高一数学必修1函数知识总结及例题

1、第一篇、复合函数问题一、复合函数定义：设 y=fu的定义域为a， u=gx 的值域为 b，如 ab，就 y 关于 x 函数的 y=f gx 叫做函数f 与 g 的复合函数，u 叫中间量 .二、复合函数定义域问题：（一）例题剖析：1 、已知f x 的定义域，求fg x的定义域思路：设函数f x 的定义域为d，即 xd ，所以 f 的作用范畴为d，又 f 对 g x 作用，作用范畴不变，所以g xd ，解得 xe ， e 为 f g x的定义域；例 1. 设函数fu 的定义域为（0，1），就函数flnx 的定义域为 ；解析：函数f u 的定义域为（ 0， 1）即 u0，1 ，所以f 的作用范畴为（

2、0 ，1）又 f 对 lnx 作用，作用范畴不变，所以0ln x1解得 x1，e ，故函数flnx 的定义域为（1， e）例 2. 如函数f x1，就函数ffx1 x 的定义域为 ；解析：先求f 的作用范畴，由f x1，知 x1x1即 f 的作用范畴为xr|x1 ，又 f 对 fx 作用所以 f xr且fx1 ，即 ff x 中 x 应满意x1f x1x1即11 ，解得 x x11且x2故函数 ffx 的定义域为xr|x1且x2（ 2）、已知fg x 的定义域，求f x 的定义域思路： 设 fg x的定义域为d，即 xd ，由此得 g xe ，所以 f 的作用范畴为e，又 f 对 x 作用，作

3、用范畴不变，所以xe， e 为 f x 的定义域；例 3. 已知 f32 x 的定义域为x1， 2，就函数f x 的定义域为 ；解析： f 32x的定义域为1， 2，即 x1， 2，由此得 32x1， 5所以 f 的作用范畴为1，5，又 f 对 x 作用，作用范畴不变，所以x1， 5即函数 f x 的定义域为1，5例 4. 已知 f x24 lgx 2x 28，就函数f x 的定义域为 ；解析：先求f 的作用范畴，由f x 24lgx，知2x 28x 2x 280解得 x 244 ， f 的作用范畴为4， ，又 f 对 x 作用，作用范畴不变，所以x4， ，即 f x 的定义域为 4，（ 3）

4、、已知fg x 的定义域，求fh x的定义域思路：设fgx的定义域为d，即 xd ，由此得g xe ， f 的作用范畴为e，又 f 对 h x 作用，作用范畴不变，所以h xe ，解得 xf ， f 为 fh x的定义域；例 5. 如函数f2x 的定义域为1，1，就 flog 2x 的定义域为 ；解析： f2x 的定义域为1， 1，即 x1，1，由此得 2 x1 ， 221f 的作用范畴为， 2 2又 f 对 log 2x 作用，所以log 2 x1 ， 22，解得 x2 ， 4即 f log 2 x 的定义域为2 ， 4评注：函数定义域是自变量x 的取值范畴（用集合或区间表示）f 对谁作用，

5、就谁的范畴是 f 的作用范畴， f 的作用对象可以变，但f 的作用范畴不会变；利用这种理念求此类定 义域问题会有“得来全不费功夫”的感觉，值得大家探讨；（二）同步练习：1、 已知函数f x的定义域为 0,1 ，求函数f x 2 的定义域；答案： 1, 12、 已知函数f 32x 的定义域为 3, 3 ，求f x 的定义域；答案： 3,93、 已知函数 yf x2 的定义域为1,0) ，求f | 2x1| 的定义域；答案：1 , 021,322xx24、设fxlg，就ff的定义域为（）2x2xa.4,00,4b.4,11,4c.2,11,2d.4,22,42x2,解：选 c.由 2x2x0得，f

6、 x 的定义域为x |2x2 ；故2222.x，解得x4,11,4；故fx2f2的定义域为4,11,4 x5、已知函数f x 的定义域为x13, ，求 22g xf axxf a a0) 的定义域；解析由已知，有1 ax3 ,221x3 ,2 a21x3 ,2a2aa3xa.22（ 1）当 a1 时，定义域为 x |1 2x3 ；2（ 2）当33 a ，即 0a1 时，有1a ，2a22a2定义域为a x |23xa ；2（ 3）当33 a ，即 a1 时，有1a ，定义域为2a2 x |1x3 .2a2故当 a2a1 时，定义域为2a x |1 2ax3 ；2a当 0a1时，定义域为a x

7、|23xa.2点评对于含有参数的函数，求其定义域， 必需对字母进行争论，要留意摸索争论字母的方法；三、复合函数单调性问题（1）引理证明已知函数yf g x . 如 ug x 在区间a, b）上是减函数，其值域为c ， d ，又函数 yf u 在区间 c,d上是减函数，那么，原复合函数yf g x 在区间 a,b）上是增函数 .证明：在区间a ,b ）内任取两个数x1 , x2 ，使 ax1x2b由于 ug x 在区间a, b ）上是减函数，所以g x1 g x2 , 记 u1g x1 ,u2g x2 即 u1u2, 且u1, u2c, d由于函数yf u 在区间 c,d上是减函数，所以f u1

8、 f u2 , 即f g x1 f gx2 ，故函数 yf g x 在区间a,b ）上是增函数 .（ 2）复合函数单调性的判定复合函数的单调性是由两个函数共同打算；为了记忆便利， 我们把它们总结成一个图表：yf u 增 减 增 减 增 减 增 减 减 增 ug xyf g x以上规律仍可总结为： “同向得增，异向得减”或“同增异减”.（ 3）、复合函数yf g x 的单调性判定步骤：确定函数的定义域；将复合函数分解成两个简洁函数：yf u 与 ug x ；分别确定分解成的两个函数的单调性；如两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），就复合后的函数yf g x 为增函数；

9、如两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函数），就复合后的函数yf g x 为减函数；（ 4）例题演练例 1、 求函数 y2log 1 x22 x3 的单调区间，并用单调定义赐予证明解：定义域x 22 x30x3或x1单调减区间是3,设 x1 , x23,且x1x2就y12log 1 x12 x13y22log 1 x22 x23222x12x13x22x23 = x2x1 x2x122 x2x13 x2x10x2x1201 x 22x13 > x 22x23又底数 01122 y2y10即y2y1 y 在 3, 上是减函数同理可证：y 在 ,1 上是增函数例

10、2、争论函数f xlog a3x22x1 的单调性 .解由3x22x110 得函数的定义域为 x | x1,或x.23就当 a函数 .1 时，如 x1 ， u3x22x1 为增函数， f xloga 3x2x1 为增1如 x， u233x22x1 为减函数 . f xloga 3x2x1 为减函数；当 0a1 时 ， 如 x1 ， 就f xlo g3x22x1为 减 函 数 ， 如 x1 ， 就3af xlo g3x22x1为增函数 .例 3、. 已知 y= log a 2-解： a 0 且 a 1当 a1 时，函数 t=2-axa 在 0， 1上是 x 的减函数，求a 的取值范畴 .aa x

11、 >0 是减函数由 y= log a a 12-a x 在 0， 1上 x 的减函数，知y= logt 是增函数，由 x0， 1时， 2- a x 1 a 22-a 0, 得 a 2,a当 0<a<1 时，函数t=2-a x >0 是增函数由 y= log a 0<a<12-a x 在 0， 1上 x 的减函数，知y= logt 是减函数，由 x0， 1时， 2- a x2-1 0, 0<a<1综上述， 0<a<1 或 1 a2例4 、 已 知 函 数f x2ax2a3 xa2 （ a 为 负 整 数 ） 的 图 象 经 过 点 m2

12、,0, mr ，设g xf fx, f xpg xf x .问是否存在实数p p0 使得f x 在区间 , f 2 上是减函数，且在区间 f 2,0 上是减函数？并证明你的结论；解析由已知f m20 ，得am2a3ma20 ，其中 mr,a0.0 即 3a22a90 ，解得 1273a127 .3 a 为负整数，a1. f x2x4x3 x2 21 ，即 f xx 21.g xf f x x2121x42x 2 ， f xpg xf xpx42 p1 x21.假设存在实数p p0 ，使得f x 满意条件，设x1x2 ， f x1 f x2 x2x2 p x2x2 2 p1.1212 f 23

13、，当x1, x2, 3 时，f x 为减函数， f x1 f x2 0 ，220,p x2x 2 2 p10.xx1212 x13, x23,2218 ,xx112p x 216 px2 2 p210.116 p1 ,当 x1 , x23,0 时, f x增函数 ,f x1 f x2 0.1 x 220 ,p x 2x2 2 p116 p1,x12216p10 .由、可知p11，故存在p. 1616（ 5）同步练习：1函数 y log 1 （ x2 3x 2）的单调递减区间是（）2a（， 1）b（2，）c（，3 ）d（23 ，）2解析： 先求函数定义域为（o，1）（ 2，），令 t（ x） x

14、23 x 2，函数 t（ x）在（， 1）上单调递减，在（2，）上单调递增，依据复合函数同增异减的原就，函数 ylog 12（x2 3x 2）在（ 2，）上单调递减答案： b2 找出以下函数的单调区间.（ 1） ya x 23x 2 a1；（ 2） y2x 22x 3.答案： 1在 , 3 上是增函数，在2 3 ,2 上是减函数；x（ 2）单调增区间是1,1 ，减区间是1,3 ；3、争论 ylog a a1, a0,且a0 的单调性；答案： a1,时 0, 为增函数， 1a0 时， ,0 为增函数；4求函数y log 1 （ x2 5x 4）的定义域、值域和单调区间3解： 由（ x） x2 5

15、x 4 0，解得 x4 或 x 1，所以 x（， 1 ）（ 4，），当 x（， 1）（ 4，）， x25 x 4 r ，所以函数的值域是r 因22为函数 y log 1 （ x 5x 4）是由 y log 1（ x）与（ x） x 5 x 4 复合而成，函33数 ylog（ x）在其定义域上是单调递减的，函数（ x） x2 5x 4 在（，5 ）132上为减函数， 在5 ， 上为增函数 考虑到函数的定义域及复合函数单调性，y log2131（x2 5x 4）的增区间是定义域内使y log3（ x）为减函数、（ x） x2 5x 4 也2为减函数的区间，即（， 1）；y log 1 （x 5x

16、4）的减区间是定义域内使y log 133（x）为减函数、（x） x2 5x 4 为增函数的区间，即（4，）变式练习一、挑选题1函数 f（ x）log 1 x12的定义域是（）a（1，）b（ 2，）c（， 2）d 1，2解析： 要保证真数大于0，仍要保证偶次根式下的式子大于等于0，x10所以log 1 x120 解得 1x 2答案： d22函数 y log 1 （ x 3x 2）的单调递减区间是（）2a（， 1）b（ 2，）c（，3 ）d（23 ，）2解析： 先求函数定义域为（o，1）（ 2，），令 t（ x） x23 x 2，函数 t（ x）在（， 1）上单调递减，在（2，）上单调递增，依据

17、复合函数同增异减的原就，函数 ylog 12（x2 3x 2）在（ 2，）上单调递减答案： b3如 2 lg （ x2y） lg x lg y，就y 的值为（）xa4b 1 或 14c 1 或 4d 14错解： 由 2 lg （ x 2y） lg x lg y，得（ x2y）2 xy，解得 x4y 或 xy，就有 yx 1 或4x 1y答案： 选 b正解： 上述解法忽视了真数大于0 这个条件，即x2y0，所以 x 2y所以 x y 舍掉只有x 4y答案： d4如定义在区间（1， 0）内的函数f（ x）log 2a （ x 1）满意f （ x） 0，就a的取值范畴为（）a（0，11 ）b（ 0，

18、 1 ）22c（，）d（ 0，）2解析： 由于 x（ 1，0），所以 x 1（ 0， 1）当 f（ x） 0 时，依据图象只有02a l，解得 0 a 答案： a1（依据本节思维过程中第四条提到的性质）25函数 y lg （2 1）的图象关于（）1 xa y 轴对称b x 轴对称c原点对称d直线 yx 对称21 x1 x1 x解析： y lg （ 1） lg，所以为奇函数形如y lg或 y lg的函数都为奇函数答案： c二、填空题1 x1 x1 x1 x已知 y log a （ 2 ax）在 0， 1上是 x 的减函数，就a 的取值范畴是 解析： a 0 且 a 1（ x） 2 ax 是减函数

19、，要使y log a （ 2 ax）是减函数，就 a 1，又 2ax 0a答案： a（ 1 ，2）2 （ 0 x 1）a 2，所以 a（ 1，2）37函数 f（ x）的图象与g（ x）（的单调递减区间为 1 ）x 的图象关于直线y x 对称，就f（ 2x x2 ）3解析： 由于 f（x）与 g（ x）互为反函数，所以f（ x）log 1 x3就 f（ 2x x2 ）log 1 （ 2x x ），令（ x） 2x x 0，解得 0 x 2223（ x） 2x x2 在（ 0， 1）上单调递增，就f（ x）在（ 0，1）上单调递减；（ x） 2x x2 在（ 1， 2）上单调递减，就f（ x）在

20、1，2）上单调递增所以 f （ 2xx2）的单调递减区间为（0， 1）答案：（ 0，1）8已知定义域为r 的偶函数f （x）在 0，上是增函数，且f（ 就不等式 f （log4x）的解集是 1 ） 0，2解析： 由于 f（ x）是偶函数，所以f （1 ） f（21 ） 0又 f（ x）在 0，2上是增函数， 所以 f（x）在（， 0）上是减函数 所以 f（ log4x）0log4x1 或 log4x212解得 x 2 或 0 x 1 2答案： x 2 或 0 x 12三、解答题29求函数y log 1 （ x 5x 4）的定义域、值域和单调区间3解： 由（x） x2 5x 4 0，解得 x 4

21、 或 x 1，所以x（， 1）（ 4，）， 当 x（， 1）（ 4，）， x2 5x4 r ，所以函数的值域是r22 5x 4 复合而成，由于函数y log 1 （ x 5 x 4）是由 y log 1（x）与（ x）x331函数 y log（ x）在其定义域上是单调递减的，函数（ x） x2 5x 4 在（， 5 ）32上为减函数， 在5 ， 上为增函数 考虑到函数的定义域及复合函数单调性，y log1231（x2 5x 4）的增区间是定义域内使y log3（ x）为减函数、（ x） x2 5x 4 也2为减函数的区间，即（， 1）；y log 1 （x 5x 4）的减区间是定义域内使y l

22、og 133（x）为减函数、（x） x2 5x 4 为增函数的区间，即（4，）10设函数f（x）23 x5 lg 32 x ，32 x（ 1）求函数f（ x）的定义域；（ 2）判定函数f（ x）的单调性，并给出证明； 11（ 3）已知函数f （x）的反函数f（x），问函数y f（ x）的图象与x 轴有交点吗 .如有，求出交点坐标；如无交点，说明理由32 x5333解：（ 1）由 3x5 0 且 3 232 x 0，解得 x且3 x2取交集得 x22（ 2）令（ x） 3 x 5，随着 x 增大，函数值减小，所以在定义域内是减函数；3 2x3 2x 1632 x随着 x 增大，函数值减小，所以在

23、定义域内是减函数又 y lgx 在定义域内是增函数，依据复合单调性可知，y lg32 x32 x是减函数，所以f（x）23x5 lg32 x32 x是减函数（ 3）由于直接求f（ x）的反函数特别复杂且不易求出，于是利用函数与其反函数之间定义域与值域的关系求解0设函数 f（ x）的反函数f1（ x）与工轴的交点为（x ，0）依据函数与反函数之间定义 域与值域的关系可知，f（x）与y 轴的交点是（ 0， x0），将（ 0， x0）代入f（ x），解得x0 2 所以函数y f5 1（ x）的图象与x 轴有交点，交点为（2， 0）；5一 指数函数与对数函数同底的指数函数（二）主要方法：yax 与对数

24、函数ylog ax 互为反函数；1解决与对数函数有关的问题，要特殊重视定义域；2指数函数、对数函数的单调性打算于底数大于1 仍是小于1，要留意对底数的争论；3比较几个数的大小的常用方法有：以0 和1为桥梁；利用函数的单调性；作差（三）例题分析：例 1（ 1）如a 2ba1 ，就 log bb， logb a ， log a b 从小到大依次为；zaxx（ 2）如 23 y5，且 x，y ，z 都是正数，就 2 x ，3y ，5 z 从小到大依次为；（ 3）设 x0 ，且 a xb1 （ a0 ， b0 ），就 a 与 b 的大小关系是（）（ a ） ba1（ b ） ab1（ c ） 1ba（

25、 d ） 1ab解：（ 1）由 a 2ba1得 ba ，故 logbbaalog ba1log a b （ 2）令 2x3 y5zt ，就 t1 ， xlg t， ylg 2lg t， zlg 3lg t，lg5 2 x3 y2lg t3lg tlg tlg9lg80 ， 2 x3 y ；lg 2lg3lg 2 lg3同理可得：2x5 z0 ， 2 x5z ， 3 y2 x5z （ 3）取 x1 ，知选（ b ）例 2已知函数f xa xx2 a x11 ，求证：（ 1）函数f x 在 1, 上为增函数； （ 2）方程f x0 没有负数根证明：（ 1）设1x1x2 ，就 f x f x a x1x12a x2x2212x11xxxx212 x2xx3 xx a 1a 212a 1a