2022年一轮复习配套讲义：第10篇第3讲二项式定理

1、第 3 讲二项式定理最新考纲 1能用计数原理证明二项式定理2会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 知 识 梳 理1二项式定理二项式定理(ab)nc0nanc1nan1b crnanrbr cnnbn(nn*) 二项展开式的通项公式tr1crnanrbr，它表示第 r1 项二项式系数二项展开式中各项的系数c0n，c1n，cnn2.二项式系数的性质(1)0kn 时，ckn与 cnkn的关系是 ckncnkn. (2)二项式系数先增后减中间项最大当 n 为偶数时，第n21 项的二项式系数最大，最大值为cn2n；当 n 为奇数时，第n12项和n32项的二项式系数最大，最大值为cn12n或 c

2、n12n. (3)各二项式系数和： c0nc1nc2n cnn2n，c0nc2nc4n c1nc3nc5n 2n1. 辨 析 感 悟1二项式定理的理解(1)crnanrbr是(ab)n的展开式中的第r 项() (2)在(1x)9的展开式中系数最大的项是第5 项和第 6 项() (3)(教材习题改编 )在 x2x6的二项展开式中，常数项为160.() 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 14 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，

3、共 14 页 - - - - - - - - -2二项式系数的性质(4)(ab)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b 无关 () (5)若(3x1)7a7x7a6x6 a1xa0，则 a7a6 a1的值为 128.() (6)(2013 安徽卷改编 )若xa3xn的展开式中，仅有第5 项的二项式系数最大，且x4的系数为 7，则实数a12.() 感悟 提升 1二项式定理 (ab)nc0nanc1nan1bcrnanrbrcnnbn(nn*)揭示二项展开式的规律，一定牢记通项公式 tr1crnanrbr是展开式的第 r1 项，不是第 r 项，如 (1)2二项式系数与展开式项的系数的异同一是在 t

4、r1crnanrbr中，crn是该项的二项式系数，与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指crn，而后者是字母外的部分，前者只与n 和 r 有关，恒为正，后者还与a，b 有关，可正可负，如 (2)就是混淆两个概念的区别二是二项式系数的最值与增减性与指数n 的奇偶性有关，当n 为偶数，中间一项的二项式系数最大，如(6)；当 n 为奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值考点一通项公式及其应用【例 1】 (1)(2013 浙江卷 )设二项式x13x5的展开式中常数项为a，则 a_. (2)(2013 新课标全国卷 )已知(1ax)(1x)5的展开式中 x2的系数为 5，则 a 等于

5、()a4 b3 c2 d1 解析(1)tr1cr5( x)5r13xrxcrrr652551，令5256r0，得 r3，ac3510. (2)(1ax)(1x)5(1x)5ax(1x)5，又(1x)5中含有 x 与 x2的项为 t2c15x，t3c25x2. 展开式中 x2的系数为 c25a c155，a1. 答案(1)10(2)d 规律方法 (1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项 )和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和 r 的隐含条件， 即 n，r 均为精品学习资料 可选择p d f - - - - - - -

6、- - - - - - - 第 2 页，共 14 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 14 页 - - - - - - - - -非负整数，且nr，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解【训练 1】 (1)(2013 大纲全国卷改编 )(1x)8(1y)4的展开式中 x2y2的系数是 _(2)设二项式xax6(a0)的展开式中 x3的系数为 a，常数项为 b，若 b4a，则 a 的

7、值是 _解析(1)(1x)8的通项为 ck8xk，(1y)4的通项为 ct4yt，(1x)8(1y)4的通项为 ck8ck4xkyt，令 k2，t2，得 x2y2的系数为 c28c24168. (2)xax6展开式的通项 tr1(a)rcr6x632ra(a)2c26，b(a)4c46，由 b4a，得(a)4c464(a)2c26，解之得 a 2. 又 a0，所以 a2. 答案(1)168(2)2 学生用书第 177 页考点二二项式系数的性质与各项系数和【例 2】 (1)(2014 青岛模拟 )设(1x)na0a1xa2x2 anxn，若 a1a2 an63，则展开式中系数最大的项是 ()a1

8、5x2b20 x3c21x3d35x3(2)若 x1xn的展开式中第 3 项与第 7 项的二项式系数相等，则该展开式中1x2的系数为 _审题路线(1)先赋值求 a0及各项系数和，进而求得n 值，再运用二项式系数性质与通项公式求解(2)根据二项式系数性质，由c2nc6n，确定 n 的值，求出1x2的系数解析(1)(1x)na0a1xa2x2anxn，令 x0，得 a01. 令 x1，则(11)na0a1a2an64，n6，又(1x)6的展开式二项式系数最大项的系数最大，(1x)6的展开式系数最大项为t4c36x320 x3. (2)由题意知， c2nc6n，n8. tr1cr8 x8r1xrcr

9、8 x82r，精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 14 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 14 页 - - - - - - - - -当 82r2 时，r5，1x2的系数为 c58c3856. 答案(1)b(2)56 规律方法 (1)第(1)小题求解的关键在于赋值，求出a0与 n 的值；第(2)小题在求解过程中， 常因把 n 的等量关系表示为 c3nc7n，而求错 n 的值(2)求解这类问题要注意：区别二项式系数与展开式

10、中项的系数，灵活利用二项式系数的性质；根据题目特征，恰当赋值代换，常见的赋值方法是使得字母因式的值或目标式的值为1，1. 【训练 2】 (1)二项式x2x2n的展开式中只有第6 项的二项式系数最大，则展开式中常数项是()a180 b90 c45 d360 (2)若(12x)2014a0a1xa2x2 a2014x2014(xr)，则a12a222a323a201422014的值为 _解析(1)由二项式系数的性质，得n10，tr1cr10( x)10r2x2r2rcr10 xr255，令 552r0，则 r2，从而 t34c210180. (2)令 x0，得 a0(10)20131. 令 x12

11、，则 a0a12a222a2014220140，a12a222a2014220141. 答案(1)a(2)1 考点三二项式定理的应用【例 3】 (2012湖北卷 )设 az，且 0a13，若 512 012a 能被 13 整除，则 a()a0 b1 c11 d12 解析512 012a(521)2 012ac02 012 522 012c12 012 522 011c2 0112 01252 (1)2 011c2 0122 012 (1)2 012a，c02 012 522 012c12 012 522 011c2 0112 01252 (1)2 011能被 13 整除且 512 012a 能

12、被 13整除，c2 0122 012 (1)2 012a1a 也能被 13 整除因此 a 可取值 12. 答案d 规律方法 (1)本题求解的关键在于将512 012变形为 (521)2 012，使得展开式中的每一项与除数13 建立联系精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 14 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 14 页 - - - - - - - - -(2)用二项式定理处理整除问题， 通常把底数写成除数 (或与余数密切相

13、关联的数 )与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，但要注意两点：一是余数的范围，acrb，其中余数 b0，r)，r 是除数，切记余数不能为负，二是二项式定理的逆用【训练 3】 190c110902c210903c310 (1)k90kck10 9010c1010除以 88 的余数是 ()a1 b1 c87 d87 解析190c110902c210(1)k90kck109010c1010(190)108910(881)108810c110889c910881，前 10项均能被 88 整除，余数是 1. 答案b 1二项展开式的通项tk1cknankbk是展开式的第 k1 项，这是解决二项式定理

14、有关问题的基础在利用通项公式求指定项或指定项的系数要根据通项公式讨论对k 的限制2因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意，给字母赋值，是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法3二项式定理的应用主要是对二项展开式正用、逆用，要充分利用二项展开式的特点和式子间的联系创新突破 10二项式的和与积问题【典例】 (2014 济南质检 ) xax2x1x5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 ()a40 b20 c20 d40 突破：展开式的常数项来源于： “xax”中的 x 与 2x1x5展开式中含1x的项相乘； ax与 2x1x5展开式中含 x 的项相乘解析在 xax2

15、x1x5中，令 x1，得(1a)(21)51a2，a1. 2x1x5展开式的通项 tr1cr5(2x)5r1xrcr5 25r(1)r x52r. 令 52r1，得 2r4，即 r2，因此 2x1x5展开式中 x 的系数为 c25252 (1)280. 令 52r1，得 2r6，即 r3，精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 14 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 14 页 - - - - - - - - -因此 2x1x

16、5展开式中1x的系数为 c35253 (1)340. x1x2x1x5展开式中常数项为804040. 答案d 反思感悟 对于求多个二项式的和或积的展开式中某项的系数问题，要注意排列、组合知识的运用，还要注意有关指数的运算性质对于三项式问题，一般是通过合并其中的两项或进行因式分解，转化成二项式定理的形式去求解【自主体验】(12x)3(1x)4展开式中 x 项的系数为 _解析(12x)3(1x)4展开式中的x 项的系数为两个因式相乘而得到，即第一个因式的常数项和一次项分别乘以第二个因式的一次项与常数项，它为c03(2x)0 c14(x)1c13(2x)1 c0414(x)0，其系数为c03 c14

17、(1)c13 2462. 答案2 对应学生用书 p361 基础巩固题组(建议用时： 40 分钟) 一、选择题1(2014 西安调研 )若(13)4ab 3(a，b 为有理数 )，则 ab()a36 b46 c34 d44 解析(13)41c143c24 ( 3)2c34( 3)3( 3)42816 3，由题设 a28，b16，故 ab44. 答案d 2(2013 辽宁卷 )使3x1x xn(nn*)的展开式中含有常数项的最小的n 为()a4 b5 c6 d7 解析tr1crn(3x)nr1x xrcrn3nrxn52r，当 tr1是常数项时， n52r0，当 r2，n5 时成立答案b 3已知

18、xax8展开式中常数项为1 120，其中实数 a 是常数，则展开式中各项系数的和是()精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 14 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 14 页 - - - - - - - - -a28b38c1 或 38d1 或 28解析由题意知 c48 (a)41 120，解得 a 2，令 x1，得展开式各项系数和为(1a)81 或 38. 答案c 4已知(x1)10a1a2xa3x2 a11x10.若数列

19、 a1，a2，a3，ak(1k11，kz)是一个单调递增数列，则 k 的最大值是 ()a6 b7 c8 d5 解析由二项式定理知ancn110(n1,2,3，n)又(x1)10展开式中二项式系数最大项是第6 项a6c510，则 k 的最大值为 6. 答案a 5若(1mx)6a0a1xa2x2 a6x6，且 a1a2 a663，则实数 m 的值为 ()a1 或 3 b3 c1 d1 或3 解析令 x0，得 a0(10)61，令 x1，得(1m)6a0a1a2a6，又 a1a2a3a663，(1m)66426，m1 或 m3. 答案d 二、填空题6(2013 四川卷 )二项式 (xy)5的展开式中

20、，含 x2y3的项的系数是 _(用数字作答 )解析tr1cr5x5ryr(r0,1,2,3,4,5)，依题意， r3，含 x2y3的系数为 c3554332110. 答案10 7(ax)4的展开式中 x3的系数等于 8，则实数 a_. 解析(ax)4的展开式中的通项tr1cr4a4rxr，当 r3 时，有 c34 a8，所以 a2. 答案2 8设5x1xn的展开式的各项系数之和为m，二项式系数之和为n，若 mn240，则展开式中含 x的项为_解析由已知条件 4n2n240，解得 n4，tr1cr4(5x)4r1xr(1)r54rcr4x43r2，令 43r21，得 r2，t3150 x. 精品

21、学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 14 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 14 页 - - - - - - - - -答案150 x三、解答题9已知二项式 (3x1x)n的展开式中各项的系数和为256. (1)求 n；(2)求展开式中的常数项解(1)由题意得 c0nc1nc2n cnn256，2n256，解得 n8. (2)该二项展开式中的第r1 项为tr1cr8(3x)8r1xrcr8 x84r3，令84r30，得 r2

22、，此时，常数项为t3c2828. 10若(2xx2) 11x3的展开式中的常数项为a，求0a(3x21)dx. 解 11x313x3x21x3，(2xx2) 11x3的展开式中的常数项为a211(3)132. 因此0a(3x21)dx(x3x)a0(x3x)206. 能力提升题组(建议用时： 25 分钟) 一、选择题1(2013 陕西卷 )设函数 f(x)x1x6，x0 时，ff(x)表达式的展开式中常数项为()a20 b20 c15 d15 解析当 x0 时，f(x)x0，所以 ff(x)f( x)1xx6，精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - -

23、- 第 8 页，共 14 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 14 页 - - - - - - - - -tr1cr6x12(6r) (x12)r(1)rcr6x3r2r2，由 r30，得 r3. 所以 ff(x)表达式的展开式中常数项为 (1)3c3620. 答案a 2若将函数 f(x)x5表示为 f(x)a0a1(1x)a2(1x)2 a5(1x)5，其中 a0，a1，a2，a5为实数，则 a3()a8 b9 c10 d11 解析f(x)x5(1x1)5，它的通项为 tr1cr5(1x

24、)r (1)5r，t4c35 (1)2(1x)310(1x)3，a310. 答案c 二、填空题3若(1xx2)6a0a1xa2x2 a12x12，则 a2a4 a12_. 解析令 x1，则 a0a1a2a1236，令 x1，则 a0a1a2a121，a0a2a4a123612. 令 x0，则 a01，a2a4a1236121364. 答案364 三、解答题4已知 (a21)n展开式中的各项系数之和等于165x21x5的展开式的常数项，而 (a21)n的展开式的系数最大的项等于 54，求正数 a 的值解165x21x5展开式的通项为 tr1cr5165x2 5r1xr1655rcr5x205r2

25、，令 205r0，得 r4，故常数项 t5c4516516.又(a21)n展开式的各项系数之和为2n，由题意得 2n16，n4. (a21)4展开式中系数最大的项是中间项t3，从而 c24(a2)254，解得 a3. 方法强化练 计数原理(对应学生用书 p363) (建议用时： 60 分钟) 一、选择题精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 14 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 14 页 - - - - - - - - -

26、1a，b，c，d，e 五人并排站成一排，如果b 必须站在 a 的右边 (a，b 可以不相邻 )，那么不同的排法共有()a24种b60 种c90 种d120 种解析可先排 c，d，e 三人，共 a35种排法，剩余 a、b 两人只有一种排法，由分步乘法计数原理满足条件的排法共 a3560 种答案b 2(2014 重庆质检 )(13x)n(其中 nn 且 n6)的展开式中 x5与 x6的系数相等，则 n 等于()a6 b7 c8 d9 解析(13x)n的展开式中含 x5的项为 c5n(3x)5c5n35x5，展开式中含 x6的项为 c6n36x6. 由两项的系数相等得c5n 35c6n 36，解得

27、n7. 答案b 3(2014 济南调研 )只用 1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，则这样的四位数有()a6 个b9 个c18 个d36 个解析由题意知， 1,2,3 中必有某一个数字重复使用2 次，第一步确定谁被使用2次，有 3 种方法；第二步把这 2 个相等的数放在四位数不相邻的两个位置上，也有3 种方法；第三步将余下的2 个数放在四位数余下的 2 个位置上，有 2 种方法故共可组成33218 个不同的四位数答案c 4组合式 c0n2c1n4c2n8c3n (2)ncnn的值等于 ()a(1)nb1 c3nd3n1 解析在(1x)nc0nc1

28、nxc2nx2cnnxn中，令 x2，得原式 (12)n(1)n. 答案a 5若 x12n的展开式中第 3 项的二项式系数是15，则展开式中所有项系数之和为()a.132b.164c164d.1128解析由题意知 c2nn n1215， 所以 n6， 则 x12n x126， 令 x1 得所有项系数之和为126164. 答案b 6(2014 杭州检测 )甲、乙两人计划从a，b，c 三个景点中各选择两个游玩，则两人所选景点不全相同的选法共有 ()a3 种b6 种c9 种d12 种精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 14 页 -

29、 - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 14 页 - - - - - - - - -解析甲、乙各选两个景点有c23c239 种方法，其中，入选景点完全相同的有3 种满足条件要求的选法共有 936(种)答案b 7若(x1)8a0a1(1x)a2(1x)2 a8(1x)8，则 a6()a112 b28 c28 d112 解析(x1)8(x1)28a0a1(1x)a2(1x)2a8(1x)8，a6c28(2)24c28112. 答案a 8(2014 长沙模拟 )已知 x，y 满足xy20，xy20，0y

30、2(xz，yz)，每一对整数 (x，y)对应平面上一个点，则过这些点中的其中3 个点可作不同的圆的个数为()a45 b36 c30 d27 解析如图所示，阴影中的整点部分为x，y 满足的区域，其中整数点 (x，y)共有 8 个，从中任取 3 个有 c3856 种取法其中三点共线的有1c3511(种)故可作不同的圆的个数为45. 答案a 9(2014 广州调研 )已知 a20cos x6dx，则二项式 x2ax5的展开式中 x 的系数为 ()a10 b10 c80 d80 解析a20cos x6dx2sin x602，则 x2ax5 x22x5，tr1cr5x2(5r)2xr(2)rcr5x10

31、3r.令 103r1，得 r3. 展开式中 x 的系数为 (2)3c3580. 答案d 10(2014 衡水中学模拟 )用 1,2,3,4,5,6 组成六位数 (没有重复数字 )，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且 1 和 2 相邻，这样的六位数的个数是()a40 b20 c80 d30 解析先将 3,5 排列，有 a22种排法；再将 4,6 插空排列，有 2a22种排法；最后将 1,2 插入 3,4,5,6形成的空中，有 c15种排法由分步乘法计数原理知，共有a22 2a22 c1540 种答案a 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第

32、11 页，共 14 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 14 页 - - - - - - - - -二、填空题11.2x13xn的展开式中各项系数之和为729，则该展开式中二项式系数最大的项等于_解析依题意，令 x1，有 3n729，则 n6，展开式第 4 项的二项式系数最大，则t4c36(2x)313x3160 x2. 答案160 x212(2014 郑州调研 )某商店要求甲、乙、丙、丁、戊五种不同的商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，而丙、丁两种不能排在一起，不同的排法

33、共有_种解析甲、乙作为元素集团，内部有a22种排法， “甲乙”元素集团与 “戊”全排列有 a22种排法将丙、丁插在 3 个空档中有 a23种方法由分步计数原理，共有a22a22a2324种排法答案24 13(2013 新课标全国卷 )设 m 为正整数， (xy)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(xy)2m1展开式的二项式系数的最大值为b，若 13a7b，则 m_. 解析由二项式系数的性质，得acm2m，bcm2m1cm12m1，又 13a7b，因此 13cm2m7cm2m1，解得 m6. 答案6 14甲、乙、丙 3 人站到共有 7 级的台阶上，若每级台阶最多站2 人，同一级台阶上的人不区分

34、站的位置，则不同的站法种数是 _(用数字作答 )解析当每个台阶上各站1 人时有 a33c37种站法，当两个人站在同一个台阶上时有c23c17c16种站法，因此不同的站法种数有a33c37c23c17c16210126336(种)答案336 15(2014 无锡质检 )(x22)1x215的展开式的常数项是 _解析二项式1x215展开式的通项为：tr1cr51x25r (1)rcr5 x2r10 (1)r. 当 2r102，即 r4 时，有 x2 c45x2 (1)4c45(1)45；当 2r100，即 r5 时，有 2 c55x0 (1)52. 展开式中的常数项为523. 精品学习资料 可选择

35、p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 14 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 14 页 - - - - - - - - -答案3 16将 6 位志愿者分成 4 个组，其中两个组各 2 人，另两个组各 1 人分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案种数有 _解析将 6 位志愿者分为 2 名，2 名，1名，1 名四组，有c26c24a221215645 种分组方法将四组分赴四个不同场馆有a44种方法根据分步乘法计数原理，不同的分配方案有45 a441 080种方法答案1 080 三、解答题17已知122xn，(1)若展开式中第 5 项， 第 6 项与第 7 项的