数学分析7习题课64476

1、 关于实数完备性的关于实数完备性的6个基本定理个基本定理1. 确界原理（定理确界原理（定理1.1）；）； 2. 单调有界定理（定理单调有界定理（定理2.9）； 3. 区间套定理（定理区间套定理（定理7.1）；）；4. 有限覆盖定理（定理有限覆盖定理（定理7.3） 5. 聚点定理（定理聚点定理（定理7.2）6. 柯西收敛准则（定理柯西收敛准则（定理2.10）；）； 在实数系中这六个命题是相互等价的在实数系中这六个命题是相互等价的 。第七章习题课第七章习题课在有理数系中这六个命题不成立在有理数系中这六个命题不成立 。1. 确界原理确界原理 在实数系中，任意非空有上（下）界的数集在实数系中，任意非空

2、有上（下）界的数集必有上（下）确界。必有上（下）确界。, 2| 2qxxxs ：反例反例, 2inf , 2sup ss成立。成立。确界原理在有理数域不确界原理在有理数域不在有理数集没有确界。在有理数集没有确界。即即s2. 单调有界定理单调有界定理； 在实数系中，单调有界数列必有极限。在实数系中，单调有界数列必有极限。是是单单调调有有界界有有理理数数列列，反反例例：)11( nn . e但但其其极极限限是是无无理理数数即数列的单调有界定理在有理数域不成立。即数列的单调有界定理在有理数域不成立。 3. 区间套定理区间套定理 若若 是一个区间套，则在实数系中存在唯一的点是一个区间套，则在实数系中存

3、在唯一的点 bann, 2 , 1, nbann 使使, 2, nnaa使使取单调递增有理数列取单调递增有理数列, 2, nnbb使使取单调递减有理数列取单调递减有理数列，套套有理数域内构成闭区间有理数域内构成闭区间则则qnnba, .q 2共点为共点为其在实数系内唯一的公其在实数系内唯一的公所以区间套定理在有理数系不成立。所以区间套定理在有理数系不成立。反例：反例：4. 有限覆盖定理有限覆盖定理在实数系中，闭区间在实数系中，闭区间a, b的任一开覆盖的任一开覆盖h，必，必可从可从h中选出有限个开区间覆盖中选出有限个开区间覆盖a, b。中所有有理数的集合，中所有有理数的集合，表示表示设设212

4、 , 1q),2,2 , 1xxxqrxrxrx （使使有理数有理数,2 , 1| ),(qxxxrxrxh 令令的一个开覆盖，的一个开覆盖，是是则则qh2 , 1),(),(),(,22221111*nnnnrxrxrxrxrxrxhhh 合合的有限个元素，构成集的有限个元素，构成集任取任取, 2222*rnnh最靠近的数为最靠近的数为个有理数中与个有理数中与设这设这个端点都是有理数，个端点都是有理数，且，且中的开区间都不含中的开区间都不含由于由于反例：反例：个个区区间间之之外外。述述之之间间所所有有有有理理数数都都在在上上与与则则在在nr2.2 , 1qh住住的的任任意意有有限限覆覆盖盖不

5、不能能盖盖即即5. 聚点定理聚点定理实数系中的任意有界无限点集至少有一个聚点。实数系中的任意有界无限点集至少有一个聚点。反例：反例： ,|)11(znnsn s是有界的无限有理点集，在实数域内的聚点为是有界的无限有理点集，在实数域内的聚点为e,因而在有理数域没有聚点。因而在有理数域没有聚点。5.1 致密性定理：致密性定理：在实数系中，有界数列必含有收敛子列。在实数系中，有界数列必含有收敛子列。反例：反例：,)11( 穷数列穷数列是有理数系中的有界无是有理数系中的有界无nnnx 其极限为无理数其极限为无理数e,从而任一子列均收敛于从而任一子列均收敛于e。故故xn在有理数域内没有收敛的子列。在有理

6、数域内没有收敛的子列。6. 柯西收敛准则柯西收敛准则., 0 mnnaannmna有有收收敛敛在在实实数数系系中中，反例：反例：条条件件的的有有理理数数列列，是是满满足足cauchynn)11( . e但但其其极极限限是是无无理理数数即柯西收敛准则在有理数域不成立。即柯西收敛准则在有理数域不成立。几个概念：几个概念：区间套（闭区间套），区间套（闭区间套），聚点（聚点（3个等价定义及其等价性的证明），个等价定义及其等价性的证明），开覆盖（有限开覆盖）。开覆盖（有限开覆盖）。举例说明闭区间套定理中将闭区间换成开区间举例说明闭区间套定理中将闭区间换成开区间结论不成立。结论不成立。, 0)01(lim

7、10 nnn且且是前一个包含后一个，是前一个包含后一个，），（如如 但不存在属于所有开区间的公共点。但不存在属于所有开区间的公共点。 举例说明有限覆盖定理中将闭区间换成开区举例说明有限覆盖定理中将闭区间换成开区间结论不成立。间结论不成立。, 2 , 1)1 ,11( nn，如如开开区区间间集集合合但不能从中选出有限个开区间盖住（但不能从中选出有限个开区间盖住（0， 1）。）。因为右端点始终为因为右端点始终为1，左端点有限个中必有一个最小者，左端点有限个中必有一个最小者，,11 n设为设为。）这这部部分分将将不不能能被被盖盖住住，则则（110 n构成了开区间（构成了开区间（0， 1）的一个开覆盖

8、）的一个开覆盖 ，nnxa limnnxa lim定义定义 有界数列有界数列(点列点列) xn的最大聚点的最大聚点 与最小聚点与最小聚点a分别分别称为称为xn的上极限与下极限的上极限与下极限,记作记作a数列的上下极限概念数列的上下极限概念 1. 在（在（a，b）上的连续函数）上的连续函数 f 为一致连续的充要条为一致连续的充要条件是件是 f（a+0）与）与f（b-0）都存在。）都存在。不适合无限开区间不适合无限开区间 f(x)一致连续的判定：一致连续的判定：存在，存在，连续，连续，在在若若)(lim),)( . 2xfaxfx一致连续。一致连续。，在在则则)( axf3. 闭区间上连续的函数必

9、一致连续。闭区间上连续的函数必一致连续。.)()(, 0)(, 0 . 4 xfxfxxixx就有就有只要只要5. 若若f(x)在在有限区间有限区间i上无界，则上无界，则f(x)在在i上必上必不不一致连续。一致连续。p168.1.解答解答，偶偶子子列列收收敛敛于于的的奇奇子子列列收收敛敛于于）（1111 nsn的聚点。的聚点。是是，s11 ， 11 |,)1(| |,1min| 取取的有限项，的有限项，内至多有内至多有则在则在su)2,( 的有限个偶数项，的有限个偶数项，外至多有外至多有则在则在su)2|1| , 1( 的有限个奇数项，的有限个奇数项，外至多有外至多有则在则在su)2| )1(

10、| , 1( 的聚点。的聚点。不是不是s p168.7.证法证法1：不妨设不妨设xn单调增加。单调增加。 若若xn无界或无界或xn是常数列，是常数列， 则则xn一定没有聚点。一定没有聚点。不合题意。不合题意。故故xn必为有界数列且不是常数列。必为有界数列且不是常数列。从而从而xn一定有确界，一定有确界，,sup nx设设由单调有界定理的证明可知：由单调有界定理的证明可知：,lim nnx的聚点。的聚点。是是故故nx 的聚点，则的聚点，则也是也是若若nx ，的子列收敛于的子列收敛于 nx ，的任意子列必收敛于的任意子列必收敛于，所以，所以收敛于收敛于而而 nnxx. .,:.的确界且为则必是唯一

11、的存在聚点若证明单调nnnxxx证法证法2：的一个聚点，的一个聚点，是是设设nx ，收敛于收敛于的子列的子列则则 knnxx .lim nnx且且,sup nx由单调有界定理的证明可知：由单调有界定理的证明可知：故故xn一定有界，从而有确界。一定有界，从而有确界。的聚点，则的聚点，则也是也是若若nx ，的子列收敛于的子列收敛于 nx ，的任意子列必收敛于的任意子列必收敛于，所以，所以收敛于收敛于而而 nnxx. 单调，单调， nx, nx则则收敛。收敛。 nx, knx矛盾！矛盾！,若无界若无界单单调调且且有有界界，nxp172.2证证都存在，都存在，一致连续，一致连续，在在)0(),0(),

12、( bfafbaf bxbfbxaxfaxafxf ),0( ),( ),0()( 令令连续，从而有界，连续，从而有界，在在则则,)(baxf.),()(有界有界在在baxf成成立立。为为无无限限区区间间时时，结结论论不不当当),(ba界界。）一一致致连连续续，但但显显然然无无，在在（如如： xxf)(有限区间有限区间i上一致连续的函数必有界。上一致连续的函数必有界。 若若i为闭区间，则结论显然。为闭区间，则结论显然。下面假设下面假设i为开区间（为开区间（a, b）。）。p172.3证证, 0sinlim xxx.|sin|, 0, 0 xxmxm有有|sinsin|,xxxxmxx 有有|sin|sin|xxxx .2 ）一致连续。）一致连续。在（在（即即,sinmxx , 0( ,sin0 , 1)(mxxxxxf令令连连续续，从从而而一一致致连连续续，在在则则0)(mxf一致连续。一致连续。在（在