全国高中数学联合竞赛试题与解答(B卷)

1、（1）证明：数列"也是等差数列：（2）设数列“、么的公差均是dwO,并且存在正整数s/，使得q是整数，求161的最小值.1L在平面直角坐标系xOy中，曲线G：'2=4x,曲线g：（x-4）2 + V=8，经过G上一点夕作一条倾 斜角为45的直线/,与J交于两个不同的点Q,R,求IPQLIMI的取值范围.2017年全国高中数学联合竞赛加试（B卷）一、（本题满分40分）设实数a,b,c满足a+b+c = O,令d = max|,”|，H，证明:K1+a）（l+W+c）>l-d2二、（本题满分40分）给定正整数？，证明：存在正整数使得可将正整数集N.分拆为k个互不相交的子集4

2、，42,4,每个子集4中均不存在4个数（可以相同），满足出?一4="三、（本题满分50分）如图，点。是锐角AA3C的外接圆。上弧8C的中点，直线D4与圆0过点3,C的切线分别相交于点P,Q, 8。与AC的交点为X, C尸与A8的交点为丫，8。与CP的交点为了，求证：47平分线段XV.四、(本题满分50分)设4,。2,£ 1,2,5, RQ,% e 1,2，10,集合X=(/J)|l</< j< 20,(4 %)屹一4)0,求X的元素个数的最大值.一试试卷答案QL答案：- 9解：数列4的公比为，故一 = 什，2- =1 = 9.%+-74（4+生。”）q 9

3、2 .答案：x/5解：设Z = a+bi,a,beR,由条件得（。+9） +6=10a + （106 + 22）"比较两边实虚部可得，解得: =1,。= 2,故z = l + 2i,进而lzl=".73 .答案：一一 解：由条件知，/(1) + 1=(/(-1) + (1)2) = /(一1)一1, 两式相加消去/（一1）,可知：，即.4 .答案:2 (V2)2+l2-22 V2cos A =解：由正弦定理知，又b?=ac,于是a:0:c = 2：7份：1,从而由余弦定理得:2xV2xl5 .答案：2733解：由条件知，所平行于8C,因为正四而体48CQ的各个而是全等的正三

4、角形，故AE = Ab = EF = 4,AD = AB = AE+BE = 1.由余弦定理得，DE = J4D2 + 6-24） AE cos60 =,49 + 16-28 =扃,同理有。尸=炳.作等腰ADEF底边防上的高则，故DH=NdE?-EH2 =回,于是 Swf =；EF*DH = 2屈.6 .答案：-14解：注意K中共有9个点，故在K中随机取出三个点的方式数为C；= 84种，当取出的三点两两之间距离不超过2时，有如下三种情况：（D三点在一横线或一纵线上，有6种情况，（2）三点是边长为1,1,、历的等腰直角三角形的顶点，有4x4= 16种情况，(3)三点是边长为应,应,2的等腰直角三

5、角形的顶点，其中，直角顶点位于(0,0)的有4个，直角顶点位于(±1,0), (0,±1)的各有一个，共有8种情况.综上可知，选出三点两两之间距离不超过2的情况数为6+16+8 = 30,进而所求概率为.7 .答案：解：二次曲线方程可写成，显然必须>0,故二次曲线为双曲线，其标准方程为，则 c2着止整数sj 满足4s + bt eZ，则4$+Z?, +g = % +(s 1)" + 4 + (/ )d + =()2+(-a)2=a2-a,注意到焦距2c = 4,可知24 = 4,又。<0,所以.8 .答案：574解：由条件知，当c = l时，有10工4

6、20,对于每个这样的正整数b,由10/?<。4201知，相应的的个数为202-10/?，从而这样的正整数组的个数为g (202 -10/7)= ")2=2)少=572,/>-1()22017当c = 2时，由，知，b = 20,进血 200Wa = 201 >10故4 = 200,201,此时共有2组(a/,c).综上所述，满足条件的正整数组的个数为572+2 = 574.9 .解：设，=21则fe2,4,于是"一。1<15Tl对所有fe2,4成立,由于 "一a 1<15 T k=> (f a)? v (5 -f了,0 -a5)

7、(5 一 a) v 0,对给定实数。,设/=(2"。-5)(5-°),则一是关于f的一次函数或常值函数,注意fe2,4,因此/(f)v0等价于,解得3<。<5/(2) = (-1-«)(5-«)<0/(4) = (3-«)(5-«)<0所以实数的取值范围是3<<5.10 .解： 设等差数列4“的公差为d，则% -/乙=(一2。+3 - 4：-】)一(*+1。+2-。：) =4+2(限 一)3向+ %)(q用-%)= 4+22" 一( +=(2。»2 一- a>d = 3d2

8、所以数列仍也是等差数列.(2)由已知条件与(1)的结果知:3d2=d，因为dwo,故,这样耳=4+4.2=3" +d)& +2d)一； 记，贝iJ/eZ,且18q=3(3/-s - + l) + l是一个非零的整数，故从而.117又当时，有+a=+ = leZ, 13 18 18综上所述，|的最小值为4.11 .解：设P(产,2f),则直线/的方程为丁 = x + 2一/，代入曲线j的方程得，(x-4)2+(x + 2r-r)2=8,化简可得:2x2 -2(r -2f + 4)x + (t2 -2t)2 +8 = 00,由于/与C?交于两个不同的点，故关于x的方程的判别式为正

9、，计算得, =(产 2f+4y 2(/ - 2r尸 + 8) = (r - 2t)2 -8(r-20 + 16-2(产 -2r)2-16 4=一( 一 2/+ 8(尸 2f) = -(t2 - 2/)( J - 2/ - 8) = -/(/- 2)(/ + 2)(/- 4),因此有fe(-2,0)U(2,4), 设。,R的横坐标分别为,由知,王+/=一21+ 4,因此，结合/的倾斜角为45可知,I PQA PR= 72(%1 -r2)<V2(x2 -r) = 2x,x2-2r(xl +x2) + 2t4 =a2 - 2f )2 +8-2r(r - 2f + 4) + 2t4 =f 4 一

10、 43 + 4 + 8 - 2f 4 + 4/ 一 8 + 2?= r4-4r2+8 = (r2-2)2+4» 由可知，/一2e(2U(2,14),故(八-2)4)U(4196),从而由得:I PQ M PR 1= (r 一 2尸 + 4 e 4,8) U (8,200)注1：利用C?的圆心到/的距离小于g的半径，列出不等式, 同样可以求得中，的范围.注2：更简便的计算IPQMPRI的方式是利用圆事定理，事实上，g的圆心为M(4,0),半径为)=2夜, 故 I PQ kl PR 1=1 PM I2 -r2 = (r - 4)2 + I 一 (2"尸=/一 4/ + 8 .加

11、试试卷答案证明：当dNl时，不等式显然成立 以下设OWdcl,不妨设。力不异号，即出?NO,那么有(1+ «)(1+/?) = + a + b + ab> + a + b = -c>-d >0因此I(1 + a)(l + /?)(1 + c)|>|(1 -c)(l + c)| = l-c2=l-|c|2 >1-J2证明：取& =m + 1,令 A =x|x三，(mod/ + l),X£N+, i = l,2,"7 + 1设a,b,c,d £ A ,则心-c"三/，= 0(mod/ + l), m + fib

12、-cd ,而?+ 1加，所以在A中不存在4个数a,/?,c,",满足。/?一4 = ?三、 证明：首先证明KY3C,即证 连接3D8,因为,1 AC CQsin ZACQ -AC BCsin ZACB 1 AC AQsin ZCAQ所以1=， -ABBC sin ZABC -ABBP sin ZABP -ABAPsin /BAP 222由题设，8P,CQ是圆切的切线，所以NACQ = NA8C, ZACB = ZABP,又ZCAQ = ZDBC = ZDCB = ZBAP （注意。是弧BC的中点），于是由知 因为 NCAQ = N84P,所以 N84Q = NCAP,s- AB AQ

13、 sin ZBAQ . D 4八于是也=22：iAQ Smcp - AC APsin ZCAP AC * AP 2c BC CQ sin ZBCQ 二八 而为丝半S邓cp 2_ 8C BP sin ZCBP BP2由，得，即又，故设边BC的中点为M,因为，所以由塞瓦定理知，AM,3X,CY三线共点，交点即为7,故由双 8c可得A7平分线段XY四、解：考虑一组满足条件的正整数（必,仇也，也。）对A = l,2,5,设，小,外0中取值为k的数有4个，根据X的定义,当4=勺时，（i,j）1X,因此至 少有个（i,j）不在X中，注意到，则柯西不等式，我们有51551155190£c： =5（

14、名：-彳（404尸 - £4）=彳20.（七一1） = 3。从而X的元素个数不超过C£o-30 = 190-30 = 160另一方而，取 出 人 _3 =。»-2 ='%-1=。4人=% （攵= 1,2,5）, 4=6 （j = 1,2,，20）,则对任意i,j （l«ivj<20）,有（4一勺）（1一与）=（一勺）（6-4）（6-即）=-（4-勺）2«0等号成立当且仅当4 =%，这恰好发生5=3。次，此时X的元素个数达到C：o-30 = 160综上所述，X的元素个数的最大值为160.2017年全国高中数学联合竞赛一试（B卷）参考

15、答案及评分标准说明：1 .评阅试卷时，请依据本评分标准.填空题只设8分和。分两档：其他各题的 评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次，2 .如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可 参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、 11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次，一、填空题：本大题共8小题，每小题X分，共64分.L在等比数列叫中，%=五,% =事,则十"懦的值为 叫 + 20 IT答案：.9解：数列m的公比为9 二0二平，故世"二#色吼_ =0.% -V2生+* 夕'（a-q&#

16、39; 92 .设复数z满足乙+ 9 = 10+ 22i,则的值为.答案：V5 .解；设2 = +方，a,/>WR.由条件得3 + 9） + bi = 10a + （-10b + 22）i.比较两边实虚部可得+9 = 10a, '6 = -10"22, 解得a = l" = 2,故z = l + 2i,进而|z| = 4.3 .设/(/)是定义在R上的函数，若x) + .d是奇函数，/(五)十2y是偶函数, 则/的值为.答案；-：4解；由条件知，/+1 =-(/(=1) 1, /+ 2=/(-1)+:，两式相加消去-1),可知2l)+3=-L 即/=一2_.2

17、44 .在力HC中，若sind = 2sinC,且三条边的也已成等比数列,则cos/的 值为.解：由正弦定理知，-= = 2,又bc,于是：b:c = 2:JLl,从 c sinC而由余弦定理得，COS / = 丁十 _ = 2' = _也, 2bc 2xV2 x 145 .在正四面体力灰力中，£F分别在棱力24C上，满足8E = 3,EF = 4,且EF与面8cQ平行，则DEF的面积为答案：2衣.解：由条件知，炉平行于8C .因为正四而体月8CQ 的各个面是全等的正三角形，故AE = AF = EF = 4, Ab = AB = AE-V BE = 7 .由余弦定理得，DE

18、 = J 4D )盘-2AD AE cos 60。=J49 + 16 二 28=后,同理有。/二历.作等腰,底边防上的高/汨,则£=绪=2,故 dh = Nde?-eh2 =屈，于是右.-=；.EF DH = 2而.6 .在平而直角坐标系"万中，点集K = (x,y)|x,y = 1,0,1.在K中随机 取出三个点，则这三个点两两之间距离均不超过2的概率为.答案：.解;注意K中共有9个点，故在K中随机取出三个点的方式数为C =对种.当取出的二点两两之间距离不超过2时，有如卜.二种情况；(1)三点在一横线或一纵线上，有6种情况.(2)三点是边长为1J0的等腰直角三角形的顶点，

19、有4x4 = 16种情况.(3)三点是边长为0.加,2的等腰直用三角形的顶点，其中，直角顶点位 于(0,0)的有4个，直角顶点位于(土1,0), (0,±1)的各有一个,共有8种情况,综上可知，选出三点两两之间距离不超过2的情况数为6-16 + 8 30,进而所求概率为也=上.84 147 .设为非零实数，在平面直角坐标系*伽中，二次曲线/十十不=0的 焦距为4,则a的值为.答案；上或，2解;二次曲线方程可写成一£- 二 1.显然必须>0,故二次曲线为双曲 3 Z7线，其标准方程为则1=(卡/十(注意至IJ焦距yj-a)(一 ”)2c = 4,可知 “ a = 4r

20、乂<0,所以a = .28,若正整数“，"。满足20172102100力21000% 则数组(凡凡。)的个数 为,.答案：574.解，由条件知cW20171000=2.当。=1时，有10£力£20.对于每个这样的正整数由10/i工。工201知,2相应的。的个数为202-10人 从而这样的正整数组的个数为(102+2)x11= 572.20 52(202-10/?) = /h-10当c = 2时，由20WH2017100,知人=20.进而200WW201710故仅=200, 201.此时共有2组& b, c).综上所述，满足条件的正整数组的个数为572

21、+2 574,二、解答题；本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤.9 .(本题满分16分)设不等式|2"-4<|5-2对所有丘I. 2成立，求实 数。的取值范圉.解；设，=21则在2 4,于是|/< 5 1|对所有/£工4成立,由于 |f-a|<|5-/|<(r-a)2 <(5-r)2O (21 一 5)(5 a) < 0 .g分对给定实数“，设/= (2f a 5)(5a),则/是关于的一次函数或常 值函数.注意七2 4,因此/)<0等价于7(4) = (3-4(5-)<0, 解得3< a

22、<5.16分所以实数口的取值范围是3 < a < 5 .10 .本题满分20分设数列泣J是等差数列，数列也满足 a=。川"2一4%=12一<i）证明;数列也;也是等差数列；<2）设数列5、色的公差均是2工0,并且存在正整数s, /,使得q+女 是整数，求同的最小值.解：（1）设等差数列他J的公差是d,则4+k - a=（%+±%+3 一 口，j 一（。,川*-2 -<）=凡+式q+3 - 4+1）一（4 + i +%）（%+%）=生+2,2£/ 一（"7 十 %）"二（2%.2q 用-4）3 =3胪 所以数列

23、依也是等差数列.5分<2）由已知条件及（1>的结果知因为二0,故"二L这样32 =-：=（% + d）（4 + 2d）-"：=3d% + 2/ =（i + .10 分n"9若正整数S,f满足 一4FZ,贝1 22凡+也=4 + q + 7；=仆+（，-1必 + +。一10+了=2% +*记/ = 2%+史手工+1则/ez,且1防=3（3/-S - + D+1是一个非零的15分20分整数+ &|18a.|>b从而心1|7又当.=时，有+ 1 =1- = 1 G Z .1818 18综上所述，同的最小值为今11.（本题满分20分）在平面直角坐

24、标系工0：中，曲线C：/=4x,曲线 Q:（x-4-十/ =8.经过C上一点尸作一条倾斜角为45。的直线/,与仁交于两 个不同的点0.R,求归Q|.|PR|的取值范围.解；设以5,2/1,则直线，的方程为尸=,丫十2/-，代入曲线。2的方程得， （.v-4）2 + （x + 2/-/2）z=8,化简可得2/ - 2（产一 2, + 4）.v + （/一 27）2 +8 = 0.由于，与G交于两个不同的点，故关于支的方程的判别式为正.计算得，3 =（产-2/+4）2一2（/-2。2 + 8）=（/一2厅一8（-2。+16 2（/一力）2 164二一（2。: + 8（产2/）=-（r- 2a（一

25、2/-8） = -/（/ -2）（/ + 2）（，- 4）,因此有/（-2,0）11（2,4）.10分10万设0,火的横坐标分别为对电，由知，X + 士 =厂-2, + 4, 天天(广27 + 8),2 因此，结合,的倾斜角为45。可知，|尸-|依1 =应(为一，“区一/2) = 2亢出一2J6十£)十2rl =(r-2/)2+8-2r(r -2/ + 4)+ 2t4 二广 一 4/ 3 + 4r2 + g 214 + 4, ； 一 8/十 2 J =4/+8 =(产-2)2+4.15分 由可知，产一 2 E (-2. 2)11(2,14),故(产- 2)醍0, 4)11(4,196

26、)，从而由得，伊加仍川=俨2)十4H4,8)1)(8,200).20分注1：利用g的圆心到/的距离小于g的半径，列出不等式 什沪1 < 20 , 同样可以求得中，的范围，注2：更简便的计算|尸5PM的方式是利用圆塞定理.事实上，G的圆心为 "(40),半径为r = 2亚,故PPR = PM -r1 = (r - 4尸 +(2/ 72扬2 = t4 -4/2 十8 .2017年全国高中数学联合竞赛加试(B卷) 参考答案及评分标准说明：1 .评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分.2 .如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可 参考本评分标准适当划

27、分档次评分,10分为一个档次.不得埔加其他中间档次一、(本题濡分40分)设实数°,用c满足“ + b + c=0 ,令4 = max|M，»|,|c| . 证明：|(1+砍1 +狈+啪1-证明：当421时，不等式显然成立.10分以下设不妨设4, b不异号，即凉>之0,那么有(1 +。)(1 + />) = + a-vb+ab>ab= -c> 1J > 0 .20分闪此+川+与。+0)住 Ki 一。(1+。)|=1 -=1 一固？ 1 一/.40分二、（本鹿满分40分）给定正整数小，证明：存在正整数A ,使得可将正整 数集N.分拆为A个互不相交的

28、子集,4,每个子集4中均不存在4个数 a,b,c,d （可以相同）,满足ab-cd = m.证明：取 A = +1,令 4 = xx = / （mod/w +1）, x w N J , i = 1,2,，小 +1.20分设a,Ac,de4，则ah - cd 三 i - =0（mod m + l）,故 i + l|ab-cd,而小+ 11m，所以在4中不存在4个数4,“c,d,满足ab - cd = m 40 分三、（本H满分5。分）如图，点。是锐角力SC的外接圆上弧BC的中 点，直线D4与圆卬过点用C的切线分别相交于点P,。，50与4C的交点为X, CP与的交点为y , BQ与CP的交点为7求证：47平分线段AT.（答题时请将图画在答卷纸上）AV AV证明：首先证明四 8C,即证久=” XC YB所以连接8D,CO.因为SCQ Smbc 二 S