第四章中值定理导数应用

1、第四章中值定理导数应用导 P 83. 5, 12, 19, 20, 22, 23, 27 ,30, 31, 35, 38, 41, 42,P88. 6, 7, 9, 13,14,16, 21, 22, 26,27,29.一、选择题5. 下列函数中 , 在 -1,1 上满足罗尔定理条件的是A. 1B. 1 x2C. xD. x 1x12. 若 f (x0 ) =0, f( x0 ) =0, 则 yf (x) 在点 x0 处A. 一定有极大值B.一定有极小值C. 不一定有极值D.一定没有极值19. lima tan xb(1 cos x)2=2, (a2+c2>0),则有x 0cln(1 2

2、x) d (1 e x)A b=4d20. 设函数 f (x)数的一个驻点且A. 取极大值B. b = 4dC. a =4cD. a = 4c二阶可导 , 且处处满足方程f( )3(f(x)22exf( )0 . 若x0是该函xxf ( x0 ) <0, 则 f (x) 在点 x0B. 取极小值C. 不取极值D. 不确定22. 曲线 yx2a 2有条渐近线A. 0B. 1C. 2D. 323. 当 x>0 时 , 曲线 yx sin 1xA. 仅有水平渐近线B. 仅有铅直渐近线C. 有水平渐近线和铅直渐近线D. 没有水平渐近线和铅直渐近线27. 点 (0,1)是曲线 yax3bx

3、2c 的拐点 , 则A.a=1,=-3,c=1B.b=0,c=1,a任意bC. a =1,b=0, c 任意D. a、b 任意 ,c=130. 下列极限中能使用罗必达法则的有x2 sin 1A.limxB. limx(arc tan x)x 0sin xx2C.limxsin xD. limx sin xxsin xx2xx31. 下列极限中不能使用罗必达法则的有1x 2 sin1A. limx 1 xB.limsin xxx 1x 0C. limln xD.xa3lim x lnxxxxa35. 设函数 f ( x) 一阶可导 , 且 limf (x) =1, 则 f (0)x 01A. 是

4、 f (x) 的极大值B. 是 f ( x) 的极小值C. 不是 f ( x) 的极值D. 不一定是 f ( x) 的极值38.曲线 yxln( x 1)A. 有水平渐近线B. 有垂直渐近线C. 有斜渐近线D. 没有渐近线41.函数 yx ln( e1 ) ( x>0)的斜渐近线是x1A. yxB. yxe1C. yD. 没有斜渐近线e是曲线 yx3ax 2bxc 的拐点 , 且在 x=2 处有极值 , 则 a、b、c 分别为42.已知点 (1,3)A.1 、3、5B.3 、0、 5C.-3 、 0、 5D.5、0、3推荐练习：选择题， 2， 18， 24， 29， 40， 47（二）计

5、算题6. 求函数 y2x2ln x 的极值 .7. 设 x=1,2都是 ya ln x bx 2x 的极值点 , 求 a、b.exe x2x .19. 求 lim13.求 limln x ln(1x) .14.求 lim( sin x )1 cos x .x 0xsin xx10x 0x16.求 limtan xx .21.设 f ( x)x 2xx0求 f (x) 的极值 .x2x,x0x 2 sin x022.计算 limx(11 )xe .26.计算 lim cot x(11 ) .xxx0sin xx27.已知f ( x)(cos x) x 2x0 在点x=0连续, 求 .ax0a求函

6、数 y( xarctan x29.1)e2的单调区间和极值 ,并求该函数图形的渐近线 .推荐练习：计算题,8,27,37答案一 5B, 12C, 19D, 20B, 22C, 23 A, 27B,30B, 31B, 35C, 38B, 41B, 42C.二、 6. 极小值 f1ln 217.a2 , b1223692 , 13. 0,14.1,16.1/3 , 21.2 ；极小值 f e 12,e 3极大值 f0e e22. 单调增区间0, ae ，单调减区间ae,；极大值fae e 1；23333拐点ae 2 ,3 e 2；凸区间0,ae 2；凹区间ae 2 ,2126. 1/6 ,27 e

7、 2,29.单调增区间,10,，单调减区间1,0 ；极小值f 0e 2 ，极大值 f12e 4；渐近线 ye x2 ， y x2 .例题例 1 设 a0a1an0 , 证明：方程 a0 a1xan xn0 在 (0,1)内至2n 1少有一个实根例2 求极限1） lim 1(11 )x 0 xsin xtan x3） lim (1x) tanxx 122） limx04) lim (z0ln(1x)ln(1sin x)secxcos x1arctan x ) x2x例 3。已知f ( x)在0 ,1上连续，在(0 , 1) 内可导，f (0)1 ,f (1)0 ，证明存在f (c)c(0,1)使

8、f(c)cf ( x) 在 a , b，在 ( a ,b ) 内可导' ( )0例 4设函数上连续，且f，证明：存在x,( a , b ) 使得f()e be a。f()bae例 5证明不等式：1）当 x0时， xx 2x3ln(1x) ； 2） tan x2 sin x3x( x( 0 ,) ) 。232例 6证明不等式1)证明 :若 bae ，则 abba2)设f ( x)0, f (0)0证明当 0 ab时 ,f (ab)f (a)f (b).例 7证明 :若 limf ( x)1, f (0)0, f ( x)0, 则 f ( x) x .xx 0x例 8. 试证明 : 函数

9、f x1在区间 0,内单调增加 .1x例 9求下列曲线的渐近线：1xe x11） y e x ; 2） y; 3） yx 2 e x .x 1例 10求证 : 方程 x pq cos x 0 恰有一个实根，其中p,q 为常数，且 0 < q < 1 。3例 11 设 f ( x0 ) f(x0 ) 0, f ( x0 )0, 则下列选项正确的是（）A) f ( x0 ) 是 f( x) 的极大值 .B) f ( x0 ) 是 f ( x) 的极大值 .C) f ( x0 ) 是 f (x) 的极小值 .D) ( x0 , f (x0 ) 是曲线 yf ( x) 的拐点例 12讨论方

10、程： exax (a 0) 的根的个数。例 13设函数 f (x) 在a ,b 上二阶可导 , f ( x)M , 且 f (x) 在 (a ,b) 内取最大值，证明：f ( a)f (b)M (ba)补 充 题一.填空题1f ( x)可导，则由拉格朗日中值定理有： e f ( b)e f (a )_ (b a) ，由柯西中值设定理有 : e f ( b)e f ( a )_ e( 介于 a 与 b 之间 )2设函数 f (x)( x 1) 3 ( x 2)( x3) ，则 f ( x) 有个不同的零点。3函数 yxln( 1x) 在区间 _ 内单调减少，在区间内单调增加。4已知 limsin

11、 3xab ,则常数 a, b.x3x2x031x 2 sin x15. lim1) xln(1.x 0 (exx)6分别用 ER EX 表示某商品的收入函数和需求函数对价格p 的弹性，则两者有关系式Ep, Ep_.7某商品的需求量Q 与价格 p 的函数关系是： Qapb ，其中 a,b 为常数，且 a0 ，则需求量对价格的弹性为4A8.设f (x) 具 有 二 阶 导 数 ， 在x0 的 某 空 心 邻 域 内f ( x)0 ， 且limf ( x)0, f (0) 0 ，则 lim 1f ( x)xxx 0x 01x。二.计算题1求极限（1） limxx x（ 2） lim1cot 2xx

12、 1 1xln xx 0x 21（3） lim 1x2tanx（4）l i ms i nxx 2x 12x 0x(5). lim1ln 2 (1 x).（ 6） . lim11x 0xx3x 0x2sin 2 xln(1 x)x0,x, x22.设函数 f (x)ax0, 在 x0 处可导，求常数 a, b,c.sin bxcxx0,x3求渐近线1e（1） y1ex 2x 21x3ex1（ 2） y2（ 3） y1x 1xA1.求数列 1，34，nn , 中最大的数。2 ， 3， 4A2.讨论方程 ex2xa0的根的个数 .三 .证明题：1 设 f x 在 0, 1 上可导，且 0 f( x)

13、 1, x 0, 1 ， f ( x)1， x(0, 1) ，求证：存在唯一的 x0 (0, 1) ，使得 f ( x0 )x0 .52 证明：对于 x1, 恒有 arctanx12x。arcsinx 2x2123 证明：对于 x0，有x)x 。ln(11x4 设 x0，求证： ln(1arctanxx)x。1f x 分别在5设在，上 f(x)0 , 而 f (0)0 ，试证：, 0 与,0 上单调递增 .x6设函数f x 在 a, b上连续 0ab，在 a,b内可导，证明存在,a,b ，使f2 fab7. 求证方程 ln xax b 至多有两个实根(a,b 为常数 ,a>0)8若 limf ( x)1, f ( 0)0, f ( x)0,则 f ( x) x .x 0x9设函数 f (x) 在 a , b上二阶可导 , f(x)M , 且 f ( x) 在 (a ,b) 内取得最大值，证明：f (a) f (b)M (b a)10 设 fx 在 a, b内有定义，且对此区间内任意x1 , x2恒有 f x2 f x1x1 x22 求证： fx 在该区间内是一个常数答 案一1. f ( )e f ( ) ; (ebea ) f ()e f ( ) ; 2. 3;3.( 1,0) 或