高三一轮复习平面向量知识点整理

1、学习必备精品学问点1、概念平面对量学问点整理（1）向量：既有大小，又有方向的量数量：只有大小，没有方向的量有向线段的三要素：起点、方向、长度（2）单位向量：长度等于1个单位的向量（3）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量零向量与任一向量平行提示：相等向量肯定是共线向量，但共线向量不肯定相等；两个向量平行与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合；平行向量无传递性！ （由于有零向量三点 a、 b、c共线ab、ac 共线（4）相等向量：长度相等且方向相同的向量（5）相反向量：长度相等方向相反的向量；a 的相反向量是 -a（6）向量表示：

2、几何表示法ab ；字母 a 表示；坐标表示：a j（ ， ）.2（7）向量的模：设oaa ，就有向线段oa 的长度叫做向量a 的长度或模，记作：| a | .（| a |x2y 2 , a| a |2x2y2 ；）（8）零向量：长度为0 的向量； a o a o.【例题】 1.以下命题：（ 1）如 ab ，就 ab ；（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同； （3）如 abdc ，就 abcd 是平行四边形；（4）如abcd 是平行四边形， 就 abdc ；（5）如 ab ,bc，就ac ；（ 6）如 a / b,b/ c，就 a / c ；其中正确选项 2. 已知 a, b

3、均为单位向量，它们的夹角为60 ，那么 | a2、向量加法运算：三角形法就的特点：首尾相连平行四边形法就的特点：共起点（答：（4）（5）3b | （答：13 ）；cababcc三角形不等式：ababab 学习必备精品学问点运算性质：交换律：abba ；结合律：abcabc； a00aa 坐标运算：设ax1, y1， bx2 , y2，就 abx1x2 , y1y23、向量减法运算：三角形法就的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量坐标运算：设ax1, y1， bx2 , y2，就 abx1x2 , y1y2设、两点的坐标分别为【例题】x1 , y1，x2 , y2，就x1x2 , y1y2（

4、1） abbccd ； abaddc ； abcd acbd （答： ad ； cb ； 0 ）；（ 2） 如正方形 abcd 的边长为 1，aba , bcb, acc ，就 | abc | （答： 22 ）；（ 3） 已知作用在点a1,1的三个力 f13,4, f22,5, f33,1 ，就合力ff1f2f3 的终点坐标是（答：（9,1）4、向量数乘运算：实数与向量 a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a aa ；当0 时，a 的方向与 a 的方向相同；当0 时，a 的方向与 a 的方向相反；当0 时，a0 运算律：aa ；aaa ；abab 坐标运算：设ax, y，就a x, y

5、x,y【例题】（1）如 m（-3，-2），n（6，-1），且 mp1 mn，就点 p 的坐标为 3（答：6,7 ）；35、向量共线定理：向量 aa0与 b 共线，当且仅当有唯独一个实数，使b a 设 ax , y， bx , y，（ b0 ）a b 2| a |b | 2 ；1122学习必备精品学问点【例题】 1如向量 a x,1,b4,x ，当 x 时 a 与 b 共线且方向相同（答： 2）；（2）已知 a1,1,b4, x ， ua2b ， v2ab ，且 u / v ，就 x （答： 4）；6、向量垂直：abab0| ab | | ab |x1 x2y1 y20 .【例题】 1 已知 o

6、a1,2,ob3, m ，如 oaob ，就 m（答： 3 ）；2（2） 以原点 o 和 a4,2为两个顶点作等腰直角三角形oab ，就点 b 的坐标是 b90 ，（3） 已知 n（答： 1,3或（ 3， 1）； a, b, 向量 nm ，且 nm ，就 m 的坐标是 （答： b,a 或b, a ）7、平面对量的数量积： a ba bcosa0,b0,0180零向量与任一向量的数量积为0 性质：设 a 和 b 都是非零向量，就aba b0 当 a 与 b 同向时，aba b ；当 a 与 b 反向时， aba b ； a aa 22a或 aaa a ba b 运算律： abba ；ababab

7、； abcacbc 坐标运算：设两个非零向量ax1, y1， bx2 , y2，就 a bx1x2y1 y2 2如 ax, y，就 ax2y2 ，或ax2y2 设 ax1, y1， bx2 , y2，就 a ba· b 0x1x2 y1y2 0.就 aba bb0x1y2 x2y1.设 a 、 b 都是 非零 向量 ，ax1 , y1， bx2 , y2，是 a 与 b 的夹 角，就cosa ba bx2x1 x2y 2y1 y2x 2y；（注 | ab | | a |b | ）21122学习必备精品学问点【例题】（1） abc 中， | ab |3 ， | ac |4 ， | bc

8、 |5 ，就 abbc （答： 9）；（2） 已知 a1,1, b0,1,cakb, dab ， c 与 d 的夹角为，就 k 等224于 （答：1）；（3）已知 a2, b5, a b3 ，就 ab 等于 （答：23 ）；（4）已知a,b 是两个非零向量，且abab ，就a与ab 的夹角为 （答： 30 ）（5）已知 a,2 ， b3,2 ，假如 a 与 b 的夹角为锐角，就的取值范畴是 （答：4 或0 且1 ）；33（6）已知向量 a （sinx，cosx）,b （sinx，sinx）,c （ 1，0）；（1）如 x，求向量 a 、 c 的夹角；（答： 150°）；38、b 在

9、a 上的投影：即 | b | cos，它是一个实数，但不肯定大于0；【例题】已知| a |3 ， | b |5 ，且 a b12 ，就向量 a 在向量 b 上的投影为（答：12 5学习必备精品学问点平面对量高考经典试题一、挑选题1已知向量a5,6 ， b6,5，就 a 与 ba 垂直b不垂直也不平行c平行且同向d 平行且反向2、已知向量a1， n， b1， n ，如 2ab 与 b垂直，就a（）a 1b 2c 2d 43、如向量 a, b 满意 | a | | b |1， a, b 的夹角为60°，就 a aa b = ；14、在 abc 中，已知 d 是 ab 边上一点， 如 ad

10、2db，cdcacb ，就（）321a b3312cd335、如 o、e、f 是不共线的任意三点，就以下各式中成立的是（）a efofoeb.efofoec.efofoed.efofoe 136、已知平面对量a1，1， b1， 1 ，就向量ab（）22 2， 1 2，1 1，0 1，2二、填空题1、已知向量a =2，4 ， b =1，1如向量 ba +b ，就实数的值是2、如向量 a，b 的夹角为 60 ，ab1 ，就 aab3、在平面直角坐标系中，正方形 oabc 的对角线 ob 的两端点分别为o0，0 ， b 1，1 ，就ab ac三、解答题：1、已知 abc三个顶点的直角坐标分别为a3

11、， 4 、 b0， 0 、c c ， 0 (1) 如ab ac0 ，求 c 的值；(2) 如 c5 ，求 sin a 的值2、在 abc 中，角 a，b，c 的对边分别为a， b， c，tan c37 （1）求 cosc ；学习必备精品学问点（2）如5cb ca，且 ab29 ，求 c 3 、 在 abc中 ， a， b，c分 别 是 三 个 内 角 a， b，c 的 对 边 如 a2,c，4cos b225 ，求5abc 的面积 s 4、设锐角三角形abc 的内角 a，b，c 的对边分别为a，b，c， a2b sin a （）求 b 的大小；（）如 a33 ， c5 ，求 b135、在 ab

12、c 中， tan a， tan b45（）求角c 的大小；（）如 abc 最大边的边长为17 ，求最小边的边长学习必备精品学问点答 案 挑选题1、a.已知向量 a5,6 ， b6,5， a b30300 ，就 a 与 b 垂直；2、c2ab = 3, n ，由 2ab 与 b 垂直可得：3, n 1,n3n20n3 ，a2 ；3 、 32解析：a aa b11 113 ，224、a在 . abc 中，已知d 是 ab 边上一点，如ad =2 db ， cd = 1 ca3cb ，就cdcaadca2 abca2 cbca1 ca2 cb ，= 2 ；335、b由向量的减法知efofoe3336

13、、d1 a3 b1，2.22填空题1 、解析：已知向量a =2，4，b =1，1量 ab2, 4， ba +b ，就2+4+ =0 ，实数=321 【解析】2211、aabaa baab2cos601；223、解析：ab ac0,11,101111.解答题1、解 : 1aba ba c3 c 3 1 62 5c3得c3,4ac 2 ,4 由3,4a c c3 ,4 2532abab ac6161225cosaabac5205sin csina1cosa52、解：（ 1）tanc37，37cosc又sin 2 ccos2 c1解得 cos c1 81tan c0 ，c 是锐角cos c8学习必备精品学问点（2）cb ca5 ，2ab cosc5 ，2ab20 又ab9a 22abb281a2b 241c2a 2b22ab cos c36 c6 3、解：由题意，得cosb3 ， b 为锐角，53sin b4 ，572sin asin bc sinb，41010111048由正弦定理得c，sacsin b27227574、解：（）由 a2b sin a，依据正弦定理得sin a2sin b sin a ，所以sin b1 ，2由 abc 为锐角三角形得b6（）依据余弦定理，得b 2a2c22ac cos b2725457 所以， b7 5、本小题主要考查两角和差公式，用同角三