高一数学知识点汇总讲解大全

1、学习必备欢迎下载高中数学学问点汇总（高一）高中数学学问点汇总（高一）0一、集合和命题1二、不等式3三、函数的基本性质4四、幂函数、指数函数和对数函数11（一）幂函数11（二）指数 & 指数函数11（三）反函数的概念及其性质12（四）对数 & 对数函数13五、三角比15六、三角函数22学习必备欢迎下载一、集合和命题一、集合：（1）集合的元素的性质：确定性、互异性和无序性；（2）元素与集合的关系： aaa 属于集合 a ； aaa 不属于集合 a （3）常用的数集：n自然数集； n *正整数集； z整数集；q有理数集； r实数集；空集； c复数集；z正 整 数 集q；z负 整 数

2、集q正有理数集r；负有理数集r正实数集负实数集（4）集合的表示方法：有限集集合无限集列举法；描述法例如：列举法： z, h, a, n, g （5）集合之间的关系：；描述法： x x1 ab集合 a 是集合 b 的子集；特殊地，aa ；abac bcab ab 或ab集合 a 与集合 b 相等； ab集合 a 是集合 b 的真子集例： nzqrc ； nzqrc 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集（6）集合的运算：交集： ab x xa且xb集合 a 与集合 b 的交集；并集： ab x xa或xb集合 a 与集合 b 的并集；补集：设 u 为全集，集合a 是u 的子集，就由 u 中

3、全部不属于a 的元素组成的集合，叫做集合 a 在全集 u 中的补集，记作cu a 得摩根定律：cu ab cu acu b ； cu abcu acu b（7）集合的子集个数：学习必备欢迎下载*nn如集合 a 有 n nn 个元素，那么该集合有2 个子集； 21个真子集； 2n1个非空子集；2n2 个非空真子集二、四种命题的形式：（1）命题：能判定真假的语句命题原命题逆命题否命题逆否命题表示形式如，就如，就；如，就；如，就逆命题关系原命题逆命题逆否命题否命题否命题关系原命题否命题逆否命题逆命题（2）四种命题：假如用和分别表示原命题的条件和结论，用和分别表示和的否定，那么四种命题形式就是：逆否命

4、题关系同真同假关系原命题逆否命题逆命题否命题（3）充分条件，必要条件，充要条件：如，那么叫做的充分条件，叫做的必要条件；如且，即，那么既是的充分条件，又是的必要条件，也就是说，是的充分必要条件，简称充要条件欲证明条件是结论的充分必要条件，可分两步来证：第一步：证明充分性：条件结论；其次步：证明必要性：结论条件（4）子集与推出关系：设 a 、 b 是非空集合， a x x具有性质 ， b y y具有性质 ，就 ab 与等价结论：小范畴大范畴；例如：小明是上海人小明是中国人小范畴是大范畴的充分非必要条件；大范畴是小范畴的必要非充分条件学习必备欢迎下载二、不等式一、不等式的性质：1、ab,bcac

5、；2、abacbc ；不等式的性质3、ab,c0acbc；4、ab, cdacbd ；5、ab0, cd0acbd ；6、 ab0011 ；ab7、ab0二、一元一次不等式：a nb n nn * ；8、 ab0n anb nn * ,n1 一元一次不等式 axba0a0解集xbxbaaa0b0b0r三、一元二次不等式：ax 2bxc0a0b 24ac0b 24 ac0b 24ac0的根的判别式yax2bxca0ax 2bxc0a0ax 2bxc0a0ax 2bxc0a0ax 2bxc0a0 x1 , x2， x1x2 x0 12, xx , x x ,r00 x1 , x2 12, x x

6、,rr2axbxc0a0 x1, x2 x0 四、含有肯定值不等式的性质：学习必备欢迎下载（1） ababab ；（2） a1a2ana1a2an 五、分式不等式：（1） axb0cxdaxbcxd0 ；（ 2） axb0cxdaxbcxd 0 六、含肯定值的不等式：aa0a0xaa0a0a0xaxaxa0a0a0a0a0axaxa或xaraxax0xa或xar七、指数不等式：（1） a f x a x a1f x x ；（ 2） a f xa x 0a1f x x 八、对数不等式：(x) 0（1） loga f xlog a xa1f x； x（2） logaf xlog a x0a1f x

7、f x0 x九、不等式的证明：（1）常用的基本不等式： a 2b 22ab a、br ，当且仅当 ab时取“”号 ； ab 2ab a、 br，当且仅当 ab 时取“”号 ；补充公式：a2b22abab2211ab a 3b 3c33abc a、b、cr，当且仅当 abc 时取“”号 ； abc 33 abc a、b、cr ，当且仅当 abc 时取“”号 ； a1a 2na nna1 a2a n n 为大于 1 的自然数，a1 , a2 , anr ，当且仅当a1a2an 时取“”号 ；（2）证明不等式的常用方法：比较法；分析法；综合法三、函数的基本性质一、函数的概念：（1）如自变量对应法就f

8、x因变量 y ，就 y 就是 x 的函数，记作 yf x, xd ；学习必备欢迎下载x 的取值范畴 d函数的 定义域 ； y 的取值范畴函数的 值域求定义域一般需要留意： y1，f xf x0 ； yn f x ，f x0 ； y f x0 ，f x0 ； ylog af x ，f x0 ； ylog f x n ，f x0 且f x1 （2）判定是否函数图像的方法：任取平行于y 轴的直线，与图像最多只有一个公共点；（3）判定两个函数是否同一个函数的方法：定义域是否相同；对应法就是否相同 二、函数的基本性质：（1）奇偶性：函数yf x, xd“定义域 d 关于 0 对称”成立“定义域 d 关于

9、 0 对称”；前提条件f xf xf xf x“ fxf x”； “f xf x ”成立成立不成立 或者成立、都不成立奇偶性偶函数奇函数奇偶函数图像性质关于 y 轴对称关于 o0,0 对称非奇非偶函数留意： 定义域包括 0 的奇函数必过原点（2）单调性和最值：o0,0 前提条件yf x, xd ， id ，任取x1, x2区间 i单调增函数x1x2x1x2或f x1 f x2 f x1 f x2 单调减函数x1x2x1x2或f x1 f x2 f x1 f x2 最小值yminf x0 任取 xd , 存在 x0d , fxf x0 最大值ymaxf x0 任取 xd ,存在 x0d , fx

10、f x0 留意：复合函数的单调性：函数单调性外函数 yf x学习必备欢迎下载内函数 yg x复合函数 yf g x假如函数 yf x 在某个区间 i 上是增（减）函数，那么函数yf x 在区间 i 上是单调函数，区间 i 叫做函数 yf x 的单调区间 （3）零点：如 yf x, xd ， cd 且 fc0 ，就 xc 叫做函数 yf x 的零点y零点定理 ：f x, xa,b存在x0a,b；特殊地， 当yf x, x a, b 是单调函数 ，f af b0f x0 0且 f a f b0 ，就该函数在区间 a,b 上有且仅有 一个零点， 即存在 唯独x0a ,b ，使得f x0 0 （4）平

11、移的规律：“左加右减，下加上减” 函数向左平移 k向右平移 k向上平移 h向下平移 h备注yf xyf xk yf xkyhf xyhf xk, h0（5）对称性：轴对称的两个函数：函数yf x对称轴x 轴y 轴yxyxxmyn函数yf xyf xxf yxf yyf 2 mx2nyf x中心对称的两个函数：函数对称中心函数yf x m, n2nyf 2mx轴对称的函数：函数yf x对称轴y 轴xm条件fxf xf xf 2 mx留意：f axfbxfx 关于 xab 对称；2f axfaxfx 关于 xa 对称；f xf xf x 关于 x0 对称，即f x 是偶函数中心对称的函数：学习必备

12、欢迎下载函数yf x对称中心m, n条件f x2nf2 mx留意：f axfbxcf x 关于点 ab , c 对称；22f axf bx0abf x 关于点 ,0 2对称；f axfax2b f x 关于点 a, b 对称；f xf x0f x关于点 0,0 对称，即f x是奇函数（6）凹凸性：设函数yf x, xd ，假如对任意x , xd ，且xx ，都有 fx1x2f x1 f x2 ，就称121222函数 yf x 在 d 上是凹函数；例如：yx2 进一步，假如对任意x , x ,xd ，都有 fx1x2xnf x1 f x2 f xn ，就称函12nnn数 yf x 在 d 上是凹

13、函数；该不等式也称琴生不等式或詹森不等式；设函数yf x, xd ，假如对任意x , xd ，且xx ，都有 fx1x2f x1 f x2 ，就称121222函数 yf x 在 d 上是凸函数例如：ylg x 进一步，假如对任意x , x ,xd ，都有 fx1x2xnf x1 f x2 f xn ，就称函12nnn数 yf x 在 d 上是凸函数；该不等式也称琴生不等式或詹森不等式（7）翻折：函数翻折后翻折过程yf x 将 yf x 在 y 轴右边的图像不变，并将其翻折到y 轴左边， 并掩盖 yf xyf x将 yf x 在 x 轴上边的图像不变，并将其翻折到x 轴下边， 并掩盖 yf x

14、第一步：将yf x 在 y 轴右边的图像不变，并将其翻折到左边，并掩盖 ；学习必备欢迎下载其次步：将 x 轴上边的图像不变，并将其翻折到x 轴下边， 并掩盖 yf x（8）周期性：将 yf x 在 x 轴上边的图像保持不变，并将x 轴下边的图像翻折到x 轴上边， 不掩盖 如 yf x, xr ，t0， 任取 xr ，恒有f xt f x ，就称 t 为这个函数的周期留意：如 t 是 yf x 的周期，那么kt kz , k0 也是这个函数的周期；周期函数的周期有无穷多个，但不肯定有最小正周期 f xaf xb ， abf x是周期函数，且其中一个周期tab ；（阴影部分下略） f xf xp

15、， p0t2 p ； f xaf xb ， abt2 ab ； f x1或f xp f x1， p0 f xp t2 p ； f x1 f xp 或f xp0t2 p ；1 f x1f xp f xp 或f xp0t4 p ；1f xpf xp1 ，f xp1f xp1 ，f xp1 f x关于直线 xa ， xb ， ab 都对称t2 ab ； f x关于两点 a, c ， b, c ， ab 都成中心对称t2 ab ； f x关于点 a, c ， a0 成中心对称，且关于直线xb ， ab 对称t4 ab ；如 f xf xa f x2af xna m（ m 为常数， nn *），就f x

16、是以 n1a为周期的周期函数；如 f xf xa f x2a f xna m （ m 为常数， n 为正偶数），就f x 是以2 n1a 为周期的周期函数三、 v 函数：定义形如ya xmha0 的函数，称作 v 函数分类ya xmh, a0ya xmh, a0学习必备欢迎下载图像定义域r值域 h, h对称轴xm开口向上向下顶点m, h单调性在 ,m 上单调递减；在 ,m 上单调递增；在 m,上单调递增在m,上单调递减留意当 m0时，该函数为偶函数四、分式函数：定义形如 yxa a x0 的函数，称作 分式函数 分类yxa ,a x0 （耐克函数 ）yxa , a0x学习必备欢迎下载图像定义域

17、,00,值域,2a 2a,r渐近线x0， yx单调性在 ,a ， a , 上单调递增；在 ,0 ， 0, 上单调递增；在a ,0， 0,a 上单调递减五、曼哈顿距离：在平面上，m x1,y1 ， n x2 , y2 ，就称dx1x2y1y2为 mn 的曼哈顿距离六、某类带有肯定值的函数：1、对于函数 yxm ，在 xm 时取最小值；2、对于函数 yxmxn ， mn ，在 x m, n时取最小值；3、对于函数 yxmxnxp ， mnp ，在 xn 时取最小值；4、对于函数 yxmxnxpxq ， mnpq ，在 x n, p 时取最小值；5、推广到yxx1xx2xx2n， x1x2x2n ，

18、在 x xn , xn1 时取最小值；yx1xx2xxn2 x ，1x1x2x2 n1 ，在xxn 时取最小值摸索：对于函数yx12 x3 x2，在 x 时取最小值学习必备欢迎下载四、幂函数、指数函数和对数函数（一）幂函数（1）幂函数的定义：形如 yxa ar 的函数称作幂函数，定义域因a 而异（2）当 a0,1 时，幂函数 yxa ar 在区间 0, 上的图像分三类，如下列图（3）作幂函数 yxa a0,1 的草图，可分两步：依据 a 的大小，作出该函数在区间 0, 上的图像；依据该函数的定义域及其奇偶性，补全该函数在,0 上的图像（4）判定幂函数 yxa ar 的 a 的大小比较：方法一：

19、 yxa ar 与直线xmm1) 的交点越靠上， a 越大；方法二： yxa ar 与直线xm0m1 的交点越靠下， a 越大（5）关于形如 yaxbccxd0 的变形幂函数的作图：作渐近线（用虚线） ： xd 、 ya ；cc选取特殊点：任取该函数图像上一点，建议取0, b ； d画出大致图像：结合渐近线和特殊点，判定图像的方位（右上左下、左上右下）（二）指数 & 指数函数1、指数运算法就：学习必备欢迎下载aa x a xa ya x y ； a x ya xy ； ab xa xb x ； xbbx，其中 a, b0, x、yr 2、指数函数图像及其性质：/ya x a1ya x

20、0a1图像定义域r值域0,奇偶性非奇非偶函数渐近线x 轴单调性在 , 上单调递增；在, 上单调递减；指数函数 ya x 的函数值恒大于零；指数函数 y性质a x 的图像经过点0,1 ；当 x0 时， y1；当 x0时， 0y1；当 x0 时， 0y1 当 x0时， y1 x3、判定指数函数ya中参数 a 的大小：方法一：方法二：ya与直线xxya与直线xmmxmm0 的交点越靠上， a 越大；0 的交点越靠下， a 越大（三）反函数的概念及其性质1、反函数的概念：学习必备欢迎下载对于函数yf x ，设它的定义域为d ，值域为 a ，假如对于 a 中任意一个值 y ，在 d 中总有唯一确定的 x

21、 值与它对应，且满意yf x，这样得到的 x 关于 y 的函数叫做yf x的反函数，记作xf1 y 在习惯上，自变量常用x 表示，而函数用y 表示，所以把它改写为yf1 x xa 2、求反函数的步骤： （“解”“换”“求”）将 yf x 看作方程，解出xf y ；将 x 、 y 互换，得到 yf1 x ；标出反函数的定义域（原函数的值域）3、反函数的条件：定义域与值域中的元素一一对应4、反函数的性质：原函数 yf x 过点m, n ，就反函数 yf1 x过点 n, m ；原函数 yf x 与反函数 yf1 x 关于 yx 对称，且单调性相同；奇函数的反函数必为奇函数5、原函数与反函数的关系：/

22、函数 yf xyf1 x定义域da值域ad（四）对数 & 对数函数1、指数与对数的关系：a bn log a nb学习必备欢迎下载abn指数幂底数对数真数2、对数的运算法就：n log a 10 ， log a a1 ， a log a nn ；常用对数lg nlog10 n，自然对数ln nlog e n ； log amn log a mlog amn ， log anlog a mlog an ， log a mn log a m ；b lognlogan， logb1， logbmnm logb ， logbcclogb ， a log n bblog n a log a ba

23、log b aanaaa3、对数函数图像及其性质：/ylog axa1ylog ax0a1图像定义域0,值域奇偶性r非奇非偶函数渐近线y 轴单调性在 0, 上单调递增；在 0, 上单调递减；对数函数 ylog ax 的图像在 y 轴的右方；对数函数 y性质log ax 的图像经过点1,0 ；当 x1时， y0 ；当 x1时， y0 ；当 0x1 时， y0 当 0x1 时， y0 4、判定对数函数ylog ax, x0 中参数 a 的大小：方法一： ylog ax, x0 与直线ym m0 的交点越靠右， a 越大；学习必备欢迎下载方法二： ylog ax, x0 与直线ymm0 的交点越靠左

24、， a 越大五、三角比1、角的定义：（ 1）终边相同的角：与 2k, kz 表示终边相同的角度；学习必备欢迎下载终边相同的角不肯定相等，但相等的角终边肯定相同；与 k, kz 表示终边共线的角（同向或反向） （ 2）特殊位置的角的集合的表示：位置角的集合在 x 轴正半轴上2k, kz在 x 轴负半轴上2k, kz在 x 轴上k, kz在 y 轴正半轴上2k, kz 2在 y 轴负半轴上2k3,kz 2在 y 轴上在坐标轴上k , kz 2k, kz 2在第一象限内2k2 k, kz 2在其次象限内2k22k, kz 在第三象限内2k32k, kz 2在第四象限内2k322k2,kz （ 3）弧

25、度制与角度制互化：180rad180； 1rad； 1180rad （ 4）扇形有关公式：l ；r弧长公式： lr ；扇形面积公式： s1 lr1r 2（想象三角形面积公式） 22（ 5）集合中常见角的合并：学习必备欢迎下载x2kx2kx2kx2kx2kxkxk2 xk2224xkxk, kz 4x2kx2k544xk324x2k4xk44（ 6）三角比公式及其在各象限的正负情形：以角的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴建立直角坐标系，在的终边上任取一个异于原点的点p x, y ，点 p 到原点的距离记为 r ，就（ 7）特殊角的三角比：角度制0304560901802703603弧度制02

26、64322sin01223101022学习必备欢迎下载coan0313无0无03（ 8）一些重要的结论： （留意，假如没有特殊指明，k 的取值范畴是 kz ）角和角的终边：角和角的终边关于 x 轴对称关于 y 轴对称关于原点对称sinsincoscos tantansinsin coscostantansinsincoscos tantan的终边与的终边的关系2的终边在第一象限2k,2 k2k, k ； 24的终边在其次象限2 k,2 k2k2, k ；42的终边在第三象限2k,2 k3 k, k3 ；2224的终边在第四象限2k3,2 k2k3, k 224 sin

27、与 cos的大小关系：s i nc o s 2k3, k2的终边在直线 yx 右边（ xy0 ）；44s i nc o s 2k, k25的终边在直线 yx 左边（ xy0 ）；44s i nc o s 2k，2k5的终边在直线 yx 上（ xy0 ）44 sin与 cos的大小关系：s i nc o sk,k44xy的终边在xy0xy0或；0xy0s i nc o s3k,kxy的终边在0 xy0或；44xy0xy0s i nc o s k, k3 ， kz的终边在 yx 44学习必备欢迎下载2、三角比公式：（ 1）诱导公式：（诱导公式口诀：奇变偶不变，符号看象限）第一组诱导公式：其次组诱导

28、公式：第三组诱导公式：（周期性）（奇偶性）（中心对称性）s i n2k c o s2 k t a n2k c o t2ks i nc o st a nc o ts i n c o s t a n c o t s i n c o st a n c o ts i n c o s t a n c o t s i nc o st a nc o t第四组诱导公式：第五组诱导公式：第六组诱导公式：（轴对称）（互余性）s i n c o s t a n c o t s i nc o st a nc o ts i n 2c o s 2t a n 2c o t 2c o ss i nc o tt a ns i

29、n 2c o s 2t a n 2c o t 2c o ss i nc o tt a n（ 2）同角三角比的关系：倒数关系：商数关系：平方关系：s i nc s c1t a ns i n c o s0s i n2c o 2s1c o s t a ns e c1c o t1c o tc o sc o s s i n s i n01t a n221c o ts e 2c2c s c（ 3）两角和差的正弦公式：sinsincoscossin；两角和差的余弦公式：两角和差的正切公式：costancoscostantansinsin；1tantan（ 4）二倍角的正弦公式：sin 22 sincos；二

30、倍角的余弦公式：二倍角的正切公式：cos 2tan 2cos 22 tan2sin 2；1 2 sin 22 cos 21 ；1tan降次公式：万能置换公式：学习必备欢迎下载2s i n1c o s 21c o s22s i n 2s i n22 t a n2c o 2s21c o s2 c2 o s1c o s 222 ；c o 2s1t a n1t a n2221s i ns i nc o s1t a ntan21cos 21cos 22221sinsincos 2 2t a n22 t a n21t a n半角公式：tan2sin1 cos1cos；sin（ 5）帮助角公式：版本一：si

31、nba 2b 2a s i nb c o s版本二：a 2b2s i n ，其中 02,cosaa2b2a sinb cosa2b2sin ，其中a, b0,0, tanb 2a3、正余弦函数的五点法作图：以 ysinx 为例，令x依次为0, 3, 222，求出对应的 x 与 y 值，描点 x, y 作图4、正弦定理和余弦定理：（ 1）正弦定理：a sin ab sin bc sin c2rr 为外接圆半径 ；其中常见的结论有： a2rsin a， ba2rsin b ， cb2rsin c ；c sin a， sin b2 r， sin c；2r2r sin a : sin b : sin

32、ca : b : c ；arsinb sin c s abc2r2 sina sin b sin c ； s abcbr sin a sin c； s abcabc 4 rcrsin a sin b（ 2）余弦定理：版本一：a 2b 2c2b2a 2c2c 2a 2b22bc cosa 2accosb 2abcosc；版本二：cos ab2c2a 2a 22bcc2b22acb 2a2c 2cosb；2aba（ 3）任意三角形射影定理（第一余弦定理）：bb cos c c cos ac cos ba cos c ca cos bb cos acosc5、与三角形有关的三角比：（ 1）三角形的面积：学习必备欢迎下载 s abc s abc1 dh ；21 absin c1 bcsin a1 ac sin b ；222 s abcl lalblc， l 为 abc 的周长2222（ 2）在 abc 中， ababsin asin bcos acosbcot acot b ；如 abc 是锐角三角形，就sin acosb ；sin ab sin ccos ab cos ctan ab tan csin bc sin a ；cosbc cos a ；