、下限对下限下限对下限；5/25目录 上页 下页 返回 结束 例例3.( ), ,f xca a-设证证:(1) 若()( ),fxf

4、x-=0( )d2( )daaaf xxf xx-=蝌则( )daaf xx-=(2) 若()( ),fxf x-= -( )d0aaf xx-=则0( )daf xx-0( )daf xx+0()daftt=-0( )daf xx+0 ()( )dafxf xx=-+02( )d ,af xx( )( )f xf x- =时( )( )fxf x- =-时,0偶倍奇零偶倍奇零xt= -令=目录 上页 下页 返回 结束 奇函数奇函数例例4 4 计算计算解解.11cos21122 dxxxxx原式原式 1122112dxxx 11211cosdxxxx偶函数偶函数 1022114dxxx 102

5、22)1(1)11(4dxxxx 102)11(4dxx 102144dxx.4 单位圆的面积单位圆的面积10/25目录 上页 下页 返回 结束 二、定积分的分部积分法二、定积分的分部积分法 定理定理2. , ,)(, )(1bacxvxu设则( )( )d( ) ( )bau x v xxu x v x=ab( ) ( )dbau x v xx-证证:)()()()( )()(xvxuxvxuxvxu)()(xvxuabxxvxuxxvxubabad)()(d)()(baxxvxud)()()()(xvxuabbaxxvxud)()(上积分两端在,ba目录 上页 下页 返回 结束 例例5.

6、计算120arcsin d .x x解解: 原式 =xx arcsin021120-2d1xxx-12=11222201(1)d(1)2xx-+-12=122(1)x+ -02112=32+1-目录 上页 下页 返回 结束 练习练习 2010sin)2( arctan)1( xdxexdxxx计计算算解解：)1( 10arctan xdxx 102arctan21xdxarctan)arctan(21102102 xdxxx14211022dxxx 1121810210 dxxdx 10arctan21218x 214 目录 上页 下页 返回 结束 )2( 20sin xdxex 20cos xdex 2200coscos xdxexexx 20sin1 xdexsin)sin( 12200 xdxexexx 202sin1 xdxeex故故 20sin xdxex)1(212 e目录 上页 下页 返回 结束 三、小结三、小结1、使用定积分的换元法时要注意积分限的对、使用定积分的换元法时要注意积分限的对应。应。3、定积分分部积分公式的用法与不定积分分、定积分分部积分公式的用法与不定积分分部积分公式的用法类似。部积分公式的用法类似。2、不引入新的变量记号，积分限不变；引入新的变量记号，积分限跟着变。23/25目录 上页 下页 返回 结束 思考题思考题. , 1 ,0)(连