艺术生高考数学专题讲义：考点4 函数的概念及表示

1、考点四 函数的概念与表示知识梳理1. 函数的根本概念(1) 函数的定义设a, b是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系/，使对于集合a中的任窟一个 数m在集合3中部有唯一确定的数/u)和它对成，称a-b为从集合八到集合8的一个 函数，通常记为/：或同(xea)(2) 函数的定义域、值域：在函数)，=必)，好人中，*叫做自变量，x的取值范围人叫依函数的定义域：与x的值相对 应的)，值叫做函数值，函数值的集合imreaj叫做函数的值域.显然，值域是集合8的子 集.(3) 函数的三要芸 定义域、值域和对应关系.(4) 相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全-致，那么这两个函数相等，这是判

2、断 两函数相等的依据.(5) 函数的表示法：表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法.2. 分段函数在定义域内不同局部上，有不同的解析式，像这样的函数通常叫做分段函数.分段函数的定 义域是各段自变量取值集合的并集，值域是各段上函数值免合的并集.3. 映射的概念一般地，设a、8是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系/,使对于集合a中的 任意一个元素在集合中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应声为从 集合a到集合b的一个映射.4. 常见函数定义域的求法(1) 分式函数中分呼不等于零.(2) 偶次根式函数被开方式大于或等于0.(3) 次函数、二次函数的定义域为r(4) y=ar(a&

3、gt;0 且 "hl), y=sinx, y=cosx,定义域均为 r.(5) y=ian ,v的定义域为.心油t+*, *£z.5. 根本初等函数的值域(1) )，=丘+岷#0)的值域是r(2) y=a.v+bx+cfao)的值域是:当0时，值域为当4<0时，值域为(3) )=%=0)的值域是出=0(4) y=ay(a>0 且 a)的值域是)*>0.(5) y=k)&a(>0 且 al)的值域是 r.(6) y=sin.r. y=cosx 的值域是1, ij.(7) y=tan x的值域是r.典例剖析题型一函数的概念例1以下各组函数中，表示

4、同一函数的是.(填序号) 必)=1对 gm=r fix)=pf g(x)=(fxf a)=tz7> 欢x)=+i /x)=>/rn /7tt, gu)=v?ti 答案解析 中，g(x)=|x|，./u)=g(x). 中，处)=国好r)，gs)=x(no),.两函数的定义域不同. 中，ax)=x+g(x)=x+l(.vgr).两函数的定义域不同. 中 yw=>/7n>/7z'i(x+1 no 且 x-1o),用)的定义域为小曰:g(x)=wi(jimo),g(x)的定义域为巾n1成1).两函数的定义域不同.应选.答案解析 由每一个自变量对应唯一一个.ax)可知不是

5、函数图象，是函数图象.解题要点1.判断是否是同一函数关读看两点：定义域相同；2对应关系相同.2. 判断是否是函数图象，要君定义域和值域足否在所指定范围，同时每一个自变量应只对应 一个因变量.题型二函数解析式求法例2 己知.心/i+l)=x+2，-那么处)=.(2) 人i)是一次函数，jjl满足 3/u+d-2a.t-l)=2r+17,那么.心)=- 处)是二次函数，且满足犬0)=1,如+1)=瓜)+2，求几江答案 人t)=f-1(x21), (2)/u)=2t+7, (3)丸0=：+1解析(1)(换元法)设,+ l=/(fnl),那么击=l1.代入贞击+1)=工+2击得巾)=尸一 l(fnl)

6、. .顼)=/一1(.©1).(2) (待定系数法)设顶*)=以+知no),那么 3fix+)-2j(x-l)=3ax+3a+3b-ix+2a-2b=ax+5a+b9即ax+5a+h=2x+17不管x为何值都成立，。=2.=2+“=口，解得°=7, *5(3) (待定系数法).*)是二次函数，.设犬对=那+火+4好0).由贝0)=1,得c=l 由；(.v+l)=/.r)+2t.得 (.v+l)2+£>(.v+l)+1 =(ar+fev+l)+2t.整理，得(2q-2)x+(w+b)=o,2q2=0,。+/>=0/.加=/一刀+1.变式训练 定义在r上的

7、函数/u)满足/x+d=w).假设当ow«rml时 j(x)=x(-x)9那么 当一iwxw。时，/.r)=.答案由+1)2解析当一 1wx0时，0&+1w1, 由己知小：)=与3+ 1)= 一§(x+ 1).解题要点函数解析式的求法(1) 待定系数法：假设函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系教法；(2) 换元法：复合函数血)的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围：(3) 配漆法：由己知条件必)=尸(对,可将尸改写成关于8的表达式然后以x替代欢同, 便得/u)的解析式：(4) 方程组法：己知/u)与yq)或犬一同之间的关系式，可根据己知条件再构造出

8、另外一个等 式蛆成方程组，通过解方程组求出/u).题型三函数的定义域例3求卜列函数的定义域(1) y = jx(x.i) +巫今 /(x) = 7- + s(l+x) i答案(1)x|x21<t = 0.(2) (-1. 1)u(1. +8)解析(1)使函数有意义，那么x(x-l)20旦x20,得或=。.所以定义域为巾或* = 0(l-x*o(2) 使函数有意义，那么解得：x>-l.且xl所以定义域为(-1, l)u(l, +8)1 顷变式训练函数/(牛的定义域为答案0, 1)u(1, 4-00)i 1 # ° nx a ()日 x 去 1解析 由题意知us0a 所以函数

9、定义域为o, 1)0(1,8)解题要点 握住常见函数有意义的约束条件是解题的关键.需要注意的是：函数定义域应写 成集合或区间的形式.题型四函数的值域例4求卜列函数的值域(1) y=；+2xf 任0, 3：y = .sj3x2;2x i(3) y=#p .te|3. 51；(4) 必)=1寸火.解析(1)(配方法)y=¥+2x=(x+l)2 i,vy=(.t+1)2-1 在(). 3上为增函数.0wyw15,即函数y=+2心亡0.3)的值域为0, 15.(2) (换元法)设4*2=人/>0,那么)'=扑+2)1=条|)2-志，当 蓦时，y有最小值 一志，故所求函数的值域为

10、一志 +8)13（3）（别离常数法）由），=专寸=2出，结合图象知，函数在3, 5上是增函数，所以）m3-2*5-4= m ymi3-2（4）（单调性法川）的定义域为（一气 日，容易判断用）为增函数, 所以仙匀（3=土即函数的值域是（一8洁 题型五分段函数logm m>0,1例5函数处)=j,虹0那么贝顺)=-2p，n0，(2)函数必)=n那么aat)=(an.r,。w.13, u 答案(1*-2解析(1 )ju 点)=7( logg) =n 2)=2 "(2).号寸0, 9,*=-命号=-1. ww)=d=2x(-l)3=-2.2变式训练函"）=l"e。，

11、假设网+川）=。那么实数的值等于 答案一3解析 由题意知川）=2'=2.*。）+顶1）=0，.项口+2=0. 当">0时，贝）=2",2“+2=0无解： 当w0时，,a“）="+1. .+1+2=0,.=一3.解题要点1 .分段函数是一个函数，“分段求解''是解决分段函数的根本原那么2.在求分段 函数值时，一定要注意自变虽的值所在的区间,再代入相应的解析式：自变虽的ft不确定时. 要分类讨论.当堂练习1. 函数廊）=府1+上的定义域为2. 函 y=2-yj-x2+4x的值域是.答案0, 2)解析一f+4k=-(x-2)2+4w4.0寸

12、一？+4点2.2w寸一尸+4虹0, 0w2-/t+4xw2,所以 0wyw2.值域 为n=.vk)wyw2，那么函数 y=fl.x)3. 假设函数y=fix)的定义域为m=3-2ww2,那么，等于-25-65-2早解得方舍去).所以方=?.5. 函数/?x)=log2(x2+zr3)的定义域是答案(一8, 3)u(1, +勺解析 需满足.r+2r-3>0,解得x>l或.(v3,所以犬同的定义域为(一8. -3)u(1, +8).课后作业一、填空题1. 汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，假设把这一过程中汽车的行驶 路程s看作时间f的函数，其图象可能是解析汽车加速行驶

13、时，速度变化越来越快，而汽车匀速行驶时.速度保持不变，表达在$ 与f的函数图象上是条直线，诚速行驶时，速度变化越来越慢.但路程仍是增加的.2. 假设函数y = /（x）的定义域为/一3工£8,犬工5,值域为），|一1£），£2,），云0,那么 y = /（x）的图象可能是. 答案解析 根据函数的概念，任意一个x只能有唯一的y值和它对应，故排除：由定义域为 国-.m# 5排除、选.1q0,%设力）=",x<0,那么等于2*解析.项一2)=2-2=>0，那么/以一2)=7(3=| r = 14.+ lg（2x+l）的定义域是答案（一土 2）解析

14、与同时满足不等式2 rx）.2.t+l>0, 解得一扣<2,故所求函数的定义域是（一土 2）.5.设a = 0.12.48=§, 0, 1, 2, 6, 8、那么以下对应关系能构成a到3的映射的是.（填序号）qf： ar 1.l(x 1)2(3v： .v-*2a1®f： xlx答案解析 对于选项,由于集合a中1=0时.=即a中元素()在集合b中没有元素与之对应，所以选项不符合：同理可知、两选项均不能构成到的映射，选项 符合.6. 函数y=l64*的值域是答案|0. 4)解析 v4y>0, .0w 16-4a< 16,.0w)，v4.7. 假设犬2rm

15、)=6x+3,那么.心)的解析式为/u沪答案3xt-1si解析 令/=2r+1»那么2 ,所以心)=62 +3=3/,故/u)=3x.(x2+1. xwl,8. 己如函数必)=lj7 假设aa 1)=4那么实数g等于.ib + tw, x>l.答案2解析,项1)=2, .项”)=顶2)=4 + 2。=和，解得1=2.9-函数>-"=+( 1)°的定义域是.寸12+刀一at答案(a|-3<a<2 且2.0().r<2,解析 lir 12+x-at>0,得-3<.x<4,所以一3<v<2 且a-i =50lr

16、*u故所求函数的定义域为a| - 3<a<2且xa1.10. 己知必一!)=：+右，那么六3)=答案ii解析 v/(x-j)=(a：-)2+2, 顼。=«+2(xr), a/(3)=32+2=ll.二、解答题11. 九。是一次函数，fl满足用+1)?a.l1)=2x+3,求必)的解析式.(2)假设二次函数欢对满足g(1)=1,欢一 1)=5,且图象过原点，求欢)的解析式. 解析 设几v)=*a+如h0).姻.心+1)刀"一 l)=tv+k+人一 2 灯+2*2/>=一灯+3一加即一kx+3kb=2x+3不管x为何值都成立，*=一2.3*3=3,解得*=2,5=一9,/w=2x9.(2)设gtr)=a?+bx+0ho), *(1)=1，g(1)=5,且图象过原点,a+b+c=1, qb+c=5. 1=0,“=3, 解得b=-2.c=0.ag(x)=3x22r.12. 甲同学家到乙同学家的途中有公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2km,甲10时出发前往乙家.如下图，表示甲从家出发到达乙家为止经过的路程”km) 与时间k分)的关系.试写出y=ax)的函数解析式.解析.,加=*，仇=。，y=5x：