柯西中值定理与洛必达法则

1、0)()()()()()( fgagbgafbf)( 分析分析: 要证要证3.6 柯西中值定理与洛必达法则柯西中值定理与洛必达法则;, 上连续上连续在闭区间在闭区间ba(1)(2),),(内可导内可导在开区间在开区间ba,),( 内至少存在一点内至少存在一点则在开区间则在开区间ba使得使得, 0)( xg且且)()()()()()( gfagbgafbf 定理定理3.10 (柯西中值定理柯西中值定理) 3.6.1 柯西中值定理柯西中值定理1证证: :),()()()()()()(xfxgagbgafbfx )(a ,),(,)(内可导内可导在在上连续上连续在在则则babax 且且, ),(ba

2、 使使, 0)( 即即由罗尔定理由罗尔定理, ,至少存在一点至少存在一点.)()()()()()( gfagbgafbf 作辅助函数作辅助函数)()()()()()(agbgbgafagbf ).(b )()()()()()()(xfxgagbgafbfx 23柯西定理的几何解释柯西定理的几何解释 )()(tfytgx)()(ddtgtfxy 注意注意弦的斜率弦的斜率)()()()()()( gfagbgafbf 切线斜率切线斜率xyo)(bg)(ag)( g)(bf)(af.),(),(abfgcab该点处的切线平行于弦该点处的切线平行于弦在在上至少有一点上至少有一点在曲线弧在曲线弧 通分通

3、分00 取倒数取倒数取对数取对数未定式未定式: : 00010 )()(limxgxf函数之商的极限函数之商的极限导数之商的极限导数之商的极限 转化转化00( ( 或或 型型) ) )()(limxgxf 本节研究本节研究: :洛必达法则洛必达法则4:)()(满满足足及及设设函函数数xgxf定理定理);()()(lim)3(0 或或axgxfxx,)()2(0内可导内可导在在xu0)(lim)1(0 xfxx0)(lim0 xgxx; 0)( xg且且 )()(lim0 xgxfxx则则).()()(lim0 或或axgxfxx),( 或或),( 或或注注: 定理中定理中换为换为0 xx ,

4、xxx结论仍成立结论仍成立.3.6.2 洛必达法则洛必达法则5例例 求求解解.2coslim2 xxx)2()(coslim2 xxx原式原式1sinlim2xx )00(. 12sin 例例 求求解解.123lim2331 xxxxxx12333lim221 xxxx原式原式266lim1 xxx.23 )00(6注意：注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好但与其它求极限方法结合使用，效果更好. .例例解解.tantanlim20 xxxxx 求求30tanlimxxxx 原式原式xxxx6tansec2lim20

5、22031seclimxxx xxxtanlim310 .31 )00(200lims1tamcn3elixxxxx例例 求求解解0()0.)1(132lim220 xxxxxeexee2728lim20 xxxeexeexxx234lim20 2200132lim1limxxeeexxxxx 原式原式89例例)0(lnlim xxx解解)( 11lim xxx原式原式 xx1lim 0 例例)0,:(elim 正整数正整数nxxnx)( 解解xnxnx elim1 原式原式xnxxnn e)1(lim22 )( )( 0e!lim xnxn n次次例例 求求解解.3tantanlim2xxx

6、 xxxxx3sincos3cossinlim2 原式原式xxxsin3sin3lim2 3 )( )00( xxxcos3coslim2 1011用洛必达法则应注意的事项用洛必达法则应注意的事项,00)1(才可能用法则才可能用法则的未定式的未定式或或只有只有 ,00 或或只要是只要是则可一直用下去则可一直用下去;(3) 每用完一次法则每用完一次法则, 要将式子整理化简要将式子整理化简;(4) 为简化运算为简化运算, 经常将法则与等价无穷小及极限经常将法则与等价无穷小及极限 的其它性质结合使用的其它性质结合使用.(2) 在用法则之前在用法则之前, 看式子是否能先化简看式子是否能先化简; (a)

7、 若存在极限为若存在极限为非零的因子非零的因子,先求出其极限先求出其极限. (b) 乘积或商的乘积或商的非零无穷小因式非零无穷小因式, 可先用简单的可先用简单的等价无穷小替换等价无穷小替换.12例例解解.elim2xxx 求求)0( xxx2elim 2elimxx . 型型 0. 1 0010 2elimxxx 原式原式)( )( 关键关键 1或或 0,00 将其化为洛必达法则可解决的将其化为洛必达法则可解决的 型型二、其它未定式二、其它未定式取倒数取倒数13例例).arctan2(limxxx 求求)0( 解解xxx1arctan2lim 原式原式)00(22111limxxx 221li

8、mxxx 1 14例例解解).1sin1(lim0 xxx 求求)( 0000 xxxxxsinsinlim0 原式原式xxxxxcossincos1lim0 . 0 型型 . 2)00()00(xxxxxxsincoscossinlim0 0101 通分通分15 0例例解解.lim0 xxx 求求)0(0 原式原式e e 0e . 1 e 00 1 00 0 xxlnexxxlnlim0 xxx1lnlim0 2011limxxx 0ln0e 1lne ln0e)0( )( 0limx00,1,0 3.型未定式型未定式取对数取对数16例例解解.lim111xxx 求求)1( xxxln111

9、elim 原式原式xxx 1ln lim1e11 lim1e xx.e1 例例解解.)(cotlimln10 xxx 求求)(0 ,e)(cot)ln(cotln1ln1xxxx 取对数得取对数得)ln(cotln1lim0 xxx xxxx1sin1cot1lim20 xxxxsincoslim0 , 1 .e1 原式原式17例例解解xxxxcoslim 求求1sin1limxx 原式原式).sin1(limxx 极限不存在极限不存在洛必达法则失效洛必达法则失效.)cos11(limxxx 原式原式. 1 用洛必达法则求极限的局限性用洛必达法则求极限的局限性当导数比的极限不存在时当导数比的极

10、限不存在时, 不能断定函数比的不能断定函数比的一、一、这时不能使用洛必达法则这时不能使用洛必达法则.)( 极限不存在极限不存在,18可能永远得不到结果可能永远得不到结果! 分子分子, 分母有单项无理式时分母有单项无理式时,不能简化不能简化.如如xxx21lim 1122lim2xxx )( 21limxxx 211limxxx )( xxx21lim 其实其实: . 11lim2 xxx其二其二用洛必达法则求极限的局限性用洛必达法则求极限的局限性19作业作业习题习题3 3.6 (1496 (149页页) )1.(单单) 2. 4.(3)(做书上做书上)20洛必达法则洛必达法则型型00,1 ,0 型型 型型 0型型00型型 gfgf1 fgfggf1111 取取对对数数令令gfy 小结小结21解解xxx1e ,0 时时xxxxxsineelimsin0 求极限求极限xxxxxxsin1eelimsinsin0 原式原式xxxxxxxsin1elimelimsin0sin0 111 xxxxxcos1)cos1(elim1s