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1、百度文库第七章第三节 ( 下)t分布和 F 分布三、 t 分布定理 设 X N(0,1),Y 2 (n) ,且 X 与 Y 相互独立,则随机变量TXY / n的概率密度为n1()t2n12,f (t )n(1)2nn()2t,称 T 服从自由度为 n的 t 分布,记作 T t (n) .证 X 的概率密度是1x2f X (x)e 2 ,2Y 的概率密度 fY ( y) 由式()给出,X ,Y 的联合概率密度是1u 2f Y (v) ,e 221百度文库于是 ,P(Xx)P( Xx )Y / nYn1u2e 2fY (v)dudvux2vn作变量替换: uts , vs,它的雅可比行列式是uuJ

2、stvvst于是ts2ss ,10X1n112 )22p(x)se( 1 tndsdtY / nt2nx2 2( )s 0n2xnxdtn 1 1(1 t2 )s( s) 2 e 2( n )0 221 ds2ndtn 1z 2 e(1 t 2 ) zdz,( n) o2由于2百度文库n1( n1)z2e( 1t 2) zdz2n 1,(1 t2)02所以Xx ( n1)1Px2duY / nnu2n2 1n()(1)2n上式两边对 x 求导 , 即得式 .n1n 1()t22fn (t )2n(1n)n(2Cn (1t 2)nlimn(1t 2)nn 12 ,n 1(1 t2nt 2 n 1

3、2limn) t 2n 2nt 2e 2 ,Cn (1 t2n 11f n (t )dt) 2 dt ,n3百度文库t2n11 limnCn (1) 2dtnt2n1limnCnlimn(1) 2dtnt 2limnC n e 2lim Cnndtlim Cn2,n1 ,2Cn (1 t2n 1f n (t )limnlimn) 2n1t 2e 2.2图 72 给出了当 n=1,4,10 时的 t(n) 分布的密度函数曲线 , 它的图形关于 t=0 对称 ,且当 n时 , 有lim f n (t )1t 2e 2n2,故当 n 很大时 ,t 分布近似于 N(0,1). 然而对于比较小的 n 的

4、值 ,t 分布与正态分布之间有较大的差异 .4百度文库F ( x)PTxxf (t)dt ,F (x)f ( x)0,F (x) 严格单增 ,F : (,)(0,1)是一一对应 ,对给定: 01, 存在唯一 t (n) ,使得 F (t (n),即对于给定的:01, 可查t 分布表 ( 见附录三 ) 求出 t (n) ,满足F (t (n)t ( n ),PT t (n)f (t)dt的点 t (n) 称为 t 分布的 ( 下侧 )分位点 .t 分布的分位点的性质 :由 f (t ) 的对称性 ,即 f (t ) 是偶函数 ,可得F ( x)F ( x)1,F (0)1 ,(1)( )(2t1

5、t),nnP Tt1(n)1 ,P Tt1 (n)5百度文库(2)数1(n), 满足t2PTt1(n) 1,22则P|T|11;t(n)2P| T | t1(n),2称 t1 / 2 (n) 为双侧 分位点 .当 n>45 时,t 分布表中没有列出 ,此时可查标准正态分布表, 得 z ,且有t (n) z .例5 设 X1, X 2, , X32 为来自于正态总体 N ( ,42)的样本,令16Y( X i)32,i 1(X j)2j 17求 Y 的分布。解 由题设条件,得16( Xi) N (0,16 42 ) ,i16百度文库16)116( Xi16( Xi) 16U ,i 116

6、i 1116) N (0,1),其中 U( Xi16 i132)232( X j) 216V ,( X j16j 17j 17432X j2 2 (16) ,其中 V()j 174显然 U 与 V 相互独立,由 t 分布的定义知,16( Xi)16UU t (16) ,i 132( X j) 216VV 16j 17于是 Y 服从自由度 16的 t 分布。7百度文库定理四 设 X 1 , X 2 , , X n 相互独立,且都服从 N ( , 2) ,则有X( X)n t (n 1) .SnS证因为XN(, 2/ n) ,所以UX N (0,1) ,nXXn U ,nn又V(n 21) S2

7、2 (n 1) ,2(n 1)22S2V,S2(n(n 1)1)显然U 与 V 相互独立,8百度文库于是XUUn t (n 1) .S2nnVV(n1)( n1)定理五设 X1 ,X2 , , Xm 和Y1 ,Y2 , , Yn 分别是从正态总体N( 1,2)和 N(2 , 2 )中所抽取的独立样本,则( XY )(12)mn(m n 2)Tm n( m 1) S12(n 1) S22 t (m n 2) ,证 因为22XN(1,),YN(2,)mn所以22XYN(12,),mn于是U(XY)(12) N(0,1)11mn9百度文库由定理三知(m 1)122 (m1),2S(n21) S22

8、2 (n 1)且它们相互独立。由定理二可知V(m 2 1) S12 (n21) S22 2 (m n 2)又由定理三知 U ,V 独立,于 是 按t分 布 的 定 义 得(X Y)(1 2)mn(m n 2)(m 1)S12(n 1)S22m nU t(mn2)。V / (mn2)例6设总体XN(1,2),Y N(2,2),X与 Y相互独立,X1 ,X2 , , Xn ;Y1 ,Y2 , , Ym 分别是来自X 和 Y 的样本, X, Y 分别是两个样本的样2n本均值, S1(X i X )2 /(n 1) ,i 110百度文库试求下面统计量的分布:XY (12 )TS 1/ n1/ m。1记

9、住结论解由正态总体样本函数的分布知,X N (1 ,2/ n), Y N (2 ,2/ m) ,因而XY N (12 ,2/ n2/ m) ,经标准化得到X Y (12 ) N(0,1)1/ n1/ m又由定理三知( n1)S122(n 1),2再由 t 分布定义知XY(12)2(n 1) S1 t(n1) ,1/ n 1/ m/2(n1)即XY(12 ) t( n 1) 。S1 1/ n1/ m四、F分布11百度文库定理设X2 ( 1),Y 22) ,n(n且 X 与 Y 相互独立,则随机变量FX / n1Y / n2的概率密度为( n1n2 ) / 2 n1n12n12n1n2()(n1

10、1n1n2, u 02n2u) (12u)f (u)( )()nn220,u 0我们称 F 服从自由度为 (n1,n2 )的F 分布,记作 F F (n1, n2 ) 。证明略f (u) 的图形入图 7-3所示。对于给定的: 01,查 F分布表(见附录五) 可得分位点F( 1 ,2 ) ,nn使得F ( n1 , n 2 ),P FF (n1 , n2 )f (u)du且不难验证下式成立:F1(n1 , n2 )1,, n )F (n21利用上式,可以求出 F 分布表中没有列出的其他数值。12百度文库例7 设 X1 ,X2 , , X18 为正态总体N (1,2 )的样本,若181) 2121

11、)2 0.95,P ( X ja ( X ij 13i 1已知 F0.95 (12,6) 4,即 P F (12,6)40.95,求常数 a 的值。解由1812P ( X j1) 2a ( X i 1) 2 0.95,j 13i112( X i1) 2得 Pi 11 0.95182( X j1) 22aj13因为12112X i1 2()( X i1) 2i 1i 112 F (12,6),18X j12 ( X j1) 21182j 136j 13()所以有14,即 a10.125 .2a8定理设总体 X N( 1,12),13百度文库X 1 , X 2 , X n 为来自于总体X 的样本

12、;总体 Y N ( 1 ,22 ) , Y1 ,Y2 ,Ym 为来自于总体Y的样本 , X 与 Y独立 .1nXX in i 11 mYYjm j 1,S121nX)2,( Xin1 i 1S221mY)2 ,(Yjm1 j 1则 (1)nX i1)2m(Yj2)2 2 (n)i 1(1j 12m ;(2)(n21) S122 (n1),1(m 2 1) S22 2 (m 1) ;2(3)(n21)S12(m21)S222 (n m2) ;122(n21) S12(4) F22S121(n1).S121 F (n1, m1)222(m1)S21S2222S222(m1)例8设TX,其中YnX

13、N(0,1) ,Y 2 (n) , 且 X 与 Y相互独立 , 求T2的分布 .解因为X N (0,1) ,所以 X22(1) ,由题设知Y 2 ( n) ,由X与Y相互14百度文库独立,得到 X2与Y相互独立 ,X 2故T 2Y1 F (1, n) .n例 9 设 X 1 , X 2 , , X n为来自总体X N(, 2 ) 的样本,试确定常数c ,使c ( X)2S2服从 F 分布。解因为XN( ,2/ n) ,所以X N(0,1) ,/n( X)2 2 (1);/n又(n21) S2 2 (n 1) ,且 Xn与 n21 S2 相互独立,/由于( X) 2( X) 21/n1,cc(n1)S2nS22(n1)所以当 cn 时,15百度文库c ( X2)2服从 F (1,n1) 分布。S例 10 设 X1 , X 2 , , X n 是来自正态总体 N (0,1) 的样本 , 1 m n ,试确定常数 c ,(Xi ) 2注意Y分子m使Yci 1服从 F 分布。分母的不同n2X iim 1解因 X1, X 2 , , X m , X m 1, X n 相互独立同服从N (0,

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