电路分析基础第三版第5章一阶动态电路分析

1、1 第五章 一阶动态电路分析v 5.1 电容元件和电感元件电容元件和电感元件v 5.2 换路定律及初始值的确定换路定律及初始值的确定v 5.3 零零 输输 入入 响响 应应v 5.4 零零 状状 态态 响响 应应v 5.5 全全 响响 应应v 5.6 求解一阶电路三要素法求解一阶电路三要素法2 动态元件电感、电容的特性。 初始值的求法、动态电路方程的建立及求解。 零输入响应、零状态响应、暂态响应和稳态 响应的含义及其它们的分析计算方法。 输入为直流信号激励下的一阶电路的三要素 分析法。【本章重点本章重点】 零输入响应、零状态响应、暂态响应和稳态 响应分析计算方法。 输入为直流信号激励下的一阶电

2、路的三要素 分析法。【本章难点本章难点】3 5.1 电容元件和电感元件 电容器是一种能储存电荷的器件,电容元件是电容器的理想化模型。斜率为r0qu图5-1 电容的符号、线性非时 变电容的特性曲线 当电容上电压与电荷为关联参考方向时，电荷q与u关系为：q(t)=cu(t) c是电容的电容量，亦即特性曲线的斜率。当u、i为关联方向时,据电流强度定义有： i=c dq/dt非关联时： i= -c dq/dt +-uci+q-q5.1.1 电容元件电容元件4电容的伏安还可写成：dicdictut)(1)(1)(00tdicu0)(1)0( 式中，u(0)是在 t=0 时刻电容已积累的电压，称为初始电压

3、；而后一项是在 t=0 以后电容上形成的电压，它体现了在0t的时间内电流对电压的贡献。 由此可知：在某一时刻 t，电容电压u不仅与该时刻的电流 i 有关，而且与t以前电流的全部历史状况有关。因此，我们说电容是一种记忆元件，有“记忆”电流的作用。5 当电容电压和电流为关联方向时，电容吸收的瞬时功率为：dttdutcutitutp)()()()()( 瞬时功率可正可负，当 p(t)0时，说明电容是在吸收能量，处于充电状态；当 p(t) 0时，表示电感从电路吸收功率，储存磁场能量；当 p(t) 0时，表示供出能量，释放磁场能量。 对上式从-到 t 进行积分，即得t 时刻电感上的储能为：)()(21)

4、()()()(22)()(itildilidptwttiil10因为0)(i所以)(21)(2tlitwl 由上式可知：电感在某一时刻 t 的储能仅取决于此时刻的电流值，而与电压无关，只要有电流存在，就有储能，且储能 。 和电容元件一样电感也是一种无源元件。 0)(twl115.2 换路定律及初始值的确定换路定律及初始值的确定 通常，我们把电路中开关的接通、断开或电路参数的突然变化等统称为“换路”。我们研究的是换路后电路中电压或电流的变化规律，知道了电压、电流的初始值，就能掌握换路后电压、电流是从多大的初始值开始变化的。 该定律是指若电容电压、电感电流为有限值，则该定律是指若电容电压、电感电流

5、为有限值，则uc 、 il不能不能跃变，即换路前后一瞬间的跃变，即换路前后一瞬间的uc 、il是相等的，可表达为：是相等的，可表达为： uc(0+)=uc(0-) il(0+)=il(0-)必须注意：必须注意：只有只有uc 、 il受换路定律的约束而保持不变，电路受换路定律的约束而保持不变，电路 中其他电压、电流都可能发生跃变。中其他电压、电流都可能发生跃变。5.2.1 换路定换路定律律125.2.2 初初 始始 值值 的确的确 定定 换路后瞬间电容电压、电感电流的初始值，用 uc(0+)和 il(0+)来表示，它是利用换路前瞬间 t=0-电路确定uc(0-)和il(0- )，再由换路定律得到

6、 uc(0+)和 il(0+)的值。 电路中其他变量如 ir、ur、ul、ic 的初始值不遵循换路定律的规律，它们的初始值需由t=0+电路来求得。具体具体求法是：求法是： 画出t=0+电路，在该电路中若uc (0+)= uc (0-)=us，电容用一个电压源us代替，若uc (0+)= 0则电容用短路线代替。若il(0+)= il(0-)=is，电感一个电流源is 代替，若il(0+)= 0则电感作开路处理。下面举例说明初始值的求法。13例例5-1 在图5-3(a)电路中，开关s在t=0时闭合，开关闭 合前电路已处于稳定状态。试求初始值 uc(0+)、 il(0+)、i1(0+)、i2(0+)

7、、ic(0+) 和ul(0+)。图 5-3 例 5-1 图14解解 : (1) 电路在 t=0时发生换路，欲求各电压、电流的初始值，应先求uc(0+)和il(0+)。通过换路前稳定状态下t=0- 电路可求得uc(0-)和il(0-)。在直流稳态电路中，uc不再变化，duc/dt=0，故ic=0，即电容c相当于开路。同理 il也不再变化，dil/dt=0，故ul=0，即电感l相当于短路。所以t=0- 时刻的等效电路如图5-3(b)）所示，由该图可知：aivulc22310)0(423210)0(（2）由换路定理得 aiivuullcc2)0()0(4)0()0(15 因此，在t=0+ 瞬间，电容

8、元件相当于一个4v的电压源，电感元件相当于一个2a的电流源。据此画出t=0+ 时刻的等效电路，如图5-3 (c) 所示。（3）在t=0+ 电路中，应用直流电阻电路的分析 方法，可求出电路中其他电流、电压的初始 值，即aiai144)0(224)0(21 ic(0+)=2-2-1=-1aul(0+)=10-32-4=0 16 例例5-2 电路如图5-4 (a)所示，开关s闭合前电路无储能， 开关s在 t=0时闭合，试求 i1 、i2 、i3、 uc、ul的初 始值。 图 5-4 例5-2 图 解解（1）由题意知： 0)0()0(0)0(3lciiu（2）由换路定理得 0)0()0(0)0()0(

9、llcciiuu17 因此，在t=0+ 电路中，电容应该用短路线代替，电感以开路代之。得到 t=0+ 电路，如图5-4 (b)所示。（3）在t=0+ 电路中，应用直流电阻电路的分析方法求得 通过以上例题，可以归纳出求初始值的一般步骤如通过以上例题，可以归纳出求初始值的一般步骤如下：下：(1) 根据t=0- 时的等效电路，求出uc(0-) 及il(0-)。(2) 作出t=0+ 时的等效电路，并在图上标出各待求量。(3) 由t=0+ 等效电路，求出各待求量的初始值。aii3 . 020109)0()0(21 i3(0+)=0 ul(0+)=20i2(0+)=200.3=6v18 当外加激励为零,仅

10、有动态元件初始储能所产生的电流和电压,称为动态电路的零输入响应.图5-5 rc电路的零输入响应1i+-ucisr0r2c(a)ur+-+-ucci(b)5.3 零零 输输 入入 响响 应应 图5-5 (a) 所示的电路中，在t0后，电路中无电源作用，电路的响应均是由电容的初始储能而产生，故属于零输入响应。 5.3.1 rc电路的零输入响应电路的零输入响应19-ur+uc=0而ur=i r, dtducic，代入上式可得 0ccudtdurc上式是一阶常系数齐次微分方程，其通解形式为 uc=aept t0式式中a为待定的积分常数，可由初始条件确定。p为式对应的特征方程的根。将式代入式可得特征方程

11、为rcp+1=0式换路后由图（b）可知，根据kvl有20从而解出特征根为 rcp1则通解 rctaeuc式 将初始条件 uc(0+)=r0is 代入3式，求出积分常数a为 scirau0)0( 将 代入上式，得到满足初始值的微分方程的通解为 )0(curctsrctcceireuu0)0(放电电流为 rctrctsceierirdtduci)0(0t0 式t0 式21令=rc，它具有时间的量纲，即 秒秒库仑库仑伏特库仑安培伏特/.rc故称为时间常数, 这样、两式可分别写为 tcceuu)0(t0 teii)0(t0rcp1由于为负，故uc和 i 均按指数规律衰减，它们的最大值分别为初始值 uc

12、(0+)=r0is 及 riris0)0(,当t时，uc和 i 衰减到零。 22图5-6 rc 电路零输入响应电压、电流波形图 画出uc及i的波形如图5-所示。 235.3.2 rl电路的零输入响应电路的零输入响应 一阶rl电路如图5-7(a)所示，t=0- 时开关s闭合，电路已达稳态，电感l相当于短路，流过l的电流为i0。即 il(0-)=i0，故电感储存了磁能。在t=0时开关s打开，所以在t0时，电感l储存的磁能将通过电阻r放电，在电路中产生电流和电压，如图5-7 (b)所示。由于t0后，放电回路中的电流及电压均是由电感l的初始储能产生的，所以为零输入响应。图5-7 rl电路的零输入响应2

13、4由图 (b)，根据kvl有 ul+ur=0 lrllriudtdilu及将代入上式得 0llridtdil1式il=ae pt t0上式为一阶常系数齐次微分方程，其通解形式为 2式将2式代入1式，得特征方程为 lp+r=0 故特征根为 lrp25则通解为 tlrlaei 若令 ，是rl电路的时间常数，仍具有时间量纲，上式可写为 rltlaeit0 3式t0 将初始条件i l(0+)= il (0-)=i 0 代入3式，求出积分常数a为 il (0+)=a=i0这样得到满足初始条件的微分方程的通解为 ttlleieii0)0(t0 4式26 tlreririu0trleriuu0电阻及电感的电

14、压分别是t0t0 分别作出 il 、ur 和、ul的波形如图5-8(a)、(b)所示。 由图5-8可知，il、ur及ul的初始值（亦是最大值）分别为il(0+)=i0、 ur(0+)=ri0、ul(0+)= -ri0，它们都是从各自的初始值开始，然后按同一指数规律逐渐衰减到零。衰减的快慢取决于时间常数，这与一阶rc零输入电路情况相同。 27图5-8 rl 电路零输入响应il、ur和 ul 的波形28 从以上求得的rc和rl电路零输入响应进一步分析可知，对于任意时间常数为非零有限值的一阶电路，不仅电容电压、电感电流，而且所有电压、电流的零输入响应，都是从它的初始值按指数规律衰减到零的。且同一电路

15、中，所有的电压、电流的时间常数相同。若用f (t)表示零输入响应，用f (0+)表示其初始值，则零输入响应可用以下通式表示为 teftf)0()(t0 应该注意的是应该注意的是: rc电路与rl电路的时间常数是不同的，前者=rc，后者=l/r。29例例5-3：如图5-9 (a)所示电路，t=0- 时电路已处于稳态，t=0时开关s打开。求t0时的电压uc、ur和电流ic。 解解 由于在t=0- 时电路已处于稳态，在直流电源作用下，电容相当于开路。所以图 5-9 例 3 图vurrrusc424122)0(212由换路定律，得 vuucc4)0()0( 作出t=0+等效电路如图(b)所示，30电容

16、用4v电压源代替，由图(b)可知 vurrrucr6 . 13242)0()0(322arruicc8 .0324)0()0(32 换路后从电容两端看进去的等效电阻如图 (c)所示，为： 52323rrrsrc1515时间常数为31ttrreeuu6 . 1)0(ttcceeii8 . 0)0(avt0t0也可以由 dtducicc 求出 i c = -0.8e -t a t0 ttcceeuu4)0(vt0计算零输入响应，得32 5.4 零 状 态 响 应5.4.1 rc电路的零状态响应电路的零状态响应 图5-10所示一阶rc电路，电容先未充电，t=0时开关闭合，电路与激励us 接通，试确定

17、k闭合后电路中的响应。 图5-10 (a) r c电路的零状态响应在k闭合瞬间，电容电压不会跃变，由换路定律uc(0+)= uc(0-)= 0，t=0+ 时电容相当于短路，ur(0+)=us，故电容开始充电。随着时间的推移，uc将逐渐升高，ruruisrr)0()0(33 ur则逐渐降低，ir（等于ic） 逐渐减小。当t时，电路达到稳态，这时电容相当于开路，充电电流 ic()=0，ur ()=0，uc=()=us。由kvl ur+uc=us而 ur=rir=ric= ，代入上式可得到以uc为变量的微分方程 t0 1式 初始条件为 uc(0+)=0dtdurccsccuudtdurc 1式为一阶

18、常系数非齐次微分方程，其解由两部分组成：一部分是它相应的齐次微分方程的通解uch，也称为齐次解；另一部分是该非齐次微分方程的特解ucp，即 uc=uch + ucp 34rcttchaeaeu将初始条件uc(0+)=0代入上式，得出积分常数a=-us，故srctcpchcuaeuuurctssrctsceuueuu1 由于1式相应的齐次微分方程与rc零输入响应式完全相同, 因此其通解应为 式中a为积分常数。特解ucp取决于激励函数，当激励为常量时特解也为一常量，可设ucp=k，代入1式得1式的解（完全解）为ucp =k=us35 t0 2式 由2式可知，当t=0时，uc(0)=0，当 t=时，

19、uc() =us（1-e1）=63.2%us，即在零状态响应中，电容电压上升到稳态值uc=()=us 的63.2%所需的时间是。而当t=45时，u c上升到其稳态值us的98.17%99.3%，一般认为充电过程即告结束。电路中其他响应分别为)1)(tcceuutsccerudtducitscreruiitsrreuriut0 t0t0由于稳态值 ，故上式可写成scuu)(36 根据uc、ic、ir及ur的表达式，画出它们的波形如5-10 (b)、(c)所示，其变化规律与前面叙述的物理过程一致。图5-10 (b)、(c) r c 电路零状态响应 uc、ic、ir及ur波形图375.4.2 rl电

20、路的零状态响应电路的零状态响应图5-11 (a) 一阶rl电路 的零状态响应 对于图5-11(a)所示的一阶rl电路，us为直流电压源，t0时，电感l中的电流为零。t=0时开关s闭合，电路与激励us接通，在s闭合瞬间，电感电流不会跃变，即有il(0+)= il(0-)=0, 选择il为首先求解的变量，由kvl有： ul+ur=us 将 , ur=ril , 代入上式，可得初始条件为 il (0+)=0dtdilullslluridtdil1式38 tlrtlhaeaeirukislpruaeistl 1式也是一阶常系数非齐次微分方程，其解同样由齐次方程的通解ilh 和非齐次方程的特解ilp两部

21、分组成，即 il=ilh+ilp其齐次方程的通解也应为 式中时间常数=l/r，与电路激励无关。非齐次方程的特解与激励的形式有关，由于激励为直流电压源，故特解 ilp为常量，令ilp =k，代入1式得因此完全解为39代入t=0时的初始条件 il(0+)=0得ruas于是 由于il的稳态值 ，故上式可写成： t0 电路中的其他响应分别为 t0 )1 (tsstslerurueruitlleii1)(tslleuatdiluruisl)(40tsrreuriu1tslreruii1它们的波形如图5-11 (b)、(c)所示。t0t0图5-11 (b) (c) 一阶rl电路的零状态响应波形图 41 其

22、物理过程是，s闭合后，il(即 ir)从初始值零逐渐上升，ul从初始值 ul(0+)=us 逐渐下降，而ur从 ur(0+)=0逐渐上升，当 t=，电路达到稳态，这时l相当于短路，il()=usr，ul()= 0，ur()= us。从波形图上可以直观地看出各响应的变化规律。 425.4.3 单位阶跃响应单位阶跃响应单位阶跃函数用(t)表示，其定义如下：(t) = 0 t 0-1 t 0+ (t)的波形如图5-12(a)所示，它在（0-，0+）时域内发生了单位阶跃。图 5-12 单位阶跃函数43 单位阶跃函数可以用来描述图5-12 (b)所示的开关动作，它表示在t=0时把电路接入1v直流源时u(

23、t)的值，即： u (t)= (t) v 如果在 t=t0时发生跳变，这相当于单位直流源接入电路的时间推迟到 t=t0，其波形如图5-13所示，它是延迟的单位阶跃函数，可表示为 (t-t0) = 0 tt 0- 1 tt 0+ 图 5-13 延迟的单位阶跃函数44)()1 (00tteuttc 当激励为单位阶跃函数(t)时，电路的零状态响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应。对于图5-12所示电路的单位阶跃响应，只要令us=(t)就能得到，例如电容电压为 若图5-10的激励us=k(t)（k为任意常数），则根据线性电路的性质，电路中的零状态响应 )(1teutc 如单位阶跃不是在t=0而是在某一时

24、刻 t0时加上的，则只要把上述表达式中的t改为t-t0，就行了。例如这种情况下的uc为45均应扩大k倍，对于电容有)()1 (tekutc 例例5-4 求图5-14 (a)电路的阶跃响应 uc。 解解 先将电路ab左端的部分用戴维南定理化 简， 得 图5-14(b)所示电路。由图 (a)可得 图 5-14 例 4 图46)(2)(21443111ttuuuuoc 3u1+u1=0 u1=0 则 atisc11)(2120scociur于是)()1 (2)1 (teeuuttocc 式中 =r0c=210-6s将ab端短路，设短路电流为isc（从a流向b）47 5.5 全 响 应 由电路的初始状

25、态和外加激励共同作用而产生的响应，叫全响应。 如图5-15所示，设 uc =uc(0-)=u0，s在t=0时闭合，显然电路中的响应属于全响应。 图5-15 rc电路的全响应48 对t0的电路，以uc为求解变量可列出描述电路的微分方程为 0)0(uuuudtdurccscc 1式与描述零状态电路的微分方程式比较，仅只有初始条件不同，因此，其解答必具有类似的形式，即stcukeu代入初始条件 uc (0+)=u0 得 k= u0 - us1式49从而得到stscueuuu)(0 通过对1式分析可知，当us=0时，即为rc零输入电路的微分方程。而当u0=0时，即为rc零状态电路的微分方程。这一结果表

26、明，零输入响应和零状态响应都是全响应的一种特殊情况。上式的全响应公式可以有以下两种分解方式:1、全响应分解为暂态响应和稳态响应之和。如2式中第一项为齐次微分方程的通解，是按指数规律衰减的，称暂态响应或称自由分量（固有分量）。2式中第二项us = uc()受输入的制约，它是非齐次方程的特解，其解的形式一般与输入信号形式相同，称稳态响应或强制分量。2式502、全响应分解为零输入响应和零状态响应之和。 将2 式改写后可得：)1 (0tstceueuu 3式等号右边第一项为零输入响应，第二项为零状态响应。 因为电路的激励有两种，一是外加的输入信号，一是储能元件的初始储能，根据线性电路的叠加性，电路的响

27、应是两种激励各自所产生响应的叠加，即 全响应=零输入响应+零状态响应 3式这样有：全响应=暂态响应+稳态响应515.6 求解一阶电路三要素法求解一阶电路三要素法 如用 f (t) 表示电路的响应，f (0+)表示该电压或电流的初始值，f () 表示响应的稳定值， 表示电路的时间常数，则电路的响应可表示为：0)()0()()(teffftft 上式称为一阶电路在直流电源作用下求解电压、电流响应的三要素公式。 式中f (0+)、 f () 和 称为三要素，把按三要素公式求解响应的方法称为三要素法。 由于零输入响应和零状态响应是全响应的特殊情况，因此，三要素公式适用于求一阶电路的任一种响应，具有普遍

28、适用性。 52 用三要素法求解直流电源作用下一阶电路的响应，其求解步骤如下： 一、 确定初始值 f (0+) 初始值f(0+)是指任一响应在换路后瞬间t=0+ 时的数值，与本章前面所讲的初始值的确定方法是一样的。(1) 先作t=0- 电路。确定换路前电路的状态 uc(0-)或il(0-), 这个状态即为t0阶段的稳定状态，因此，此时电路中电容c视为开路，电感l用短路线代替。(2) 作t=0+ 电路。这是利用刚换路后一瞬间的电路确定各变量的初始值。若uc(0+)=uc(0-)=u0，il(0+)=il(0-)=i0，在此电路中c用电压源u0代替， l用电流源0i53图5-16 电容、电感元件在t

29、=0时的电路模型代替。若uc(0+)=uc(0-)=0 或 il(0+)=il(0-)=0，则c用短路线代替，l视为开路。可用图5-16说明。作t=0+ 电路后，即可按一般电阻性电路来求解各变量的u (0+)、i (0+)。54二、确定稳态值f() 作t=电路。瞬态过程结束后，电路进入了新的稳态，用此时的电路确定各变量稳态值u()、i()。在此电路中，电容c视为开路，电感l用短路线代替，可按一般电阻性电路来求各变量的稳态值。三、求时间常数 rc电路中，=rc；rl电路中，=l/r；其中，r是将电路中所有独立源置零后，从c或l两端看进去的等效电阻，(即戴维南等效源中的r0)。 例例5-5 图5-17 (a)所示电路中，t=0时将s上， 求t0时的 i1、il、ul。 55 图 5-17 例 5 图解：解：(1) 先求il(0-)。作t=0- 电路，见图(b)，电感用短路 线代替，则 56346312)0(li(2)求 f(0+)。作t