人教B选修1-23.2.1复数的加法和减法学案

1、第4页共4页3.2.1复数的加法和减法课堂导学三点剖析各个击破一、复数代数形式的加减运算【例 1 】 计算：(1-2i)-(2-3i)+(3-4i)-(4-5i)+(1 999-2 000i)-(2 000-2 001i).解法一：原式=(1-2+3-4+ +1 999-2 000)+(-2+3-4+5- -2 000+2 001)i=-1 000+1 000i.解法二：(1-2i)-(2-3i)=-1+i,(3-4i)-(4-5i)=-1+i,(1 999-2 000i)-(2 000-2 001i)=-1+i.将上述式子累加得原式=1 000(-1+i)=-1 000+1 000i.温馨提

2、示复数的加减法，类似于多项式加减法中的合并同类项的过程.具体解题时，可适当地进行组合，简化运算.类题演练1设 Z1=x+2i, Z2=3-yi(x、yC R),且 Z1+Z2=5-6i,求 x+yi.解：Z1+Z2=x+2i+3- yi=(x+3)+(2- y)i.1.Z1+Z2=5-6i,x+3=5,2 y = -6./口 x 2, 解得J = 8. -x+yi=2+8i.变式提升1已知平行四边形中，三个顶点对应的复数分别是2+i,4+3i,3+5i,求第四个顶点对应的复解：如右图，设点 乙、Z2、Z3分别对应复数 2+i,4+3i,3+5i.若Z1Z3为对角线,则 Z1Z4 =ZzZ3,即

3、 Z4-Z1=Z3-Z2, /. Z4=z3- Z2+Z1=(3+5i)-(4+3i)+(2+i)=1+3i.(2)若Z1Z2为对角线，即 Z4-Zl=Z2-Z3, .Z4=Z2-Z3+Zi=(4+3i)-(3+5i)+(2+i)=3-i.(3)若 Z2Z3为对角线，则 Z2Z4 =Z1Z3 ,即 Z4-Z2=Z3-Zi,Z4=Z3- Zi+Z2=(3+5i)-(2+i)+(4+3i)=5+7i.二、复数代数形式的乘除运算【例 2 已知 x、y C R,且 x +y = 5，求 x、y 的值.1 i 1 2i 1 3i刎 x y 5 户中 x(1 -i)y(1 -2i)5(1-3i)1 i 1

4、 2i 1 3i2510'5x(1-i)+2y(1-2i)=5-15i, (5x+2y)-(5x+4y)i=5-15i.5x +2y =5,x = -1,5x +4y =15,y = 5.温馨提示在进行复数除法运算时，通常把 (a+bi) +(c+di)写成亘型 的形式，再把分子与分母都c di乘复数(c-di ),并进行化简整理.类题演练2a i3已知z=a (a>0),且复数co =z( z+i)的虚部减去它的实部所得的差等于3 ,求复数3.1 -i2解：W =a T ,a T .、 a T a 1 (a 1)(a T) (a 1)(ai 1) a 1 a2 a.(+ i)=

5、+i ,1 -i 1 -i 1 -i 1 -i -2i2222_a a a 13-=一,222即 a2-1=3.,.a>0,a=2, w = +3i.2变式提升2(-1.3i)2-2 i计算：(1 i)61 2i解: (-13i)3-2 i =(-13i)3(-2 i)(1-2i)(1 i)61 2i (1 i)235=(T +内)3 -2+4i +i +2一(2i)3-5, i = -8- -i=i-i=0.-8i_(-1)33 (1)2、.3i 3 (-1)( ,3i)2 (, 3i )38i三、共轲复数问题【例3】 已知复数z满足z z -i ( 3z ) =1- ( 3i),求z

6、.思路分析：(1)将方程两边化成a+bi的形式，根据复数相等的充要条件来解(2)根据模的性质即|z|2=zz和两个纯虚数的积为实数来解解：方法一：设 z=x+yi(x,y R),则22 工TTWx +y -i 3(x +yi) =1-( 3i), 即 x2+y2-3y-3xi=1+3i,L 22_.由复数相等得x +y -3y=1,-3x =3.x 1,x 1,解得 或y =0, y = 3.z=-1 或 z=-1+3i.方法二：. zz-i( 3z )=1-( 3i),zz-1=3i+3i z,即|z| 2-1=3i( z+1) C R，z+1是纯虚数或0,可令 z=-1+ai(a CR |

7、-1-ai|2-1=3i(ai),即 a2=-3a = a=0 或 a=-3,z =-1 或 z =-1-3i,故 z=-1 或 z=-1+3i.类题演练3设a、b为共轲复数，且(a+b) 2-3abi=4-6i,求a和b.解：设 a=x+yi ,贝U b=x-yi , (x, yC R), 由条件得：(x+yi+ x-yi) 2-3( x+yi)( x- yi)i=4-6i, 即 4x2-3( x2+y2)i=4-6i,由复数相等的充要条件，得:4x2 = 4, 3(x2 y2) =6.解得:'x=±1,J = ±1.a di,或b =1a = 1 -i,b =1 i.变式提升 31 3 n .13 n.计算(-+ i) +(- i) (n N).2 2221 3 .斛：仅CO =- +i ,分以下二种情况：2 23k当n=3k时