函数极限的概念

1、1 函数极限概念一、x趋于时的函数极限二、x趋于x0 时的函数极限三、单侧极限 在本章,我们将讨论函数极限的基本联系,它们之间的纽带就是归结原理.函数极限与数列极限之间有着密切的概念和重要性质.作为数列极限的推广,一、x趋于时的函数极限设函数设函数定义在定义在)(xf ,aa)(xfxyo极限极限. .f ( (x) )当当 x 趋于趋于 时以时以a为为也也无限地接近无限地接近a, ,我们就称我们就称无限远离原点无限远离原点时时, ,函数函数f ( (x) )上上, ,当当 x 沿着沿着 x 轴的正向轴的正向x趋于趋于例如例如 函数函数,arctan xy 当当时时, xy210203040o

2、0.51为极限为极限.以以xarctan2记为记为或者或者lim( )xf xa ).()( xaxf定数定数, , 若对于任意正数若对于任意正数 存在存在 使得使得，0 ，)(am ,)( axfaxxf时以时以趋于趋于当当 )(则称函数则称函数.为极限为极限,时时mx 当定义定义1 .,上上的的一一个个函函数数为为定定义义在在设设 afa 为为( )af xa 有有 lim( )xf xa的的几几何何意意义义xm使使当当时时xa a 任意给定任意给定0 m存在存在ma axyoa( )af xa 有有 lim( )xf xa的的几几何何意意义义xm使使当当时时xa a 任意给定任意给定0

3、m存在存在ma xayoa注注 数列可视为定义在正整数集上的函数数列可视为定义在正整数集上的函数. 请大家请大家所以所以(由定义由定义1),例例1 证明证明. 01limxx 任给任给取取证证, 0 ,1 m,时时当当mx ,10)( xxf. 01limxx与不同点与不同点.比较数列极限定义与函数极限定义之间的相同点比较数列极限定义与函数极限定义之间的相同点例例2.2arctanlim xx证明证明证证 任给任给),2(0 ).2tan( m取取这就是说这就是说lim arctan.2xx 时，时，当当mx 严严格格增增，因因为为xarctan( )arctan22f xx().22,)(

4、axf定义定义2 ,)(上上定定义义在在设设bxf .是是一一个个常常数数a,0 , 0 m存存在在()xmb 当当时时若若对对于于任任意意记为记为axxf时以时以当当)(,为极限为极限则称则称axfx )(lim或或).()( xaxf为极限，为极限，时以时以当当则称则称axxf )(记为记为,)( axf定义定义3a,)()(内内的的某某个个邻邻域域定定义义在在设设 uxf存在存在 当当，0 m, 0 .为为一一个个常常数数若对于任意若对于任意xm 时axfx )(lim或或).()( xaxf证证 对于任意正数对于任意正数),10( ,ln m取取lnx 当当时时 这就是说这就是说例例3

5、 求证求证lim e0.xx .e0e xx. 0elim xx例例4 求证求证. 011lim2xx22110,1xx 所以结论成立所以结论成立. .,1 m有有时时当当,mx 证证 对于任意正数对于任意正数 , 可取可取从定义从定义1、2 、3 不难得到不难得到:.)(lim)(limaxfxfxx 定理定理 3.1 定义在定义在则则的的一一个个邻邻域域内内，)(xfxxarctanlim 则由定理则由定理 3.1，.不存在不存在axfx )(lim的充要条件是：的充要条件是：lim arctan, lim arctan,22xxxx 例如例如二、x趋于x0 时的函数极限设函数设函数 f

6、(x) 在点在点 x0 的某空心邻域的某空心邻域 内有定义内有定义. . )(0 xu, 数数,)(),(0时时当当xuxux ,)( axf定义定义4)(xf设设内有内有)(xu的的某某空空心心邻邻域域0 x在点在点, 如如果果对对于于任任意意正正数数定义，定义，.是是一一个个常常数数a存在正存在正为极限的定义为极限的定义.下面我们直接给出函数下面我们直接给出函数 f (x) 时以常数时以常数 a0 xx 当当或者或者0lim( )xxf xa . )()(0 xxaxf.)(0为为极极限限时时以以当当axxxf记为记为则称则称例例5证明证明.221121lim1 xxx时时, 使使, 对于

7、任意正数对于任意正数, 0 要找到要找到 |1|0 x当当分析分析1211112 2122 2xxx 因因211 ,2 2(12)xxx只要只要 式就能成立式就能成立, 故取故取 即可即可.1,( )x 证证, 00 xx 当当时时, , 任给正数任给正数取取( ) 2121.2 2(12)2 2(12)xxxx 这就证明了这就证明了,1221121 xxx.221121lim1xxx例例6 证明证明.lim2020 xxxx ,00202 xxxxxx可以先限制可以先限制因为因为此时有此时有, 10 xx0000022xxxxxxxx故只要故只要所以所以,)21(00202xxxxx .21

8、00 xxx 要使要使分析分析012,x这就证明了这就证明了.202 xx.lim2020 xxxx 证证,21, 1min0 x 取取 00 xx当当,0 有有,时时例例7 求证：求证：00(1)limsinsin;xxxx 注注 在例在例5、例、例6中中, 我们将所考虑的式子适当放大我们将所考虑的式子适当放大, 不是不是“最佳最佳”的的, 但这不影响我们解题的有效性但这不影响我们解题的有效性. 其目的就是为了更简洁地求出其目的就是为了更简洁地求出 , 或许所求出的或许所求出的 00(2)limcoscos.xxxx 证证 首先，在首先，在右图所示的单位圆内右图所示的单位圆内,0,2x 当当

9、时时显然有显然有即即,oaboadoadsss 扇形扇形,tan2121sin21xxx 故故sintan0.2xxxxocdbayxx.0 时成立时成立上式中的等号仅在上式中的等号仅在 x,2x 因因为为当当时时,0,1sin xxx故对一切故对一切r.,sin xxx.sinxx ,sin x故故均是奇函数均是奇函数 ,x又因为又因为有有000sinsin2cossin22xxxxxx对于任意正数对于任意正数, 取取,00时时当当 xx, 0,xx .sinsinlim00 xxxx 同理可证同理可证:.coscoslim00 xxxx 所以所以例例7 证明：证明：).1| (11lim0

10、2020 xxxxx证证 因为因为22000220|1111xxxxxxxx则则, 0 ,2120 x 取取00|xx 当时，当时，2200202|11|.1xxxxx 这就证明了所需的结论这就证明了所需的结论.0202|,1xxx 11|x|,|x|0例例8. 证明证明3 3| |1 1- -x x| | |1 1) )3 3( (2 2x x1 1- -x x| | |3 32 2- -x x| |m mi in n1 1, , | |1 12 2x x| | 2 2, ,x x0 01 1, ,| |1 1- -x x| |0 0| |1 1) )3 3( (2 2x x1 1- -x

11、x| | |3 32 2- -x x| |2 22 21xx211x013 0321x21x1xx211x321xx21x22221x时，便有则当只要取于是，则即设有时当证明|,|lim在上面例题中在上面例题中, 需要注意以下几点：需要注意以下几点：, 我们强调其存在性我们强调其存在性. 换句话说换句话说, 对于对于固定固定 1. 对于对于 的的, 不同的方法会得出不同的不同的方法会得出不同的 , 不存在哪一个更不存在哪一个更好的问题好的问题.数数都可以充当这个角色都可以充当这个角色.3. 正数正数 是任意的是任意的,一旦给出一旦给出,它就是确定的常数它就是确定的常数., 那么比它那么比它更小

12、的正更小的正是不惟一的是不惟一的, 一旦求出了一旦求出了 . 2有时为了方便有时为了方便, ,需要让需要让 小于某个正数小于某个正数. 一旦对这一旦对这为贵为贵”.当然也能满足要求当然也能满足要求. 所以我们有时戏称所以我们有时戏称 “ 以小以小样的样的 能找到相应的能找到相应的 , 那么比它大的那么比它大的 , 这个这个 平面上以平面上以 y =a为中心线为中心线, 宽为宽为 的窄带的窄带, 2可可以找到以找到, 0 使得曲线段使得曲线段),(),(0 xuxxfy 4. 函数极限的几何意义如图函数极限的几何意义如图, 0, 任任给给对于对于坐标坐标落在窄带内落在窄带内. ayay ayox

13、y 0 x0 x 0 x三、单侧极限，时时在考虑在考虑)(lim0 xfxxx 既可以从既可以从 x0)(0 xx 的的左左侧侧 但在某些时但在某些时.)(000 xxxx趋向于趋向于的右侧的右侧又可以从又可以从 定义定义5 ,),(),()(00有有定定义义在在设设 xuxuxf a为常为常数数. 若对于任意正数若对于任意正数 ,）（存存在在正正数数 在定义区间的端点和分段函数的分界点等在定义区间的端点和分段函数的分界点等.候候,我们仅需我们仅需(仅能仅能)在在 x0的某一侧来考虑的某一侧来考虑, 比如函数比如函数|,f xa （ ）（ ）则称则称 a 为函数为函数 f 当当00()xxxx

14、时的右时的右(左左). )(lim()(lim00axfaxfxxxx 右极限与左极限统称为单侧极限右极限与左极限统称为单侧极限, 为了方便起见，为了方便起见，).(lim)0(, )(lim)0(0000 xfxfxfxfxxxx 时，有时，有当当)0(000 xxxx极限极限, ,记作记作有时记有时记 例例7 讨论函数讨论函数.112处处的的单单侧侧极极限限在在 xx解解 因为因为, 1| x),1(2)1()1(12xxxx .|01|2 x. 01lim21 xx这就证明了这就证明了. 01lim21 xx同理可证同理可证所以所以有有时时当当,11 x ,2, 02 取取由定义由定义3

15、.4和定义和定义3.5，我们不难得到：，我们不难得到：注注试比较定理试比较定理 3.1 与定理与定理 3.1 .)(lim)(lim00axfxfxxxx）有有定定义义，则则（在在设设0)(xuxf定理定理 3.1 :)(lim0的充要条件是的充要条件是axfxx , 1sgnlim,1sgnlim00 xxxx由由于于xxsgnlim0所以所以不存在不存在. .作为本节的结束作为本节的结束,我们来介绍两个特殊的函数极限我们来介绍两个特殊的函数极限.例例9 证明狄利克雷函数证明狄利克雷函数 无理数无理数，有理数有理数xxxd0, 1)(证证 001r,.2xa 对于任意的以及任意实数取对于任意

16、的以及任意实数取处处无极限处处无极限. .,|00* xx,qr,21|,0* xa取取若若对于任意的对于任意的 满足满足.21|)(|0* aaxd*01|,q,0|,2axxx 若若取取满满足足则则 .21|1|)(|0* aaxd这就证明了结论这就证明了结论.则则例例10 设黎曼设黎曼函数函数.1, 0,0, 1),(,1)( 无理数以及无理数以及xqpqpxqxr00:(0,1), lim( )0.xxxr x求证求证证证 .10 nn，使，使，取一正整数，取一正整数因为在因为在 (0, 1) 中分母小于中分母小于 n 的有理数至多只有的有理数至多只有. )(,21knxxxn 个个 , 故可设这些有理数为故可设这些有理数为2)1( nnk21nn1n321n1nn2n1434241323121)(,;,;,;x这就是说，除了这这就是说，除了这 n 个点外个点外 , 其他点的函数值都其他点的函数值都,)1(010inxxxxx 可可设设中中的的某某一一个个是是若若.|min