高一数学必一修1知识点梳理与总结

1、学问点大全高一数学必修1 各章学问点总结第一章集合与函数概念一、集合有关概念集合的含义集合的中元素的三个特性：元素的确定性如：世界上最高的山元素的互异性如：由happy 的字母组成的集合h,a,p,y元素的无序性: 如： a,b,c 和a,c,b 是表示同一个集合3.集合的表示：如： 我校的篮球队员 ， 太平洋 ,大西洋 ,印度洋 ,北冰洋 用拉丁字母表示集合：a= 我校的篮球队员,b=1,2,3,4,5集合的表示方法：列举法与描述法；留意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作： n正整数集n* 或n+整数集 z有理数集q实数集 r列举法： a,b,c描述法：将集合中的元素的公共属性

2、描述出来，写在大括号内表示集合的方法；xr| x-3>2 ,x| x-3>2语言描述法：例： 不是直角三角形的三角形venn 图 :4、集合的分类：有限集含有有限个元素的集合无限集含有无限个元素的集合空集不含任何元素的集合例 ： x|x2= 5二、集合间的基本关系1.“包含”关系子集留意： ab 有两种可能（1） a 是 b 的一部分，；（ 2） a 与 b 是同一集合；反之 : 集合 a 不包含于集合b,或集合 b 不包含集合a, 记作 ab 或 ba2“相等”关系：a=b5 5，且 5 5，就 5=5实例：设a=x|x2-1=0b=-1,1“元素相同就两集合相等”即：任何一个集

3、合是它本身的子集；aa真子集 :假如 ab,且 ab 那就说集合a 是集合 b 的真子集，记作ab 或 ba学问点大全假如ab, bc , 那么ac 如 果 ab同时ba 那 么 a=b3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为规定 : 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集；有 n 个元素的集合，含有2n 个子集， 2n-1 个真子集三、集合的运算运 算交集并集补集类型定由全部属于a 且 属义于 b 的元素所组成的集合 ,叫做 a,b 的交集记作ab（读作 a 交 b ），即 ab=x|xa ，由全部属于集合a 或属于集合b 的元素所组 成 的 集 合 ， 叫 做a,b的并集记作：ab

4、 （读作a并b ）， 即ab设 s 是一个集合，a 是s 的一个子集，由 s 中全部不属于 a 的元素组成的集合，叫做 s 中子集 a 的补集（或余集）记作 c s a ，即且 xb韦恩ab=x|xa，或 xb abcsa= x | xss,且xaa图示性图 1图 2aa=aaa=acuacuba =a =a= cu ab质ab=baab=bacuacubabaab= cuababbabbacua=uacua= 例题：1.以下四组对象，能构成集合的是（）a 某班全部高个子的同学b 闻名的艺术家c 一切很大的书d倒数等于它自身的实数学问点大全2.集合 a ， b， c 的真子集共有个3.如集合

5、m=y|y=x2-2x+1,xr,n=x|x 0 ，就 m 与 n 的关系是.x 1x4.设集合 a=2x xaa，b=，如 ab，就的取值范畴是5.50 名同学做的物理、化学两种试验，已知物理试验做得正确得有40 人，化学试验做得正确得有31 人，两种试验都做错得有4 人，就这两种试验都做对的有人；6. 用描述法表示图中阴影部分的点（含边界上的点）组成的集合m=.7. 已 知 集 合a=x|x2+2x-8=0,b=x|x2-5x+6=0,c=x| x2-mx+m2-19=0,如 b c ， a c= ，求 m 的值二、函数的有关概念1函数的概念：设 a 、b 是非空的数集，假如依据某个确定的

6、对应关系f ，使对于集合 a 中的任意一个数 x，在集合 b 中都有唯独确定的数 fx 和它对应，那么就称 f ：a b 为从集合 a 到集合 b 的一个函数记作： y=fx ， x a 其中， x 叫做自变量， x 的取值范畴 a 叫做函数的定义域； 与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值， 函数值的集合 fx| x a 叫做函数的值域 留意：1定义域：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域；求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：1分式的分母不等于零； 2偶次方根的被开方数不小于零；3 对 数 式 的 真 数 必 须 大 于 零 ； 4指数、对数式的底必需大于零且不等于1. 5假

7、如函数是由一些基本函数通过四就运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的 x 的值组成的集合. 6指数为零底不行以等于零， 7实际问题中的函数的定义域仍要保证明际问题有意义.相同函数的判定方法：表达式相同 （与表示自变量和函数值的字母无关）；定义域一样两点必需同时具备 见课本 21 页相关例2 2值域: 先考虑其定义域 1观看法2配方法3代换法学问点大全3. 函数图象学问归纳1定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=fx , x a 中的 x 为横坐标，函数值 y 为纵坐标的点 px ， y的集合 c，叫做函数 y=fx,x a 的图象 c 上每一点的坐标 x ，y 均满意函数关系 y

8、=fx ，反过来，以满意 y=fx 的每一组有序实数对 x 、y 为坐标的点 x ， y，均在 c 上 .(2) 画 法 描 点 法 ： 图象变换法常用变换方法有三种平移变换伸缩变换对称变换4区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间（2）无穷区间（3）区间的数轴表示5映射一般地，设 a 、b 是两个非空的集合，假如按某一个确定的对应法就f ，使对于集合 a 中的任意一个元素 x，在集合 b 中都有唯独确定的元素 y 与之对应，那么就称对应 f： a b 为从集合 a 到集合 b 的一个映射；记作“ f （对应关系） ： a （原象） b（象）”对于映射f： a b 来说，就应满

9、意：1集合 a 中的每一个元素，在集合b 中都有象，并且象是唯独的； 2集合 a 中不同的元素，在集合b 中对应的象可以是同一个； 3不要求集合b 中的每一个元素在集合a 中都有原象； 6. 分 段 函 数 1在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数； 2各部分的自变量的取值情形 3分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集 补充：复合函数如 果 y=fuu m,u=gxx a, 就y=fgx=fxx a称为 f 、g 的复合函数；二函数的性质1.函数的单调性局部性质 （1）增函数设函数 y=fx 的定义域为i ，假如对于定义域i 内的某个区间d 内的任意两个自变量x1， x

10、2，当 x1<x2 时 ， 都有fx1<fx2 ，那么就说fx 在区间d 上是增函数 .区间 d 称为 y=fx 的单调增区间 .假如对于区间d 上的任意两个自变量的值x1，x2，当 x1<x2时，都有 fx1 fx2 ，那么就说学问点大全fx 在这个区间上是减函数.区间 d 称为 y=fx 的单调减区间.留意：函数的单调性是函数的局部性质；（2）图象的特点假如函数y=fx 在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=fx 在这一区间上具有严格的 单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的. 3.函数单调区间与单调性的判定方法(a) 定义法：

11、 1任取 x1，x2 d，且 x1<x2 ； 2作 差 fx1 fx2 ； 3变形（通常是因式分解和配方）； 4定号（即判定差fx1 fx2 的正负）； 5下结论（指出函数fx 在给定的区间d 上的单调性） (b) 图象法 从图象上看升降c复合函数的单调性复合函数fgx 的单调性与构成它的函数u=gx ，y=fu 的单调性亲密相关，其规律：“同增异减”留意： 函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.8函数的奇偶性（整体性质）（1）偶函数一般地，对于函数fx 的定义域内的任意一个x，都有 f x=fx ，那么 fx 就叫做偶函数（2）奇函数一般地，对

12、于函数fx 的定义域内的任意一个x，都有 f x= fx ，那么fx 就叫做奇函数（3）具有奇偶性的函数的图象的特点偶函数的图象关于y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称利用定义判定函数奇偶性的步骤： 1 第一确定函数的定义域，并判定其是否关于原点对称； 2 确定 f x 与 fx 的关系； 3 作出相应结论： 如 f x = fx或 f x fx = 0 ，就 fx 是偶函数；如 f x = fx或 f x fx = 0 ，就 fx 是奇函数留意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件第一看函数的定义域是否关于 原点对称，如不对称就函数是非奇非偶函数.如对称， 1 再依据定义判定;

13、2 由f-x ± fx=0或 fx f-x= ± 1 来判定 ; 3 利用定理，或借助函数的图象判定.9、函数的解析表达式（1） .函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法就，二是要求出函数的定义域.（2）求函数的解析式的主要方法有：学问点大全凑配法待定系数法换元法消参法10函数最大（小）值（定义见课本p36 页） 1利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值 2利用图象求函数的最大（小）值 3利用函数单调性的判定函数的最大（小）值：假如函数y=fx 在区间 a，b 上单调递增，在区间b ，c 上单调递减就函数y=fx

14、 在 x=b 处 有最大 值 fb ；假如函数y=fx 在区间 a，b 上单调递减，在区间b ，c 上单调递增就函数y=fx 在 x=b 处 有最小 值 fb ；例题：1.求以下函数的定义域：x22 x15yy1 x1 2x332x12.设函数f x 的定义域为 0，1 ，就函数f x 的定义域为 _3.如函数f x1 的定义域为2， 3 ，就函数f 2 x1 的定义域是x2 x14.函数f xx2 1x2x x22， 如 f x3， 就 x =5.求以下函数的值域：2 yx2x3 xryx22x3x1,2(3) yx12 x4yx24x526.已知函数f x1x4x ，求函数fx ，f 2x

15、1的解析式x 37.已知函数f x满意 2f xf x 3x4，就f x =；8.设 fx是 r 上的奇函数，且当x0, 时,f xx1,就当 x,0 时f x =学问点大全f x 在 r 上的解析式为9.求以下函数的单调区间：yx22 x3yx22x3yx26 x110.判定函数yx31x 21的单调性并证明你的结论f x 11.设函数1x 2判定它的奇偶性并且求证：f 1 xf x 其次章基本初等函数一、指数函数（一）指数与指数幂的运算n1根式的概念：一般地，假如xa ，那么 x 叫做 a 的 n 次方根，其中n >1， 且 n n * n负数没有偶次方根；0 的任何次方根都是0，记

16、作00 ；当 n 是奇数时，n a na ，当 n 是偶数时，n a n| a |aa0aa02分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定：mmn11 aamnm0, m,nn * , n1a nn a m a0, m, nn * , n1 ，a na0 的正分数指数幂等于0， 0 的负分数指数幂没有意义3实数指数幂的运算性质（1） a r · a ra r sa0,r , sr ；rs（2） ar（3） aba rsa r a sa0,r , sa0,r , sr ；r （二）指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数ya x a0, 且a1 叫做指数函数，其中x 是自变量，学问

17、点大全函数的定义域为r留意：指数函数的底数的取值范畴，底数不能是负数、零和12、指数函数的图象和性质a>10<a<166554433221 11 1-4-2246-4-224600-1-1定义域r定义域r值域 y 0值域 y 0在 r 上单调递增非奇非偶函数在 r 上单调递减非奇非偶函数函数图象都过定点（0，1）函数图象都过定点（0， 1）留意：利用函数的单调性，结合图象仍可以看出：（1）在 a， b 上，f x a x a0且a1 值域是 f a, f b或 f b, f a ；（2） 如 x0 ，就f x1 ； f x 取遍全部正数当且仅当xr ；（3）对于指数函数f x

18、a x a0且a1 ，总有f 1a ；二、对数函数（一）对数1对数的概念：一般地，假如a xn a0,a1 ，那么数x 叫做以 a 为底 n 的对数，记作 ： xlog an （ a 底数， n 真数，log an 对数式）说明：1留意底数的限制a0 ，且 a1 ；a xn2log a nx ；log a n 3留意对数的书写格式两个重要对数：学问点大全 1常用对数：以10 为底的对数lg n ； 2自然对数：以无理数e2.71828为底的对数的对数ln n 指数式与对数式的互化幂值真数a b nlog a n b底数指数对数（二）对数的运算性质如 果 a0 ， 且 a1 ， m0 ， n0

19、，那么： 1log a m· n log a m log a n ；mlog a 2nlog a m log a n ；n 3log a mn log a mnr 留意：换底公式log a blog c blog c a（ a0 ， 且 a1； c0 ， 且 c1 ； b0 ）利用换底公式推导下面的结论nloga m b（1）n log mb；（ 2）log a b1log b a a（二）对数函数1、对数函数的概念：函数y数的定义域是（0，+）log axa0 ， 且 a1 叫做对数函数，其中x 是自变量，函留意：1对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，留意辨别；如：y2 l

20、og 2 x ，学问点大全xylog 55都不是对数函数，而只能称其为对数型函数 2对数函数对底数的限制：a0 ， 且 a1 2、对数函数的性质：a>10<a<132.521.51 132.521.51 10.5-10-0 .5-1-1 .5-2-2 .51234567810.50-1-0 .5-1-1 .5-2-2 .51 12345678定义域 x 0值域为 r定义域x0值域为r在 r 上递增函数图象都过定点（1， 0）在 r 上递减函数图象都过定点（1， 0）（三）幂函数1、幂函数定义：一般地，形如2、幂函数性质归纳yx ar 的函数称为幂函数，其中为常数（1）全部的幂函数在（0， +）都有定义并且图象都过点（1， 1）；（2）0 时，幂函数的图象通过原点，并且在区间0, 上是增函数 特殊地， 当1时，幂函数的图象下凸；当01时，幂函数的图象上凸；（3）0 时，幂函数的图象在区间0, 上是减函数在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地靠近y 轴正半轴，当x 趋于近 x 轴正半轴时，图象在x 轴上方无限地逼例题：1. 已 知 a>0， a0，函数 y=ax 与 y=loga-x 的图象只能是学问点大全log 3 2log644