153定积分的概念课件

1、高中数学选修高中数学选修2-22-2第一章第一章定定积分积分温故知新温故知新 曲边梯形的定义：曲边梯形的定义：分割区间分割区间过剩估计值过剩估计值不足估计值不足估计值逼近所求面积逼近所求面积 求曲边梯形面积的步骤：求曲边梯形面积的步骤： 我们把由我们把由直线直线 x = a，x = b (a b)， y = 0和曲和曲线线 y = f (x) 所围成的图形叫作所围成的图形叫作曲边梯形曲边梯形。（一）、定积分的定义（一）、定积分的定义 11( )( )nniiiibafxfn 小矩形面积和s=如果当如果当n时，时，s 的无限接近某个常数，的无限接近某个常数，这个常数为函数这个常数为函数f(x)在

2、区间在区间a, b上的定积分，记作上的定积分，记作 ba (x)dx，即f (x)dx f ( i)xi。 从求曲边梯形面积从求曲边梯形面积s的过程中可以看出的过程中可以看出,通过通过“四步曲四步曲”:分割分割-近似代替近似代替-求和求和-取极限得到解决取极限得到解决.1( )lim( )ninibaf x dxfnba即定积分的定义：定积分的相关名称：定积分的相关名称： 叫做积分号，叫做积分号， f(x) 叫做被积函数，叫做被积函数， f(x)dx 叫做被积表达式，叫做被积表达式， x 叫做积分变量，叫做积分变量， a 叫做积分下限，叫做积分下限， b 叫做积分上限，叫做积分上限， a, b

3、 叫做积分区间。叫做积分区间。1( )lim( )ninibaf x dxfnba即oabxy)(xfy 被积函数被积函数被积表达式被积表达式积分变量积分变量积分下限积分下限积分上限积分上限baf(x)dx f (t)dt f(u)du。 说明：说明： (1) 定积分是一个数值定积分是一个数值, 它只与被积函数及积分区间有关，它只与被积函数及积分区间有关， 而与积分变量的记法无关，即而与积分变量的记法无关，即（2）定定义义中中区区间间的的分分法法和和 i的的取取法法是是任任意意的的. b ba af f( (x x) )dxdx b ba af f ( (x x) )dxdx - -(3)(3

4、)(二二)、定积分的几何意义、定积分的几何意义：ox yab yf (x)baf (x)dx f (x)dxf (x)dx。 xa、xb与 x轴所围成的曲边梯形的面积。 当 f(x)0 时，积分dxxfba)(在几何上表示由 y=f (x)、 特别地，当 ab 时，有baf (x)dx0。 当当f(x) 0时，由时，由y f (x)、x a、x b 与与 x 轴所围成的轴所围成的曲边梯形位于曲边梯形位于 x 轴的下方，轴的下方，x yodxxfsba)(，dxxfba)(ab yf (x) yf (x)dxxfsba)(baf (x)dx f (x)dxf (x)dx。 s上述曲边梯形面积的负

5、值。上述曲边梯形面积的负值。 定积分的几何意义：定积分的几何意义：积分 b ba af f ( (x x) )dxdx 在几何上表在几何上表示示 b ba af f ( (x x) )d dx x f f ( (x x) )d dx x f f ( (x x) )d dx x。 s sab yf (x)ox y( )yg x探究探究:根据定积分的几何意义根据定积分的几何意义,如何用定积分表示图中阴影部分的如何用定积分表示图中阴影部分的面积面积?ab yf (x)ox y1()basfx dx( )yg x12( )( )bbaas s sf xdxg xdx 2( )basg x dx（三）（

6、三）、定积分的基本性质、定积分的基本性质 性质性质1. 1. dx)x(g)x(fba babadx)x(gdx)x(f性质性质2. 2. badx)x(kf badx)x(fk三三: : 定积分的基本性质定积分的基本性质 定积分关于积分区间具有定积分关于积分区间具有可加性可加性 bccabadx)x(fdx)x(fdx)x(f 性质性质3. 3. 2121 ccbccabadx)x(fdx)x(fdx)x(fdx)x(f思考：思考：从定积分的几从定积分的几何意义解释性质何意义解释性质ab y=f(x)baf (x)dx f (x)dxf (x)dx。 f (x)dx f (x)dxf (x)

7、dx。 f (x)dx f (x)dxf (x)dx。 cox y用图像表示定积分：用图像表示定积分：dxxxdxex)24()2() 1() 1 (221301xey242xxy动手做一做动手做一做 说明下列定积分所表示的意义，并根据其说明下列定积分所表示的意义，并根据其意义求出定积分的值：意义求出定积分的值：11221101)3(;)2(;2)1(dxxxdxdx解析解析解析解析xoyy=2112 （1） 表示直线表示直线 y=2 与与 x=0 、x=1 及及 x 轴所围轴所围成的图形的面积，即长方形的面积。成的图形的面积，即长方形的面积。102dx容易知道，长方形的面积是容易知道，长方形

8、的面积是2，所以所以2210dxxoy12xy （2） 表示由表示由_及及 x 轴所围轴所围成的图形的面积，即成的图形的面积，即_的面积。的面积。21xdx直线直线 y=x、x=1、x=2梯形梯形2321xdx容易知道，梯形的面积是容易知道，梯形的面积是 ，所以所以23解：解： 由图可知，由图可知， 表示的是单位圆在表示的是单位圆在 x 轴轴上上方的半圆。方的半圆。21xy21xyyxo1-11 所以所以 表示由表示由_及及 x 轴所围成的图形的面积，即轴所围成的图形的面积，即_的面的面积。积。1121dxx半径为半径为1的半圆的半圆21xy曲线曲线由于半径为由于半径为1的的半圆面积为半圆面积为 ，所以，所以221121 -dxx练习练习（四）、小结（四）、小结定积分的实质定积分的实质：特殊和式的逼近值：特殊和式的逼近值定积分的思想和方法：定积分的思想和方法：分割分割化整为零化整为零求和求和积零为整积零为整取逼近取逼近精确