裂项相消与放缩法解数列专题

1、标准文档数列专题3一、裂项求和法裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的 目的通项分解（裂项）如：通项为分式结构，分母为两项相乘，型如:1，an是d 0的等差an ? a n 1数列。11 1 . 1n(n1)n n 1 n(n11 1n(n1)(n2)2 n(n 1)11(-a . b)、a.ba b11(.n kk)常用裂项形式有:(n 1)(n 2)，(2n)2(2n1)(2 n 1).、n)特别地：-v' n 1 V n Fn k . n k、用放缩法证明数列中的不等式 将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的方法，叫放缩法。1常

2、见的数列不等式大多与数列求和或求积有关，其基本结构形式有如下nnn ai k （ k为常数）： ai f（n）;ai f（n）:i 1i 1i 1放缩目标模型t可求和（积等差模型、等比模型、裂项相消模型 2几种常见的放缩方法naii 14种:k （ k为常数）（1） 添加或舍去一些项，如：a2（2）将分子或分母放大（或缩小）a ; pn(n1) n 丄n $n 丄n 1或n 11 1 1V2n(n 1)1_n211平方型:(n 1)( n11)12n12n1n(n 1)1n 11)(n1(程度大)n 12）（程度小）n 2131n2(2n 1)13n立方型:指数型:44n214n2 4n1n(

3、n21n 31n n_44n22n1- n12(2 n 11(-2n2nnbn4n(n 1)4丄-2 (n 1)n I 丄 an 1(a12n1- n - n12n1n 11）；1丄）n利用基本不等式,1)(n 2) n(n 1)1) ； Jan b、n(n 1)(ab)12、k ；n1)，女如： log 3 lg 52nnan1(a b) (a b 1)(lg3 lg5)2 lg -15 lg 16 lg 4 22实用文案标准文档(一)放缩目标模型可求和一等比数列或等差数列111例如：(1)求证：23222231(n*N ).(2)求证:1 1232 12 1*厂 1(n N).(3)求证:

4、23222233实用文案n若 ai可直接求和，就先求和再放缩；若不能直接求和的，i 1总结：放缩法证明与数列求和有关的不等式, 一般要先将通项an放缩后再求和.问题是将通项an放缩为可以求和且“不大不小”的什么样的bn才行呢？其实，能求和的常见数列模型并不多，主要有等差模型、等比模型、错位相减模型、裂项相消模型等.实际问题中，bn大多是等比模型或裂项相消模型.(1) 先求和再放缩例1设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn,满足4Sn= an+12 - 4n 1, n N*，且a?, a5, a14构成等 比数列.(1)证明：a2. 4q 5 ；求数列an的通项公式；1 1 1 1(3)证明：

5、对一切正整数 n,有L.a1 a2 a?a3ana* 1 2(2) 先放缩再求和例如：求证：112n2(n例如：函数f(x)4x14x，求证:f(1)f(2)f(n)i(n*N ).例2设数列an的前n项和为Sn,满足2S二已一 2创十1nf ,且ai, a2+5, a3成等差数列. n nrl(1 )求ai的值；(2) 求数列an的通项公式；(3) 证明：对一切正整数 n, 有- I：.al 叱 q3 an 11总结：一般地，形如an an bn或an an b (这里a b 1)的数列，在证明k a1 a2an(k为常数)时都可以提取出 an利用指数函数的单调性将其放缩为等比模型.练习：1

6、设数列an满足 an 0 , a1 1 , an (1 2n)a.an 1 an1(n 2)，数列a.的前 n项和为 Sn.(1)求数列a.的通项公式；(2 )求证：当 n 2 时， Sn 2 ；n 1（3）试探究：当n 2时，是否有6nSn5 ?说明理由(n 1)(2 n 1)3n(3)形如aif(n)i 1例如：设Sn J 2,2 3n（n 1），求证：咛Snn(n 2)2(n*N ).根据所证不等式的结构特征来选取所需要的不等式，不等式关系:ba2 b2厂f注：应注意把握放缩的“度”:上述不等式右边放缩用的是均值不等式 a bab -，若放缩成2.n(n 1)n 1，则得Snnki1i

7、1(n 1)( n 3) (n 1)2-,就放过“度”了。2n aif（n）的数列不等式证明：i 1设Sn和Tn分别为数列an和bn的前n项和，若a. bn（nn基本性质，则有Sn Tn.要证明不等式ai f（n），如果记i 1bn Tn Tn1（n 2），b1 T1，那么只要证其通项满足 an（二）放缩目标模型一可求积放缩法证明与数列求积有关的不等式，方法与上面求和相类似，只不过放缩后的总结：形如N ），利用不等式的“同向可加性”这一Tnf（n）看作是数列bn的前n项和，则bn即可.bn是可求积的模型，能求积的常见的数列模型是 bn弘（分式型），累乘后约简为-Cni 1Cn 1C1姐妹不等式

8、：-L（ba a m记忆口诀：“小者小，大者大”bbm z,a0,m0）和（abaam，（解释：看b，若b小，则不等号是小于号，反之）。0, m 0)例如：求证：122n 12n,2n 1(n1 (1-) 一 2n 1。2n 111例如：求证：(11)(1)(1)35n总结：形如aif(n)的数列不等式证明：设An和Bn分别为数列%和g的前n项积，若i 10 anbn，利用不等式的“正数同向可乘性”这一基本性质，则有AnnBn要证明不等式 ai f(n)，i 1如果记Bnf(n)看作是数列bn的前n项积，则bnBnL 2)，bB1，那么只要证其通项满足0 anbn即可.例3已知数列an满足a1

9、an 1an 2 (n N2an 3)(1)求证:Jan 1是等差数列，并求出an的通项an ；(2)证明:对于nN ，a1 ? a2 ? a3 ?(二)添加或舍去一些正项(或负项)若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的值变小。由于证 明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证 明的目的。例如：已知 an 2n 1(n N )，求证： 旦1 2(n N ).2 3 a2 a3an 1a i例4已知数列an的各项为正数，其前n项和Sn满足Sn （ ； ）2.(1)求 an与an i(n2）之间的关系式，并求an

10、的通项公式;(II)|求证111 2.SiS2Sn例5.已知数列（如:满足：曲=3，"胡-用n，记° -_-（I）求证：数列忙是等比数列；（II）若对任意恒成立，求t的取值范围;（III）证明:c r n 工-/ .4（三）固定一部分项，放缩另外的项例6.设数列an的前n项和为3.已知a1 =彳2Sn1, -an 11 2 2 * n n, n Nn33（1 ）求a2的值；（2）求数列an的通项公式；（3）证明：对一切正整数 n,有丄丄L丄7a2an4标准文档1-练习：2设 S 1112.31，则s的整数部分是（.1003已知an是各项都为正数的数列，Sn为其前n项和，且a

11、11，Sn（I）求数列an的通项an ；1 1(II)求证：112(1 ).2S1 3S2(n1)SnSn 1A.17B.18C.19D.201(an数列专题3一、裂项求和法裂项法的实质是将数列中的每项 目的（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项,最终达到求和的通项分解（裂项）如：通项为分式结构,分母为两项相乘，型如:a*是 dan ? an 10的等差数列。常用裂项形式有:1n（n 1）11 ；1n(n k) 1(n 4)；1n(n 1)( n 2)实用文案2 n(n 1) (n 1)(n 2)(2n)2(2n1)(2 n 1)标准文档实用文案（、.a , b）； b1（. n k n

12、）特别地：、n k 、n k、用放缩法证明数列中的不等式将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的方法，叫放缩法。 一常见的数列不等式大多与数列求和或求积有关，其基本结构形式有如下nnnai k （ k为常数）：ai f（n）;aif（n）:i 1i 1i 1放缩目标模型T可求和（积）T等差模型、等比模型、裂项相消模型 2几种常见的放缩方法naii 1k （ k为常数）1) n1111 1112 nn(n 1)n 1； 2 nnn(n1)n111111)(n(22 ,(n 1)( n八c (1n 1nn 11) 2n111111n 1n 2n 32nn1n 1或111111n1 n2 n 32n

13、2n2n1111111a ; ¥n(n（1） 添加或舍去一些项，如：,a2（2）将分子或分母放大（或缩小）丄（程度大）n 12）（程度小）平方型:,3 丄 n21(2n 1)21n4n214n2 4n、n4_4n211立方型:指数型:1n(n21_肓n2(-2n 11(-4n(n 1)4一一 一一 2( n 1)n i 丄 an 1(a1.n12n 1七1)n12n n :Jn1)利用基本不等式，.n（n 1）(a Ib)12v k 'n (n 1)例如:分析:解析:1 1 nn2n12n 2)1)；，如:放缩目标模型可求和一等比数列或等差数列丄1（n 2nn项和公式求和。1

14、 1 1（1）求证：一右 二2 22 23不等式左边可用等比数列前1 1（1 n）左边=-1 一2表面是证数列不等式，实质是数列求和。1 1 1（2）求证：-7-7-2 12 12 1log 3 lg 5).1(n N ).n1-2n 1 # i a (a b)(a b 1)(lg3 lg5)22lg、.15 lg . 16 lg 4分析：左边不能直接求和，须先将其通项放缩后求和，将通项放缩为等比数列。1解析： 12n1尹左边1 12(11 1212 1 n解析：n2 n(3)求证:分析：注意到3233222 2- 上，将通项放缩为错位相减模型。 n n 2n 左边 1 22 2 2总结：放缩

15、法证明与数列求和有关的不等式,2(n).ai可直接求和，就先求和再放缩;若不能直接求和的,般要先将通项an放缩后再求和bn才行呢？其实,能求和的常见数列模问题是将通项 an放缩为可以求和且“不大不小”的什么样的型并不多，主要有等差模型、等比模型、错位相减模型、裂项相消模型等实际问题中，bn大多是等比模型或裂项相消模型(1)先求和再放缩例1设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn,满足4Sn= an+12 - 4n 1, n N*，且a?, a5, a14构成等 比数列.(1)证明：a24a1 5 ；求数列an的通项公式；1 1 1 1(3)证明：对一切正整数 n,有L.a1 a2 a?a3an

16、a* 12解析：(1)当 n = 1 时，4a1 = a22 5,. a22= 4a1 + 5. t an>0, a2. 4耳 5 .当 n2 时，4Sn-1 = an2 -4(n 1) 1，；43= an+12 4n-，由一，得 4an= 4Sn 4Sn1 = an+12 an2 4,. an+12= an2+ 4an+ 4 = (an+ 2)2.t an>0, an+1 = an+ 2, 当n > 2时， an是公差d= 2的等差数列a2, a5, a14构成等比数列，二 a52= a2 a14, (a2+ 6)2= a2 (a2+ 24)，解得 a2= 3.由(1)可知

17、，4a1 = a22 5= 4, a1 = 1. t a2 a1 = 3 1 = 2, an是首项 a1 = 1,公差 d = 2 的等差数列.数列an的通项公式为 an = 2n 1.11, 111 1-L=aa2a2a3anan 11 33 55 7111 11 11=1 - 一L233 55 72n 1L12n 1 2n 112n 11,1 1= 1 .2 2n 12总结：(3)问左边可用裂项相消法求和，先求和再放缩，表面是证数列不等式，实质是数列求和。(2)先放缩再求和111*例如：求证：1 - - 2( nN).22 32n2分析：左边不能求和，应先将通项放缩为裂项相消模型后求和，保

18、留第一项，从第二项开始放缩。解析：t 111-(n2nn(n1) n 1n左边11 1(1 )(-3)2 23当n1时,不等式显然也成立.例如：髙拓 £ /4Xf(1)1 (X丿x，求证:1 42)1 11()112 (n 2)n 1 nn1 1 *f (2) f(n) n 盯？5 N ).标准文档分析：此题不等式左边不易求和，此时根据不等式右边特征，先将分子变为常数，再对分母进行放缩，从而对左边可以进行求和若分子，分母如果同时存在变量时，要设法使其中之一变为常量，分式的放缩对于分子分母均取正值的分式，如需放大，则只要把分子放大或分母缩小即可；如需缩小，则只要把分子缩小 或分母放大即

19、可。fJI1证明：由 /0)= = 1-> 1 】十42得f (1) -f (2 ) Hyf (/l) >1 - " +1 - I + +l_'2 d 21 i L 2 '2 - 2例2设数列an的前n项和为Sn,满足2S斗-叫n£ N*，且ai, a2+5, a3成等差数列.(1 )求 ai 的值；(2) 求数列an的通项公式；(3) 证明：对一切正整数 n,有.al aZ a3 an 2解：(1)在 2Sn=an+i - 2n+1+1 中，令 n=1 得：2Si =a2 - 22+1，令 n=2 得：2S2=a3-23+1, 解得：a2=2a

20、1+3, a3=6a1+13，又 2 ( a2+5) =a1 +a3,解得 a1=1(2)由 2Sn=an+1 - 2n+1 + 1 , 2Si -i i :+ 得 an+2=3an+1+2n+1,又 a1=1 ,a2=5 也满足 a2=3a1+21,所以 an+1=3an+2n对 n N* 成立，二 an+1+2n+1=3 (an+2n),又 a1=1, a1+21=3，二 an+2n=3n，- an=3nn2 ；(3)分析：(3)左边不能直接求和， 考虑将通项放缩后求和。 利用指数函数的单调性放缩为等比模型。22,V 3fl - 2fl = 3fl 1 - ()n > 3"

21、1 - (-)1 = 31 化一i(neN*)3/ fl 1左边 < 1 + - + +- + :3 323心1宴 二二 <0 1J 2 3(法二)T an=3n-2n= (3 - 2) (3n-1+3n-2x 2+3n-3x 22+ 1+丄+w 1 +】+1+ -al33(法三) an+1=3n+1 - 2n+1> 2 x 3n- 2n+1=2an,/+2n-歹1,.1IX(1-n累乘得:-；1V2?_1 1,1V1?书2a2a42当n > 2时,n-22?丄2'1 1/11111 .V?2an-l1.1+1ai1a3+w 1+-x5 2n-2fv-V5总结：

22、一般地，形如anbn或an an b (这里a b 1)的数列,在证明丄a1a2丄kan(k为常数)时都可以提取出 练习：实用文案an利用指数函数的单调性将其放缩为等比模型1标准文档1设数列an满足an 0, ai 1 ,求数列an的通项公式；(1)(3)anSn(1 2n)a.an i an i(n 2)，数列a.的前 n项和为 Sn.6n试探究：当n 2时，是否有(n 1)(2 n 1)5Sn 5 ?说明理由3(1) an 丰 0 - Brian-10 5工2)% _(12町如_1如_I 亠。泌护亠1%-1日朋fl-1"=门一丄?丄詡有一门和n1丄-丄)十十( 一 )=l+3-F

23、5+7+-+ ( 2n-l ) JHH “ 的血SI2即g血矶又丄=1也适舍上式_ 1' a»=-n(2)证日月：丁5=-'/ 当 n2Bt 7丈 n-亠丄-J又个丄一!一=沪哙叶1)? L 4 <i (Al 1 )(3-1)丄丄 <丄3 2«+13 v= 4jj-1 1当时，喪$卄> 只雳亡> _-即需显然这在r>33j成立而厂=1亠丄=二当u>2时竺二一 =4§然丄即当nPF时片一二_ 也威立n m-i)综上所谜：当Q叭，有(什1)(2叶 1)36?jn(3)形如aif(n)i 1实用文案n（n 1）n（n

24、2）Sn（n2 27分析 不等式形加（町 工® vfan左.右两边诵式子都是某例如：设Sn ,1 22 3n（n 1），求证:N ).itr=l十十顾"聖凹=（挖丰1）的前H项和,设为尊差数列的和，因此考虑特通项如工1）放缩为等差模理后求和. 乱路Tn二2人詁+N+E+显然不等式的中间是数列q要证Tti 瓦,则只要证伉 % j即可.利用公式=7；7；_”1之2）易得：brt=nt 同=/i + -因此，问题转化为只要证MV J川用+十壬证明=乞直 打迈+运刁+J&（川+1） 'A=1伙+七讪+ 2)占=i22ba2b22 2根据所证不等式的结构特征来选取所需

25、要的不等式，不等式关系:注：应注意把握放缩的“度”:上述不等式右边放缩用的是均值不等式ab专，若放缩成、n(n 1) n 1，则得 Snnkii 1(n 1)(n 3) (n 1)2-,就放过“度”了。2n总结：形如aii 1设Sn和Tn分别为数列an和bn的前n项和，若annf（n）的数列不等式证明:bn(nN ），利用不等式的“同向可加性”这一基本性质，则有 Sn Tn.要证明不等式4 f（n），如果记i 1bn Tn Tn1（n 2），b1 T1，那么只要证其通项满足 an（二）放缩目标模型一可求积放缩法证明与数列求积有关的不等式，方法与上面求和相类似，只不过放缩后的Tnf（n）看作是数

26、列bn的前n项和，则bn即可.bn是可求积的模型，能求积的常见的数列模型是 bnCn 1Cn（分式型），累乘后约简为iCn 1C1姐妹不等式：-a a m记忆口诀：“小者小，大者大”0）和 b jaa a m，（解释：看b，若b小，则不等旦a0, m0, m 0)号是小于号，反之）。例如：思路(n N*).135 2n 112462n . 2n 1u利用公式bfi =-(n>2), 0=E易得:Bh-LO/j-1ln-因比.问题转化为只要证竺上<jw 2n 2n + 证明2n2n l12n - IIn +1(n e N")例如:袪丨将用餐分數旳什也色力处更3、理力町申、(

27、0呵和a a 4-wi2”如心(迸务栏严NJ|1 (1 +*1)() + )(1 + - h- J 1 +-)> */2ff + I.2ti - I总结:形如ai f(n)的数列不等式证明：设i 1An和Bn分别为数列an和g的前n项积，若0 anbn，利用不等式的“正数同向可乘性”这一基本性质，则有An Bn.要证明不等式naif(n)，i 1如果记Bnf(n)看作是数列bn的前n项积，则bn-B(n 2)，bB1，那么只要证其通项满足Bn 10 anbn即可.2例3已知数列an满足a1， an 132an 3*N ).1(1)求证： 是等差数列，并求出an的通项an ； an 1(2

28、)证明：对于n?an证明： 1）由釘=亍* a”仟 _- JEN*J-心厂3&津一1一口用硼沖十苛r，苛r 即有亠边,+1_1 如-1则有一是首顷为-乩公差妆的等差埶列， 殆厂1即肓=- 3-2 Cn-1 ），如厂I北简可得邛二尹二7 i21（2）令引二”号半y由于丄空二匚"十122则£丄辽丄"±1,432-2即有丄上丄二43 4 5 621 2E2 I即为”1则原不尊式咸空”（二）添加或舍去一些正项（或负项）若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的值变小。由于证 明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等

29、式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证 明的目的。例如：已知an 2cisn1(n N )，求证：一221 1 _j 一 2 口 1一 2一 2(01)a? a 3*(n N ).a n 1w_ _32 +2 ->A1 VI电+乞+仏,_丄(丄+丄"+丄),()-4 弘 住23 222¥2"23 T 2.'!+l匚丄4+乞十厶芒g"）.2 3 a.亿ai, 2（号）2本题在放缩时舍去了 2k 2，从而使和式得到了化简。例4已知数列a.的各项为正数，其前n项和Sn满足Sn(I) 求 an与an 1(n1 1(II) 求证S1S22）之间

30、的关系式，并求2.an的通项公式;斂 (Z) ；4»二旷1)2，而4务二好打_十11-®77毎4an=口片十2町十l-ai弍一2町一 1 r上"二一三(+机m- 1)= °=(旳十耳一1)(知一勿_ 1 一2尸0，' 歸是484=2的專差埶列,.'4<?1 =(町十 1)*' a，n - 2ii-1 (II)/SfJ=-丄亠丄十亠丄=丄_±一十丄 $邑丟2 2-Q '*一=丄丄，n2，?-?(?)-!) ?J1 ?JJ_J_亠亠丄=丄丄亠_13 S2 Sn 12 卫QA例5已知数列耐:满足：岛干, %二叫代

31、N*，记血= 毎T%十(I) 求证：数列h是等比数列；(II) 若Wl 4"对任意|nSV*|恒成立，求t的取值范围；(III) 证明:m ”n、,.解：(I)证明：由an 1 3如2得an 2an 123an22 an 2an 2an 2an 121 an 2 即 bn 1丄bn，且b1an 114 an 14an 113an 214( an1)an 2an 2a121a1 141 1(n)由(I)可知 bn -(-)n 14 4an 2an1an1 2 4n4n 1由an t 4n得tn(4n1)424n41百易得11n是关于n的减函数4n t(出)an2 4naia2=2n4n

32、 1an(24n4)(24n(22n41 22n(4)n2n得证(三)固定一部分项，放缩另外的项例6设数列an的前n项和为Sn.已知a1 =1,2Snan 1n N .(1 )求 a2 的值；(2)求数列an的通项公式;1(3)证明：对一切正整数 n,有丄aia2an解：(1)依题意，2S1 = a2一 1 ，又3312(2)当 n2 时，2Sn= nan+1 n3 n2,33S1 = a1 = 1,所以 a2= 4.1两式相减得 2an= nan+1 (n 1)an(3n2 3n + 1) (2n 1) 31 22Sn-1 = (n 1)an(n 1)3 (n 1)2(n 1),332 整理得(n+ 1)an= nan +1 n(n+ 1),3an 1n 1ann1 .又聖竺 1,故数列2 1是首项为1，公差为1的等差数列, n1所以an=1 + (n 1) x 1=n.所以 an= na1a2an4.n当n =, 17t,1丄1571时，一1<当n