高一数学必修四平面向量知识与题型归类

1、优秀教案欢迎下载高一数学必修四平面对量基础学问与题型归类（1）一向量有关概念：1、向量的概念 ：既有大小又有方向的量，2、零向量 ：长度为0 的向量叫零向量，记作：0 ，留意 零向量的方向不确定；3、单位向量 ：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量；2、向量的数乘运算：实数与向量 a 的积是一个向量，记作a ，它的长度和方向规定如下：aa ,当>0 时，a 的方向与 a 的方向相同， 当<0 时，a 的方向与 a 的方向相反， 当 0 时，a0 ， a 的单位向量： 与 a 同方向 且长度等于1 的向量，记作aa0 并且 a0；a3、向量的坐标运算：设 a x1 , y1, b x

2、2 , y2 ，就：与 a 共线的单位向量：与 a 方向 相同或相反 且长度等于1 的向量，可表示为a ； 向量的加减法运算： ab x1x2 ， y1y2 ；a 实数与向量的积：ax1 , y1x1 ,y1；4、相等向量 ：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量；如 a x1 , y1, b x2 , y2 ，就abx2x1 , y2y1，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的5、平行向量（也叫共线向量）：向量的基线平行或重合，称为向量共线或平行，记作：a b ；即共线的向量方向相同或相反；规定：零向量和任意向量平行；终点坐标减去起点坐标；222222 向量的模 ：| a |xy ,a

3、| a |xy6、相反向量 ：长度相等方向相反的向量叫做相反向量；a 的相反向量是a ；二向量的表示方法：1 几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如ab ，留意起点在前，终点在后；四平面对量的数量积：1两个向量的夹角：对于非零向量a ，b ，作 oaa o, bb，aob0称为向量 a ，b 的2 符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ， b ， c 等；夹角，记作a , b ，当 0 时， a ， b 同向，当时， a ， b 反向，当时， a ， b 垂直；23 坐标表示法： 在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量i ， j 为基底，就平2平面对量的数量

4、积：假如两个非零向量a ， b ，它们的夹角为，我们把数量 | a | b | cos叫做 a 与 b 的面内的任一向量a 可表示为axiy jx, y，称x, y 为向量 a 的坐标， a x, y 叫做向量 a 的数量积（或内积或点积），记作： ab ，即 ab 留意数量积是一个实数，不再是一个向量；a b cos；规定：零向量与任一向量的数量积是0，坐标表示；假如向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同； 三向量的运算：3 a 在 b 方向上的正射影的数量为 |a | cosa,b= aa ba b，它是一个实数，但不肯定大于0；1 几何运算 ：（ 1） 向量加法运算：三角形

5、法就的特点：首尾相连平行四边形法就的特点：共起点（ 2） 向量的减法： 三角形法就的特点：共起点，方向指向被减向量ca bb4 向量数量积的性质：设两个非零向量a ， b ，其夹角为，就： abab0 ；2当 a ，b 同向时， ab a b ，特殊地， aa | ab | | a |b | ；b22aaa, aa；当 a 与 b 反向时， ab a b ；为锐角ab 0，且 a、b 不同向，；为钝角ab 0，且 a、b 不反向；abcc优秀教案欢迎下载高一数学必修四平面对量基础学问与题型归类（2）5、平面对量数量积的坐标运算：八、向量中一些常用的结论：（ 1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和

6、为零向量，要留意运用；设两个非零向量ax1 , y1， bx2 , y2，就（ 2） | a |b | | ab | | a |b |，特殊地，前面等号成立的条件是a、b 同向或有 0 ；后面等号成立的条 a bx1x2y1 y2 22222件是 a、b 反向或有 0（ 3）在abc 中，如 ax, y ， 就 axy ， 或axy 重心： 中线的交点且重心将中线分成2： 1 两段；外心： 中垂线的交点；垂心： 高线的交点；内心： 角平分线的交点；设 ax1 , y1， bx2, y2，就 abx1 x2y1 y20 papbpc0p 为abc 的重心； 设a、 b都 是 非 零 向 量 ，a

7、x1, y1，bx2 , y2，是a 与b的 夹 角 ， 就 papbpb pcpcpap 为abc 的垂心；a bx1 x2y1 y2cos2222222a bx1y1x2y2五向量的运算律： papbpcp为abc的外心 ;如向量ap = abac 0 , 就点 p 的轨迹肯定过abc 的内心；abba；bc，ababab；1交换律：abba ，aa ，| ab | ac |2结合律：abcabc,abca3安排律：aaa,abab ，abcacbc ；提示：（ 1） 向量运算和实数运算有类似的地方也有区分：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以

8、一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一 个向量， 切记两向量不能相除 相约 ；（ 2）向量的“乘法”不满意结合律，即abcabc ；六、向量共线与垂直的条件平行向量基本定理：如aba / / b ，反之，如a / /bb0ab （其中是唯独的实数）向量共线的坐标表示：设两个向量ax1 , y1， bx2 , y2， 就a / / bx1 y2y1 x20三点共线：不重合的三点a、b、c共线abac存在实数、使得 papbpc且1 .向量垂直的条件： aba b0x1 x2y1 y20 .七、平面对量的基本定理：假如e1 和 e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一

9、向量a ，有且只有一对实数1 、2 ，使 a1e12 e2 ；其中不共线向量e1,e2 叫做一组基底，记作e1 , e2；优秀教案欢迎下载经典题型：一、 基本概念高一数学必修四平面对量基础学问与题型归类（3）3、已知平面对量a, b 满意（ab）2ab4 且 a2，b4 且，就a与 b 的夹角为判定正误 ：（ 1）共线向量就是在同一条直线上的向量；4、已知 a,b 是两个非零向量，且abab ，就a与ab 的夹角为 （ 2）如两个向量不相等，就它们的终点不行能是同一点；5、 设非零向量a 、 b 、 c 满意| a | b | c |,abc ，就a, b（ 3）与已知向量共线的单位向量是唯独

10、的；（ 4）如 a 与 b 不共线，就a 与 b 都不是零向量；6、已知 a5, b4，a与b 的夹角2，就向量 b 在向量 a 上的正射影的数量为3（ 5）如 a 、b、c、d 四点构成平行四边形，就abcd ；7、已知 | a |3 ， | b |5 ， 且 a b12 ，就向量 a 在向量 b 上的正射影的数量为 （ 6）如 abcd ，就 a 、b 、c、d 四点构成平行四边形；8、已知 i 与 j 为相互垂直的单位向量， 围是 ai2 j ， bij 且 a 与 b 的夹角为锐角，就实数的取值范（ 7）如 ab ，就 ab ；（ 8）如a b, bc ，就 ac ；9、如图，等边ab

11、c 中 ， ab2 ad ac4 ae4 ，求 be cd （ 9）如a / b,b / c ，就a / c（ 10） 如a cb c,就ab;（ 11）如 mamb ，就 ab ；（ 12）如 mana ，就 mn ；（ 13）如 a b0 ，就 a0 或 b0（14）如 | ab | | ab | ，就 ab ；22（ 15） a b2ab二、向量的运算1、化简：abbccd ； abaddc ； abcd acbd 10、如图，在矩形abcd中， ab2 ，bc2， 点e 为 bc的中点， 点f 在 边 cd2、如 o是abc 所在平面内一点，且满意obocoboc2oa ，就abc 的

12、外形为 上，如ab af2 ，求ae bf的值3、如 d 为abc 的边 bc 的中点，abc 所在平面内有一点p ，满意就的值为 pabpcp0 ，设 | ap |，| pd |4、如点 o 是 abc 的外心，且oaobco10 ，就 abc 的内角 c 为 5、如 m（ -3 ， -2 ），n（ 6， -1 ），且三、向量的夹角与数量积mpmn，就点 p 的坐标为 31、 abc中，| ab |3 ， | ac |4 ， | bc |5 ，就 abbc 112、已知 a1, b0, cakb , dab ， c 与 d 的夹角为，就 k 等于 224优秀教案欢迎下载高一数学必修四平面对量

13、基础学问与题型归类（4）四、向量共线与垂直五、向量的模1、 设向量 a ， b 满意 ab 1 及 4 a3b3 ，就 3a5b的值为1、如向量 a x,1,b4, x ，当 x 时 a 与 b 共线且方向相同2、设向量 a ， b 满意 a1, b2, aa2b, 就 2ab 的值为2、已知 a,b 不共线， ckab,dab ，假如 c d ，那么 k=, c 与 d 的方向关系是3、已知向量a、b、c 两两之间的夹角为60°，其模长都为1，就ab2c =.3、 a （1，2）,b2,3，如向量c满意于（ ca） b ， c （ab），就c 4、已知向量a1, sin, b1,

14、cos, 就 ab 的最大值为4、设 pa k,12, pb4,5, pc10,k ，就 k 时， a,b,c 共线5、以原点 o和 a4,2 为两个顶点作等腰直角三角形oab，b90，就点 b 的坐标是 5、设点 m是线段 bc的中点，点a 在直线 bc外，2bc16,abacabac, 就 am 6、平面直角坐标系中，o 为坐标原点，已知两点a3,1 , b 1,3 , 如点 c 满意 oc1 oa2ob , 其六、平面对量基本定理的应用问题1、以下向量组中，能作为平面内全部向量基底的是中1 ,2r 且12 1 , 就点 c 的轨迹方程是 a.e0,0, e1, 2b.e 1,2, e5,

15、7c.e3,5, e6,10 d.e132,3,e7、如 a12,5 ，求12121212,24 a 的单位向量；2、 a（1，1），b （1，1），c（4，2），就 c （）与 a 共线的单位向量；(a) 3ab(b) 3ab(c)a3b(d)a3b与 a 垂直的单位向量；3、已知ad , be 分别是abc 的边bc, ac 上的中线 , 且 ada, beb , 就 bc 可用向量a, b 表示为 4、已知abc 中，点 d 在 bc 边上，且cd2 db， cdr abs ac ， 就 rs 的值是 5 、 如 图 , 在 abc中 ,an1 nc,p 是 bn上 的 一 点 , 如3

16、8、已知 a =（ 1，2）， b =（-3，2），如 k a +2 b 与 2 a -4 b 共线，求实数k 的值；如 k a +2 b 与 2 a -4 b 垂apm ab2 ac , 求实数 m 的值9a直，求实数k 的值6、如图abc中， ad2 db, 2 aeec, becdp ，e如 apx aby ac x,yr ，求 xydpbc优秀教案欢迎下载高一数学必修四平面对量基础学问与题型归类（5）七、平面对量与三角函数的综合3、已知平面对量 asin,2,b1,cos 相互垂直，其中（0， ）21、已知3，a 、b 、c 在同一个平面直角坐标系中的坐标分别为a3,0、b0,3、c cos,sin ；