3数列方程问题的研究

1、专题：数列方程问题的研究一、问题提出问题1：已知数列a“的前n项和s“满足：s,”+s“=sg,且01 = 1.那么©0=. 1问题2：已知数列仏的前n项和必满足：sm -sn =sm+n，且d】=2.那么axq=. 512问题3：己知数列陽中,坷=1卫2=0,若对任意的正整数加和如>加)满足：尤尤二,” 4+,”， 贝吒119 = -1二、思考探究探究1： (1)已知数列仇满足ai=l,勿=2,方=2,且对任意的正整数i, j, k, i,当i+j=k+l1 2011时都有a汁叶砧切,则£(q + bj的值是2u11 /=(2) 已知数列禺, 仇满足6/i=l血=2

2、, 6=2,且对任意的正整数i, j, k, /,当时都有arbj=ak-bif1 n则一 £仏+勺)的值是« /=!(3) 数列仏, 仇满足。=1, 02=2, bi=2,且对任意的正整数i, j, k, i,当比/=£+/吋都有aibj=akbi，记cn= 快1 +勺)(。2 + e)(。3 +仇)(色+ “)，则c“的通项公式为探究2：已知数列他的前三项分别为q=5, a2=6, a3=8,且数列%前料项和s”满足s“+”, =s2n+s2lll)-(n-m)2,其屮m,n为任意正整数求数列色的通项公式 解：4n = l,w = 2, s3=|(s2+s4)

3、-l,s4=29,/4=10,令/n = 1, 5w+1 =|(52zj+s2)-(n-l)2,令m = 2, s“+2 = |(52m +s4)-(n-2)2, a* = s“+2 一陰】=2,i-3 += 2 + 6 = 2® + 2) + 2,_j5, (n = 1)an =2n + 2,(n>3) 乂c =6符合，纠=5 不符合，：""2n + 2,(n>2)探究3：设数列绻的各项都为正数，其前n项和为s“，对于任意止整数刃屮，sm+n = j?%? (1 + s?” ) - 1 恒成一'/.(1) 若q=l,求吆勺，®及数列

4、“的通项公式;(2) 若a4=a2(aa2+)f求证：数列他是等比数列.(注重对条件的功能性分析) 解：(1)由条件，令 m = n = ,得 1 + s? = j2°2 (1 + s?)/. (1 + s2 )2 = 2d? (1 + s?) 则 1 + s? = 2a2.二勺=1 + 角 * 坷=1，a2 = 2 .令7 = 1/ = 2,得1 + s3=j2°2(l + s4)则(4 + °3)2=4(4 + °3+4)令加=2/ = 1,得 1 + s3=j2°4(l + s2).则(4 + a3)2=8a4 .解得03=4,6=8.得

5、1 + s*”=j2%(l + s2“)令777 = 1,得 1 + s”+lj2d2(l + s2令7 = 2,得l + s"+2= j2d4(l + s2“).+ 为+2 乞(nen*). 乞=2,'1 + s“+也a2则数列1 + sj (n2,nen*)是公比为2的等比数列.二1 + s” = 2 2心=2" . % =2心(2)在中，fn = 2,得l + s/j2°4(l + s4).贝ljl + s4=26z4. ：.l + s3=a4.在屮，令加=1,/1 = 2,得 1 + s3 = j2°2 (1 + s4 ) 贝 |j 1

6、+ s3 =磁勺(1 + s3 + °4 )'。4 = j2°2 x 2® 则 a4=4a2. q = 2. 代入(*),得 art = (1 +52)2w_3 (心3 , nen*). (*)ill条件a4 = a2+ a2 + 1),得坷 + 勺 +1 = 4 .。2=1 + %，q =1,.虫2 =2 .则 an=4x 2f,3 = 2n(疋$3, nen*),v=l, :.a2=2也适合上式,d”=2”t (nen*).化数列仗”是等比数列.探究 4：数列给中,«i = l a2 = 2.数列仇满足bn = an+l + （-l）nan,

7、 n e n*.（1）若数列為是等差数列,求数列%的前6项和s6；（2）若数列九是公差为2的等差数列,求数列佃的通项公式；（3）若九-九_ = 0,枕+|+优”=孕，hgn求数列禺的前加项和 切解：（1） vai = 1,。2 = 2,数列给是等差数列,.£=“ 2分则 ”1=力3 = “5=1，方2 = 5,方4 = 9, b(y= 13.：s6 = bi+方2+ +/?6 = 30（阅卷说明：正确写出s6得2分，无中间分）(2)- = 2 - 1 = 1,数列/?“是公差为 2 的等差数列,bn = 2n - 1.丁 一 1 = clin -。2川一 1 / 仇“ =。2畀+1

8、+， c12n = 4川一3 , 。2”+ + 2n = 4/2 1 。2斤+1 + 2n -1=2.（阅卷说明：九正确得1分，正确得出上式得1分）贝ij。2”+3 +。2“+1 =2. 如】+3 =。2“-1（*） cl 1= 1 贝u- 3 = d 1 = 1， 1 6/3 = 1 - 1 1 8 "a（阅卷说明：没有如（*）式证明，用类推方法扣1分）1为奇数）,2n-2 5为偶数）.10分rfu f2n - 1 = clin «2/t-p 2n = 2h+1 +2n + 1 =+ 2 一 «2n + i，°2"十1 = 一 1，。2“+2

9、 +。2” =( 7? g n ).(阅卷说明：上式每写出1个得1分)s = 1，=(-1严vtz2 = 2, 111 a2n+2 +吆=今知数列吆唯一确定,12分13分而仏严*时满足要求,215分贝 =（。1 +。3 +l +。2_1）+ 2 +。4 +l +«2n）1-（-1）"1（1）- 1 |2"，=2_4x（丄）"一丄（一1）" j_j_ 222 22x（1-三7）+16分三、反思提升 四、反馈检测1.已知数列仏满足。1=0,血=2,且对任意 m、都有 fl2m-i +2»-i =2am+-i+2(mw)2 (1 )求 q3

10、,心；(2) 设 b=a2n+ d2“t(un),证明：b“是等差数列;(3) 设 c“ = (dn+dn)q"t(狞 0，用 n*),求数列"的丽5 项和 s“.21也 <s的他力. w於皿眦m的乩册miuwi比斡切矣”存笔做/电出妙卅用1帥|浙1 ilti'山恥fil令m 2, n i吋阪匚？“j5讥曲，"i 令 m j, n i iijkf fi,2“當 /（ i k n 20 .（n时|色刃|（以敘2代替川）i»ff!j*叫小=如“ 4帆e【"m【）.i 一 "打,“-| 一（心.1 1 "h j =

11、8 i!卩 ®i汕、予h°所以数列仏沁公创谕的:皿数列.（5分'（川）d【（l ' jh）的翳牡可ftilm楚汁项如=-5 =6,公差为8的等井数列.期6. = sn -尋却小a:«i -九二 8ti _ 2 .杲由己知（令加=1）可衛宀(n - i)2.2分）九订 "hi2a -2a + i=2n -i于思c. = 2nq当 g = 1 讨s. = 2 4 + 6 + + 2n = n(/t -r- i ).当g x i时二2/ + 4q' + 6 q' + 2“ 广 两边同象g可得.qs. = 2 7 4 + 6 扌*

12、 + 25 - i) g7 4 2n q 上述两式相減即得1 - q)s、=2(1 + g" + g'") - 2ng"=2 . !；二 v 2“矿 - q.2.1 _ (“ + mr +i r所以s. = 2凹二一血嫁上所述s. ann 42应飞一厅 】）.佃=!） 11二（”：05，（卄 1）.12 分）2.已知数列a“满足a = 2,前/?项和为snpan+n-(n 为奇数) -cin - 2n 0?为偶数)（1）若数列他满足bn = a2n +勺曲（n > 1）,试求数列仇前斤项和tn:（2）若数列匕满足c”二知，试判断匕是否为等比数列,并说

13、明理由;（3）在（2）的条件下，若c“为等比数列，问是否存在nen使得（s2zi+1-10）c2z, = 1,若存在，求岀所 有的川的值；若不存在，请说明理由.解：（1）据题意得仇二吆+%+】=%,所以仇成等差数列，故tti=-2n2-2n（2）当p =-时擞列匕成等比数列；当丄时，数列匕不为等比数列理由如下:因为c,t+1 = a2n+2 = pa2n+l + 2n = p（-a2tl-4n） + 2n =-pctl-4pn-2n9 所以s±l = _/? + 2皿1一2刃，故当p=l时，数列匕是首项为1,公比为-丄等比数列；5522当 h *时，数列c讣不成等比数列(3)当 p = t 时，如= (一 *)"t, % = bn - a2n = -4n - (-*2”+1 = a】+ h + b-f +. + b” = 2n2 2n + 2 (" n 1) (s%+ 1 ojc?” = 1,4a? + 4n + 16 = 4",当n=l,2,左边v右边，