高三数学专题复习教案--不等式

1、2021 届高三数学专题复习不等式一、重点学问回忆1、 不等式的性质是证明不等式和解不等式的基础不等式的基本性质有：（1） 对称性： a>bb<a；（2） 传递性：如a>b， b>c，就 a>c；（3） 可加性： a>ba+c>b+c ；（4） 可乘性： a>b，当 c>0 时， ac>bc；当 c<0 时， ac<bc；不等式运算性质：（1） 同向相加：如a>b，c>d，就 a+c>b+d；（2） 异向相减： ab ， cdacbd .（3） 正数同向相乘：如a>b>0， c>d>

2、;0，就 ac>bd；（4）乘方法就：如a>b>0，nn +，就a nb n ；（5）开方法就：如a>b>0，nn +，就 n an b ；（6）倒数法就：如ab>0， a>b，就 11 ；ab2、基本不等式（或均值不等式）a 2b 2利用完全平方式的性质，可得a2+b 2 2ab（a， b r），该不等式可推广为a2+b 2 2|ab|；或变形为 |ab|；22当 a， b0 时， a+b 23、不等式的证明ab 或 abab.2（1） 不等式证明的常用方法：比较法，公式法，分析法，反证法，换元法，放缩法；（2） 在不等式证明过程中，应留意与不等式的

3、运算性质联合使用；（3） 证明不等式的过程中，放大或缩小应适度；4、 不等式的解法解不等式是查找使不等式成立的充要条件，因此在解不等式过程中应使每一步的变形都要恒等；一元二次不等式（组）是解不等式的基础，一元二次不等式是解不等式的基此题型；一元二次不等式与相应的函数，方程的联系求一般的一元二次不等式ax2bxc0 或 ax 2bxc0 a0 的解集， 要结合ax 2bxc0 的根及二次函数yax2bxc 图象确定解集对于一元二次方程ax2bxc0a0，设b 24，a它c的解按照0，0可分为三种情形 相应地，二次函数yax2bxc a0 的图象与 x 轴的位置关系也分为三种情形因此，我们分 三

4、种 情 况 讨 论 对 应 的 一 元 二 次 不 等 式ax2bxc0 a0 的解集，列表如下：含参数的不等式应适当分类争论；5、不等式的应用相当广泛，如求函数的定义域，值域，争论函数单调性等；在解决问题过程中，应当善于发觉详细问题背景下的不等式模型；用基本不等式求分式函数及多元函数最值是求函数最值的初等数学方法之一；争论不等式结合函数思想，数形结合思想，等价变换思想等；6、线性规划问题的解题方法和步骤解决简洁线性规划问题的方法是图解法，即借助直线 （线性目标函数看作斜率确定的一族平行直线）与平面区域 （可行域） 有交点时，直线在 y 轴上的截距的最大值或最小值求解；它的步骤如下：（ 1）设

5、出未知数，确定目标函数；（ 2）确定线性约束条件，并在直角坐标系中画出对应的平面区域，即可行域；（ 3）由目标函数z ax by 变形为 yb 是常数， z 随 x， y 的变化而变化） ；a x z ，所以， 求 z 的最值可看成是求直线ybba x z 在 y 轴上截距的最值 （其中 a、bb（ 4）作平行线：将直线ax by 0 平移（即作ax by 0 的平行线），使直线与可行域有交点，且观看在可行域中使小）时所经过的点，求出该点的坐标；（ 5）求出最优解：将（4）中求出的坐标代入目标函数，从而求出z 的最大（或最小）值；7、确定值不等式（ 1） x a（ a0）的解集为： x a x

6、 a ；x a（a 0）的解集为： x x a 或 x a ；z最大（或最b（2） | a| b| | ab | | a|b |二、考点剖析考点一 ：不等关系与不等式【内容解读 】养成推理必有依据的良好习惯，不要想当然，不要错漏不等式性质使用的条件，如ab0 ， nna nb n 中，留意后面大于的条件，出题者往往就在这里出一些似是而非的题目来困惑考生【命题规律 】高考中，对本节内容的考查，主要放在不等式的性质上，题型多为挑选题或填空题，属简洁题；例 、设a, br ，如 ab0 ，就以下不等式中正确选项（）a ba0b. a 3b 30c. ba0d. a 2b 20解：由 ab0 知,ab

7、b ,所以 ba0 ,应选 c.点评：此题考查确定值的概念和确定值的性质，假如用特殊值法也能求解；例 2、已知a , b 为非零实数，且ab ，就以下命题成立的是222211baa 、 abb 、 a babc、2abd、a 2bab解：取 a 3， b，由（） （）（）都错，故（c ） ；点评：特殊值法是解挑选题的一种技巧，在应试时要时刻牢记有这么一种方法；这里a ，b 没有说明符号，留意不要错用性质；【命题规律】高考中，对本节内容的考查，主要放在不等式的性质上，题型多为挑选题或填空题，属简洁题；例 3、2021 广东 设 a,br ，如 ab0 ，就以下不等式中正确选项（）a ba033b

8、. ab0c. ba022d. ab0解：由 ab0 知,abbba,所以0 ,应选 c.点评：此题考查确定值的概念和确定值的性质，假如用特殊值法也能求解；例 4、2007 上海理科 已知a, b 为非零实数，且ab ，就以下命题成立的是222a bab211ba22a 、 abb 、 a babc、 abd、解：取 a 3，b，由（） （）（）都错，故（c）；点评：特殊值法是解挑选题的一种技巧，在应试时要时刻牢记有这么一种方法；这晨a，b 没有说明符号，留意不要错用性质；考点二 ：一元二次不等式及其解法【内容解读 】会从实际情形中抽象出一元二次不等式的模型，明白一元二次不等式与函数方程的联系

9、；会解一元二次不等式，会由一元二次不等式的解求原不等式；用同解变形解不等式，分类解不等式；对解含参的不等式，对参数进行争论；留意数形结合，会通过函数图象来解不等式（1）用图象法解一元二次不等式教材中在争论一元二次不等式的解法时，是结合二次函数的图象，利用对应的一元二次方程的解得出的，所以我们学习一元二次不等式的解法时，应从二次函数图象动身加以懂得2（2）弄清一元二次方程、二次函数、一元二次不等式三者之间的关系二次函数yaxbxca0 是争论自变量x 与函数值 y 之间的对应关系，一元二次方程的解就是自变量为何值时，函数值y0 的这一情形；而一元二次不等式的解集是自变量变化过程中，何时函数值y0

10、 （y 0 ）或 y0 （ y 0 ）的情形一元二次方程ax2bxc0a0 的解对争论二次函数yax2bxc a0 的函数值的变化是非常重要的，由于方程的两根x1， x2是函数值由正变负或由负变为正的分界点，也是不等式解的区间的端点学习过程中，只有搞清三者之间的联系，才能正确熟识与懂得一元二次不等式的解法【命题规律 】高考命题中，对一元二次不等式解法的考查，如以挑选题、填空题显现，就会对不等式直接求解，或常常地与集合、充要条件相结合，难度不大；如以解答题显现，一般会与参数有关，或对参数分类争论，或求参数范畴，难度以中档题为主；例 5、不等式 x2x 的解集是（）a ，0b 0，1c 1，d ，

11、01，解：原不等式可化为x2 x，即 x （x），所以x 或 x，选（） 点评：这是一道很简洁的一元二次不等式的试题，只要知道它的解法即可例 6 、 “ x2 ”是“ x2x60 ”的什么条件（）a 充分而不必要b 必要而不充分c充要d 既不充分也不必要解：由 |x 2，得： 2x 2，由 x2x60 得： 2 x3，2 x 2 成立，就 2x3 肯定成立，反之就不肯定成立，所以，选（）；点评：此题是不等式与充分必要条件结合的综合考查题，先解出不等式的解集来，再由充分必要条件的判定方法可得；例 7、不等式2x2 2 x41的解集为22解：原不等式变为22x2 x 42 1 ，由指数函数的增减性

12、，得：x2x41 x3x10x3,1 ，所以填： 3,1 ；点评：不等式与指数函数交汇、不等式与对数函数交汇、不等式与数列交汇是常常考查的内容，应加强训练；例 8、已知集合ax|x25x4 0， bx | x22axa2 0，如 ba ，求实数 a 的取值范畴解： ax | x25x4 0x |1 x 4 设 f xx 22axa2 ，它的图象是一条开口向上的抛物线（1）如 b，满意条件，此时0 ，即4a 24a20 ，解得1a2 ；（2）如 b，设抛物线与x 轴交点的横坐标为x1， x2 ，且 x1 x2 ，欲使 ba ，应有x| x1 x x2x| 1x 4 ，f 1 0，12aa2 0，

13、结合二次函数的图象，得f 4 0，2a428aa即2 0，解得 2 a 18 综上 a 的取值范畴是181，1 4，1 a 4，772 0，4a 24a2 0，点评：此题是一元二次不等式与集合结合的综合题，考查含参数一元二次不等式的解法，留意分类争论思想的应用，分类时做到不遗漏；【命题规律】高考命题中，对一元二次不等式解法的考查，如以挑选题、填空题显现，就会对不等式直接求解，或常常地与集合、充要条件相结合，难度不大；如以解答题显现，一般会与参数有关，或对参数分类争论，或求参数范畴，难度以中档题为主；例 9. 设 fx 1logx 3，gx 2log x2，其中 x0， x1比较 fx 与 gx

14、 的大小 .解： 1x 2 y2x y x2 y2 x y2aabb abba变式训练 1： 不等式 log 2x+3x2 1 的解集是 .3答案： x| x 3 且 x1,x 0；22x3102x313解析 ：或22,x,11,00,3 ；20x2x3x2x3例 2. 设 fx 1 logx3， gx 2log x2，其中 x0，x1比较 fx 与 gx 的大小 .解： 当 0x 1 或 x4 时， fxgx ； 当 1x34 时， fx gx；当 x 34 时， fx gx. 3变式训练 2： 如不等式 1n a2 1) n 1对于任意正整数n 恒成立，就实数a 的取值范畴是.例 3. 函

15、数f x ax2 bx 满意： 1f n1 2，2 f 1 4，求 f 2) 的取值范畴解：由 f x ax2 bx 得f 1 ab，f 1 a b，f 2 4a2b； a1f 1 f1 ； b21f 1 f 12就 f2 2f 1 f 1 f 1 f 1 3f 1 f 1由条件 1f1 2， 2f 14可得 3×1 23f1 f1 3×24；得 f 2 的取值范畴是5f 2 10.变式训练 3：如 1 3， 4 2，就 |的取值范畴是.解： 3， 3例 4. 已知函数 f x x2 axb，当 p、q 满意 pq 1 时，试证明：pf x qf yf px qy对于任意实

16、数x、y 都成立的充要条件是op1.2证明 ： pf x qf y f px qy pqx y 2p1 px y 2充分性：当0p1时，p1p xy 02从而 pf xqf yf pxqy 必要性：当pf x qf y f pxqy 时，就有p1p xy 0，又 xy 2 0，从而p1p 0，即 0 p1综上所述，原命题成立变式训练 4： 已知 a bc， abc 0，方程 ax2bx c 0 的两个实数根为x 1、x21 证明：1 b 1；2a2 如 x 2 x 1x2 x 2 1，求 x 2 x1 x2 x 2 ；12123 求| x 2 x 2 |12解： 1 a bc， ab c 0，

17、 3a ab c，a b a b， a0， 1 b1bx2aa 1b12ax122（方法 1） abc 0 ax2 bx c0 有一根为1，不妨设 x11，就由2x1 x221可得x 2 x 2 10, 而 x2x 1x 2c a03cabc0 ， x2 1， x 2x1 x2x 23方法 2 xxb , x xc 由 x 2x xx 2 xx 2x x2221bcb abb2b11 ， bb0,121 222aa11 22121 2a 2aa2aa2aa2a1b1,2ab0, 2x1ax1 x 221x1x 22x22 x1 x212x1x 212ab3 axx3 由2 知，22c2xx1a

18、b 21b211 1b12 ， 1 b1 24 3 b1 213 x2x20, 312a2a 2a122a4a4a归纳小结1不等式的性质是证明不等式与解不等式的重要而又基本的依据，必需要正确、娴熟地把握，要弄清每一性质的条件和结论留意条件的放宽和加强，条件和结论之间的相互联系2使用 “作差 ”比较，其变形之一是将差式因式分解，然后依据各个因式的符号判定差式的符号；变形之二是将差式变成非负数（或非正数）之和，然后判定差式的符号3关于数 式比较大小，应当将“相等 ”与“不等 ”分开加以说明，不要笼统地写成“ a b或考点三 ：简洁的线性规划b a ”【命题规律 】线性规划问题时多以挑选、填空题的形

19、式显现，题型以简洁题、中档题为主，考查平面区域的面积、最优解的问题；随着课改的深化，近年来，以解答题的形式来考查的试题也时有显现，考查同学解决实际问题的才能；x 0例 7、如 a 为不等式组y0表示的平面区域，就当a 从 2 连续变化到1 时，动直线xya扫过 a 中的那部分区域的y x2面积为3a 47b 1c4d 5解：如图知区域的面积是oab 去掉一个小直角三角形；1（阴影部分面积比1 大，比s oab222 小,应选 c,不需要算出来）2点评：给出不等式组，画出平面区域，求平面区域的面积的问题是常常考查的试题之一，假如区域是不规节图形，将它分割成规节图形分别求它的面积即可；例 8、如变

20、量 x,y 满意2xyx2yx 0,y 0,40,50,，就 z=3x+2y 的最大值是a 90b. 80c. 70d. 403z3解:做出可行域如下列图.目标函数化为： yx，令 z，画 y x ，及其平行线，如右图，当它经过两直线的交点时，取得取大值；2xy解方程组x2 y40x,得50y10.所以2022zmax310220270 ,故答 c.点评：求最优解，画出可行域，将目标函数化为斜截式，再令z ，画它的平行线，看y 轴上的截距的最值，就是最优解；例 9、本公司方案2021 年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300 分钟的广告，广告总费用不超过9 万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别

21、为 500 元/分钟和 200 元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司事来的收益分别为0.3 万元和 0.2万元问该公司如何安排在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？xy 300，解：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x 分钟和 y 分钟，总收益为z 元，由题意得500 x200 y 90000，目标函数为z3000 x2000 y y500x 0， y 0.xy 300，400二元一次不等式组等价于5 x2 y 900，x 0， y 0.作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域如图：300l200m作直线l :300

22、0 x2000 y0 ，即 3 x2 y0 100平移直线 l ，从图中可知，当直线l 过 m 点时，目标函数取得最大值xy300，联立解得 x100， y200 点 m 的坐标为 100，200 0100200 300x5x2 y900.zmax3000x2000y700000（元）答：该公司在甲电视台做100 分钟广告，在乙电视台做200 分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70 万元点评 ：用线性规划的方法解决实际问题能提高同学分析问题、解决问题的才能，随着课改的深化，这类试题应当是高考的热点题型之考点四：基本不等关系【内容解读】明白基本不等式的证明过程，会用基本不等式解决简洁的最值问题

23、，懂得用综合法、分析法、比较法证明不等式；利用基本不等式可以求函数或代数式的最值问题：（1）当 a， b 都为正数，且ab 为定值时，有ab 2ab （定值），当且仅当 ab 时，等号成立，此时ab 有最小值；（2）当 a， b 都为正数，且ab 为定值时，有ab ab 24（定值），当且仅当ab 时，等号成立，此时ab 有最大值创设基本不等式使用的条件，合理拆分项或配凑因式是常常用的解题技巧，而拆与凑的过程中，一要考虑定理使用的条件（两数都为正）；二要考虑必需使和或积为定值；三要考虑等号成立的条件（当且仅当a=b 时，等号成立） ，它具有肯定的敏捷性和变形技巧，高考中常被设计为一个难点【命题

24、规律】 高考命题重点考查均值不等式和证明不等式的常用方法，单纯不等式的命题，主要显现在挑选题或填空题，一般难度不太大；rx+例 10、（上海理）已知 x， y，且4 y1 ，就 xy 的最大值是1xyx 4 y1x4 y 211解：44216，当且仅当x=4y=2 时取等号 .例 1、（2021 浙江） 已知 a0, b0,且ab2,就（）ab11ab2222(a) 2(b) 2(c) ab2(d) ab3解：由 a0, b0 ,且 ab2 ，4ab2a2b22ab2a 222b22 ；b a，点评：本小题主要考查不等式的重要不等式学问的运用；y2例 2、2021 江苏 已知x, y, zr，

25、 x2 y3 z0 ，就xz 的最小值0x3zy2x29 z26 xz6 xz6 xz解：由 x2 y3 zy2，代入xz 得4 xz4 xz3，当且仅当x 3 z时取“”得点评：本小题考查二元基本不等式的运用题目有有三个未知数，通过已知代数式，对所求式子消去一个未知数，用基本不等式求解；例 13 设 a、br，试比较a b ，ab ，2a2b 22，2的大小11ab+1112ab 2a 2b22aba2b 2a2b2解： a、br ，a2即b ab ；1a ab ，当且仅当a b 时等号成立又1244ba2b2 22 ab 2aba 2b 222；当且仅当 a b 时等号成立而ab ab22

26、于是 ab 112ab2 ab 2ab 当且仅当 a b 时取 “”号2b2说明：题中的1a、ab 、1b、a分别叫做正数的调和平均数，几何平均数，算术平均数，平方平均数也可取特殊值，得22出它们的大小关系，然后再证明a b2a2b2练习 1：（ 1）设a, br ，已知命题p : ab ；命题 q :，就 p 是 q 成22立的（）a 必要不充分条件b 充分不必要条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件222abab解：b.解析：ab 是等号成立的条件.22222（2）如a,b, c 为 abc 的三条边，且sab c , pabbcac ，就（）a s2 pbps2 pc spd ps2

27、p解： d解析：spa2b 2c2abbcac1 ab22bc2ac2 0,sp ，又 | ab |c,| bc |a,| ac |b,a 22abb 2c2 , b22bcc 2a 2 , a22acc2b 2 a2b2c22abbcac,s2 p ；（3）设 x > 0, y > 0, axy, b1xyx1x1y， a 与 b 的大小关系（）ya a >bb a <bcabd ab解：b；解析： axyxyxy；1xy1xy1xy1x1y（4） b 克盐水中，有a 克盐（ ba0 ），如再添加m 克盐（ m>0 ）就盐水就变咸了，试依据这一事实提炼一个不等式

28、.a am解：b bm解析 :由盐的浓度变大得2. 已知 a， b，x，y r+（ a， b 为常数）， axb1 ，求 x y 的最小值 . y解：ab2ab变式训练 2：已知 a， b，x ，yr+（a，b 为常数），a b10，axb1 ，如 x y 的最小值为18，求 a， b 的值ya2，a8，解：或b8，b2.例 3. 已知 a, b 都是正数，并且ab，求证： a5 + b5 > a2b3 + a3b2解：证： a5 + b5 a2b3 + a3 b2 = a5a3b2 + b 5a2b3 = a3 a2b2 b3 a2b2 = a2b2 a3b3= a + bab2a2

29、+ ab + b 2a, b 都是正数， a + b, a2 + ab + b2 > 0；又 ab， ab2 > 0 a + bab2a2 + ab + b2 > 0即： a552 33 2+ b > a b + a b变式训练 3： 比较以下两个数的大小：（1）2（2） 21与23；3与65 ；（3）从以上两小项的结论中，你否得出更一般的结论？并加以证明解：（1）2123 ,（ 2） 2365（3）一般结论：如nn 就n1nn3n2 成立证明欲证n1nn3n2 成立；只需证1n1n1n3n2也就是n1nn3n2（）nnn1n3 ,nn2；从而（ * ）成立，故n1nn

30、3n2nn例 4. 甲、乙两地相距s（千米），汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度最大不得超过c（千米 /小时）已知汽车每小时的运输成本（元）由可变部分与固定部分组成可变部分与速度v （千米 /小时）的平方成正比，且比例系数为正常数b；固定部分为a 元(1) 试将全程运输成本y 元表示成速度v 千米 /小时 的函数 .(2) 为使全程运输成本最省，汽车应以多大速度行驶？解: 1 依题意得，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为s , 全程运输成本为y as bv 2s s a bv，故所求函数及其定义域为ys a bvv 0,c v··vvvvr2 s、a、b、v +，故 s a b

31、v 2s ab当且仅当a bv 时取等号，此时va如a c即 v bvvba 时，全程运输成本最小b如a >c，就当 v0， c时， bysa bv s a bcs c vabcvvcvcc v0，且 a>bc 2 ，故有 abcvabc2 >0 s a bv sa bc，且仅当 v c 时取等号，即v c 时全程运输成本最小vc变式训练 4： 为了通过运算机进行较大规模的运算，人们目前普遍采纳以下两种方法：第一种传统方法是建造一台超级运算机此种方法在过去曾被普遍采纳但是人们逐步发觉建造单独的超级运算机并不合算，由于它的运算才能和成本的平方根成正比另一种比较新的技术是建造分布

32、式运算机系统它是通过大量使用低性能运算机也叫工作站 组成一个运算网络这样的网络具有惊人的运算才能，由于整个网络的运算才能是各个工作站的效能之和假设运算机的运算才能的单位是mips 即每秒执行百万条指令的次数，一台运算才能为6000mips 的传统巨型机的成本为100 万元； 而在分布式系统中，每个工作站的运算才能为300mips ，其价格仅为5 万元需要说明的是，建造分布式运算系统需要较高的技术水平，初期的科技研发及网络建设费用约为600 万元请问：在投入费用为多少的时候，建造新型的分布式运算系统更合算？解： 设投入的资金为x 万元，两种方法所能达到的运算才能为y1 , y2 mips ，就

33、y1k1x 把 x100 ， y16000代入上式得 k1600 ，又 y2k2 x600 ，当 x6005 时， y2300代入上式得 k260 ，由 y2 y1 得 60x600 600x ，即 x10x6000，解得 x 900万元 答：在投入费用为900 万元以上时，建造新型的分布式运算系统更合算；归纳小结1在应用两个定理时，必需熟识它们的常用变形，同时留意它们成立的条件2在使用 “和为常数、积有最大值”和“积为常数、和有最小值”这两个结论时，必需留意三点：“一正 ”变量为正数， “二定 ”和或积为定值， “三相等 ”等号应能取到，简记为“一正二定三相等 ”考点五 ：确定值不等式【内容

34、解读 】把握确定值不等式x a， x a（a 0）的解法，明白确定值不等式与其它内容的综合；【命题规律 】本节内容多以挑选、填空题为主，有时与充分必要条件相结合来考查，难度不大；考点六 ：不等式的综合应用【内容解读 】用不等式的性质、基本不等式、一元二次不等式等内容解决一些实际问题，如求最值，证明不等式等；【命题规律 】不等式的综合应用多以应用题为主，属解答题，有肯定的难度；例 14、（江苏模拟）如图，某单位用木料制作如下列图的框架,框架的下部是边长分别为x, y 单位 :米的矩形 ,上部是斜边长为 x 的等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8 平方米 .（）求x, y 的关系式，并求x 的

35、取值范畴；（）问x, y 分别为多少时用料最省.解：（）由题意得：xy1 xx8 x0, y0,22y8x ,x 4（）设框架用料长度为l ，31 6就 l2 x2 y2x2 x2x4642842.3当且仅当（22） x16 , xx842 , y22,满意 0x42.答：当x842 米， y22 米时，用料最少.点评：此题考查利用基本不等式解决实际问题，是面积固定，求周长最省料的模型，解题时，列出一个面积的等式，代入周长所表示的代数式中，消去一个未知数，这是常用的解题方法；例 15、某化工企业2007 年底投入 100 万元，购入一套污水处理设备该设备每年的运转费用是0.5 万元，此外每年都

36、要花费肯定的保护费，第一年的保护费为2 万元，由于设备老化，以后每年的保护费都比上一年增加2 万元（1）求该企业使用该设备x 年的年平均污水处理费用y （万元）；（2）问为使该企业的年平均污水处理费用最低，该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备？解：（ 1） y1000.5 x246x1002 x即 yx1.5 （ xx0 ）；（ 2）由均值不等式得：y x100 x1001.52x 100x1.521.5（万元）当且仅当x，即 xx10 时取到等号答：该企业10 年后需要重新更换新设备内容解读】用不等式的性质、基本不等式、一元二次不等式等内容解决一些实际问题，如求最值，证明不等式等；【命题

37、规律】不等式的综合应用多以应用题为主，属解答题，有肯定的难度；考 点 七 ： 不 等 式 的 证 明 （ 一 ） 1比较法是证明不等式的一个最基本的方法，分比差、比商两种形式1 作差比较法，它的依据是：ab0abab0abab0ab它的基本步骤：作差 变形 判定，差的变形的主要方法有配方法，分解因式法，分子有理化等2 作商比较法，它的依据是：如a >0 ， b >0，就a1ab ba1abba1abb它的基本步骤是：作商 变形 判定商与 1 的大小它在证明幂、指数不等式中常常用到2 综合法：综合法证题的指导思想是“由因导果 ”，即从已知条件或基本不等式动身，利用不等式的性质，推出要

38、证明的结论3 分析法：分析法证题的指导思想是“由果索因 ”，即从求证的不等式动身，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，假如能够确定这些充分条件都已具备，那么就可以判定所要证的不等式成立典型例题例 1. 已知 a0, b0 ，求证：ababba证法 1：abab a 3b 3ab ab ab a 22 ab b 2 ab ab 2baabababab>0，ab >0 ， ab 20a bab ab) 0a b即abb aa bb aa 3b 3ababab 2ab证法 2：abab ab 11abababba故原命题成立，证毕变式训练 1

39、： 已知 a、b、x 、yr +且1 1 ，x y. ab求证：xyxayb解：证法一 ： 作差比较法 xybxay，又 1 1 且 a、br +， ba0. 又 x y 0， bx ay.xayb（xa）（ yb）abbxay0，即xy.（ xa）（ yb）xayb证法二： 分析法 x、y、a、b r+，要证xy， 只需证明 xy+b yx+a ，即证 xb ya.xayb由 1 a1 0， ba 0. 又 x y 0，知 xb ya 明显成立 .故原不等式成立 . b例 2. 已知 a、br+，求证：ab ab122abb a 证明： ab2 ab，因此要证明原不等式成立，就只要证a b1

40、2ab 由于 ab12 ab 2 22 2a b0 22所以 ab12 ab 从而原不等式成立变式训练 2： 已知 a、b、cr，求证： a2b2证明：左边右边c24ab3b2c a2b2c24ab3b2c12 4a414b224c 21624ab12b28c 2ab4a 2b 23b2c 24ab4c1 03b2c例 3. 已知 abc 的外接圆半径r1， sabc1， a 、 b 、 c 是三角形的三边，令sab41c ， ta11求证： tsb c证明：s abc1ab sin c21 cab2 2rabc 4r又 r1， s1abc4abc1sabc111bccaab111111bccaab 222111tabcst但 ttss 的条件是 abc 1 ，此时s abc3 与已知冲突4变式训练 3： 如 a,b, c 为 abc 的三条边，且sa2b2c2 , pabbcac ，就（）a s2 pb ps2 pc spd ps2 p答案 :d 解析：spa 2b2c2 abbcac1 ab22bc 2ac2