二章第四节隐函数VIP

1、 第二章第二章第四节第四节一、隐函数的导数一、隐函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数 三、相关变化率三、相关变化率 隐函数和参数方程求导隐函数和参数方程求导 相关变化率相关变化率2高高等等数数学学 第二二章 第四节 /2531xy一、隐函数的导数一、隐函数的导数若由方程若由方程0),(yxf可确定可确定 y 是是 x 的函数的函数 ,由由)(xfy 表示的函数表示的函数 , 称为称为显函数显函数 .例如例如,013 yx可确定显函数可确定显函数03275xxyy可确定可确定 y 是是 x 的函数的函数 ,但此隐函数不能显化但此隐函数不能显化 .函数为函数为隐函

2、数隐函数 .则称此则称此隐函数求导方法隐函数求导方法: 0),(yxf0),(ddyxfx两边对两边对 x 求导求导(含导数含导数 的方程的方程)y3高高等等数数学学 第二二章 第四节 /25例例1. 求由方程求由方程03275xxyy)(xyy 在在 x = 0 处的导数处的导数.0ddxxy解解: 方程两边对方程两边对 x 求导求导)32(dd75xxyyx得得xyydd54xydd21621x025211dd46yxxy因因 x = 0 时时 y = 0 , 故故210ddxxy0确定的隐函数确定的隐函数4高高等等数数学学 第二二章 第四节 /25例例2. 求椭圆求椭圆191622yx在

3、点在点)3,2(23处的切线方程处的切线方程.解解: 椭圆方程两边对椭圆方程两边对 x 求导求导8xyy920y2323xyyx1692323xy43故切线方程为故切线方程为323y43)2( x即即03843 yx5高高等等数数学学 第二二章 第四节 /25例例3. 求求)0(sinxxyx的导数的导数 . 解解: 两边取对数两边取对数 , 化为隐式化为隐式xxylnsinln两边对两边对 x 求导求导yy1xx lncos xxsin)sinlncos(sinxxxxxyx6高高等等数数学学 第二二章 第四节 /25 1) 对幂指函数对幂指函数vuy 可用对数求导法求导可用对数求导法求导

4、:uvylnlnyy1uv lnuvu)ln(uvuuvuyvvuuyvlnuuvv1说明说明:按指数函数求导公式按指数函数求导公式按幂函数求导公式按幂函数求导公式注意注意:7高高等等数数学学 第二二章 第四节 /252) 有些显函数用对数求导法求导很方便有些显函数用对数求导法求导很方便 .例如例如,)1,0,0(babaaxxbbaybax两边取对数两边取对数yln两边对两边对 x 求导求导yybalnxaxb baxaxxbbaybalnxaxbbaxlnlnlnxbalnlnaxb8高高等等数数学学 第二二章 第四节 /25又如又如, )4)(3()2)(1(xxxxyuuu )ln(2

5、1lny对对 x 求导求导21yy)4)(3()2)(1(21xxxxy41312111xxxx两边取对数两边取对数2ln1lnxx4ln3lnxx11x21x31x41x9高高等等数数学学 第二二章 第四节 /25二、由参数方程确定的函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数若参数方程若参数方程)()(tytx可确定一个可确定一个 y 与与 x 之间的函数之间的函数)(, )(tt可导可导, 且且,0 )( )(22tt则则0)( t时时, 有有xyddxttyddddtxtydd1dd)()(tt0)( t时时, 有有yxddyttxddddtytxdd1dd)()(tt(此时看成此时看成

6、x 是是 y 的函数的函数 )关系关系,10高高等等数数学学 第二二章 第四节 /25若上述参数方程中若上述参数方程中)(, )(tt二阶可导二阶可导,22ddxy)dd(ddxyx)(2t)()(tt )()(tt )(t)()()()()(3ttttt )dd(ddxyttxdd)()(ddttxy)(tx且且,0)( t则由它确定的函数则由它确定的函数)(xfy 可求二阶导数可求二阶导数 .利用新的参数方程利用新的参数方程,可得可得11高高等等数数学学 第二二章 第四节 /25)()(dd22ttxy,)()(ttxydd?例4. 设)(tfx, 且,0)( tf求.dd22xy ddx

7、y)(tft )(tf , t dd22xy1)(tf 已知解:)()(tftfty练习: p111 题8(1),1221tytxxydd;1t22ddxy21tt31t解:注意 :12高高等等数数学学 第二二章 第四节 /25例例5. 抛射体运动轨迹的参数方程为抛射体运动轨迹的参数方程为 1tvx 求抛射体在时刻求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向的运动速度的大小和方向. 解解: 先求速度大小先求速度大小:速度的水平分量为速度的水平分量为,dd1vtx垂直分量为垂直分量为,dd2tgvty故抛射体故抛射体速度大小速度大小22)dd()dd(tytxv2221)(gtvv再求再求速度方向

8、速度方向(即轨迹的切线方向即轨迹的切线方向):设设 为切线倾角为切线倾角,tanxyddtyddtxdd12vtgv 则则yxo2212tgtvy13高高等等数数学学 第二二章 第四节 /25抛射体轨迹的参数方程抛射体轨迹的参数方程22121 tgtvytvx速度的水平分量速度的水平分量,dd1vtx垂直分量垂直分量,dd2tgvtytan12vt gv 在刚射出在刚射出 (即即 t = 0 )时时, 倾角为倾角为12arctanvv达到最高点的时刻达到最高点的时刻,2gvt 高度高度ygv2221落地时刻落地时刻,22gvt 抛射抛射最远距离最远距离xgvv212速度的方向速度的方向yxo2

9、vt g22vt g14高高等等数数学学 第二二章 第四节 /25例例6. 设由方程设由方程) 10(1sin 222yytttx确定函数确定函数, )(xyy 求求.ddxy解解: 方程组两边对方程组两边对 t 求导求导 , 得得故故xydd)cos1)(1(ytttyddtxddt 2yttycos12dd22 tycostydd0) 1(2ddttxtyddtxdd15高高等等数数学学 第二二章 第四节 /25 三、相关变化率三、相关变化率)(, )(tyytxx为两可导函数为两可导函数yx ,之间有联系之间有联系tytxdd,dd之间也有联系之间也有联系称为称为相关变化率相关变化率相关

10、变化率问题相关变化率问题解法解法:找出相关变量的关系式找出相关变量的关系式对对 t 求导求导得相关变化率之间的关系式得相关变化率之间的关系式求出未知的相关变化率求出未知的相关变化率16高高等等数数学学 第二二章 第四节 /25例例7. 一气球从离开观察员一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升处离地面铅直上升,其速率为其速率为,minm140当气球高度为当气球高度为 500 m 时时, 观察员观察员视线的仰角增加率是多少视线的仰角增加率是多少? 500h解解: 设气球上升设气球上升 t 分后其高度为分后其高度为h , 仰角为仰角为 ,则则tan500h两边对两边对 t 求导求导2sect

11、ddthdd5001已知已知,minm140ddth h = 500m 时时,1tan22tan1sec,2sec2td 0)minrad/(17高高等等数数学学 第二二章 第四节 /25思考题思考题: 当气球升至当气球升至500 m 时停住时停住 , 有一观测者以有一观测者以100 mmin 的速率向气球出发点走来的速率向气球出发点走来,当距离为当距离为500 m 时时, 仰角的增加率是多少仰角的增加率是多少 ?提示提示: tanx500对对 t 求导求导2sectddtxxdd5002已知已知,minm100ddtx.ddtx500,m500 x求求18高高等等数

12、数学学 第二二章 第四节 /25试求当容器内水试求当容器内水rhxhr例例8. 有一底半径为有一底半径为 r cm , 高为高为 h cm 的圆锥容器的圆锥容器 ,今以今以 自顶部向容器内注水自顶部向容器内注水 ,scm253位等于锥高的一半时水面上升的速度位等于锥高的一半时水面上升的速度.解解: 设时刻设时刻 t 容器内水面高度为容器内水面高度为 x ,水的水的vhr231)(231xhrxrh)(33322xhhhr两边对两边对 t 求导求导tvdd22hr2)(xh,ddtx而而,)(25222xhrh,2时当hx hxhrr故故txdd) scm(25dd3tv) scm(100dd2

13、rtx体积为体积为 v , 则则r19高高等等数数学学 第二二章 第四节 /25内容小结内容小结1. 隐函数求导法则隐函数求导法则直接对方程两边求导直接对方程两边求导2. 对数求导法对数求导法 :适用于幂指函数及某些用连乘适用于幂指函数及某些用连乘,连除表示的函数连除表示的函数3. 参数方程求导法参数方程求导法极坐标方程求导极坐标方程求导4. 相关变化率问题相关变化率问题列出依赖于列出依赖于 t 的相关变量关系式的相关变量关系式对对 t 求导求导相关变化率之间的关系式相关变化率之间的关系式转化转化求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式20高高等等数数学学 第二二章 第四节 /25思考与

14、练习思考与练习1. 求螺线求螺线r在对应于在对应于的点处的切线方程的点处的切线方程.解解: 化为参数方程化为参数方程sincosryrxcossinxyddddyddxcossinsincos当当时对应点时对应点斜率斜率xykdd222, ),0(2m 切线方程为切线方程为22xy2o21高高等等数数学学 第二二章 第四节 /252. 设设,)2(2)(sin32lntanxxxxxyxx求求.y1y2y提示提示: 分别用对数微分法求分别用对数微分法求.,21yy答案答案:21yyy) 1sinln(sec)(sin2tanxxxx32ln)2(31xxxx)2(32)2(3ln21xxxxx

15、22高高等等数数学学 第二二章 第四节 /253. 设设)(xyy 由方程由方程eyxey确定确定 , , )0(y解解: 方程两边对方程两边对 x 求导求导, 得得0yxyyey再求导再求导, 得得2yey yxey)(02 y当当0 x时时, 1y故由故由 得得ey1)0(再代入再代入 得得21)0(ey 求求. )0(y 23高高等等数数学学 第二二章 第四节 /25作业作业p110 1(1) , (4) ; 2 ; 3 (3) , (4) ; 4 (2) , (4); 5 (2) ; 6 ; 7 (2) ; 8 (2) ,(4) ; 9 (2) ; 10 ; 12 24高高等等数数学学 第二二章 第四节 /25求其反函数的导数 .,xexy解解:xyd