高三数学知识点精析精练15直线

1、学问点大全2021 高三数学学问点精析精练15：直线【复习要求】1.对直线方程中的基本概念，要重点把握好直线方程的特点值主要指斜率、 截距 等问题；直线平行和垂直的条件；与距离有关的问题等.2.对称问题是直线方程的一个重要应用，中学里面所涉及到的对称一般都可转化为点关于点或点关于直线的对称.中点坐标公式和两条直线垂直的条件是解决对称问题的重要工具.3.线性规划是直线方程的又一应用 .线性规划中的可行域，实际上是二元一次不等式 组 表示的平面区域 .求线性目标函数 z=ax+by 的最大值或最小值时，设 t=ax+by,就此直线往右 或左平移时， t 值随之增大 或减小 ，要会在可行域中确定最优

2、解 .4. 由于一次函数的图象是一条直线，因此有关函数、数列、不等式、复数等代数问题往往借助直线方程进行，考查同学的综合才能及创新才能.【复习要点】【例题】【例 1】已知点 b（ 1，4）， c（ 16， 2），点 a 在直线 x 3y 3 = 0 上，并且使abc的面积等于21，求点 a 的坐标；解：直线bc方程为 2x 5y 22 = 0,| bc| =29 ，设点 a 坐标 3y 3,y，就可求a 到 bc的距离为|11y28 | ，abc 面积为 21， 129292| 11y28 |2921， y70 或14 ，故点 a 坐标为（177 , 70）或（75 ,14 ） .111111

3、111111【例 2】已知直线l 的方程为3x+4y 12=0, 求直线 l 的方程 , 使得：(1) l 与 l 平行 , 且过点 1,3 ;(2) l 与 l 垂直 , 且 l 与两轴围成的三角形面积为4.解：1 由条件 , 可设 l 的方程为3x+4y+m=0, 以 x= 1, y=3 代入 ,得 3+12+m=0, 即得 m= 9, 直线 l 的方程为3x+4y9=0;nn2 由条件 , 可设 l的方程为4x 3y+n=0, 令 y=0, 得 x, 令 x=0, 得4y3 , 于是由三角形面积 s12nn4 , 得 n2=96, n4643直线 l 的方程是 4x3 y460或 4x3

4、y460【例 3】过原点的两条直线把直线2x 3y 12 = 0 在坐标轴间的线段分成三等分，求学问点大全这二直线的夹角；解：设直线2x3 y 12 = 0 与两坐标轴交于a， b 两点， 就 a（ 0， 4）， b（6， 0），设分点c，d，设cod为所求角； bcca2 ，6xc12y042c12x00262， c（ 2， 8 ） .8334又 addb2 ，12y0412， d4, 4 ， 433koc413 , kod3 . tg41| kockod|339 ，arctg9 .1k oc kod141131333【例 4】圆 x2 y2 x 6y c = 0 与直线 x 2y3 = 0

5、 相交于 p,q 两点 ,求 c 为何值时,opoqo 为原点 .12解：解方程组消x 得 5y220y 12 c = 0, yy1 125c ,12消 y 得 5x2 10x 4c27 = 0, xx1 4c527 , opoq, y1y 2x1x21 , 12c54c275，解得 c = 3.【例 5】已知直线 y = 2x b 与圆 x2 y2 4x 2y15 = 0 相切 ,求 b 的值和切点的坐标.解：把 y = 2x b 代入 x2 y2 4x 2y15 = 0,整理得 5 x24b 2x b22 b 15 = 0,令= 0 得 b = 7 或 b =13,方程有等根，x2 b52

6、，得 x = 2 或 x = 6，代入 y = 2x 7 与 y = 2x 13 得 y = 3 或 y = 1，所求切点坐标为（2， 3）或（ 6， 1） .【例 6】已知 |a| 1,|b| 1,|c| 1,求证： abc+2 a+b+c.证明：设线段的方程为y=f x= bc 1x+2 b c,其中 |b| 1,|c| 1,|x| 1,且 1 b 1.f 1=1 bc+2 b c=1 bc+1 b+1 c 0 f1= bc 1+2 b c=1 b1 c 0学问点大全线段 y=bc 1x+2b c 1 x 1在 x 轴上方，这就是说，当|a | 1,|b| 1,|c| 1 时，恒有 abc

7、+2 a+b+c.【例 7】某校一年级为协作素养训练，利用一间教室作为同学绘画成果展览室，为节省经费，他们利用课桌作为展台，将装画的镜框放置桌上，斜靠展出，已知镜框对桌面的倾斜角为 90° 180° 镜框中， 画的上、 下边缘与镜框下边缘分别相距a m,b m, a b.问同学距离镜框下缘多远看画的成效正确？解：建立如下列图的直角坐标系， ao 为镜框边， ab 为画的宽度， o 为下边缘上的一点，在 x 轴的正半轴上找一点 cx,0 x 0, 欲使看画的成效正确，应使 acb 取得最大值 .由三角函数的定义知：a、b 两点坐标分别为acos,asin 、bcos ,bsi

8、n ,于是直线ac、bc 的斜率分别为：kac=t anxca=a sin ,a cosbcktan xcbxbsin .b cos x于是 tanacb=k bck ac abx sin absin 1k bck acabab x cos x2abx xabcos由于 acb 为锐角，且x 0,就 tanacb absin ,当且仅当ab =x，即 x=ab2ab ab cosx时，等号成立， 此时 acb 取最大值， 对应的点为cab ,0,因此，同学距离镜框下缘abcm处时，视角最大，即看画成效正确.【例 8】 预算用 2000 元购买单件为 50 元的桌子和 20 元的椅子，期望使桌椅

9、的总数尽可能的多，但椅子不少于桌子数，且不多于桌子数的 1.5 倍，问桌、椅各买多少才行？ 解：设桌椅分别买 x,y 张，把所给的条件表示成不等式组，即约束条件50 x为yx20 y2000由50 x20 y2000x, 解得2007y1.5 xyxx0, y0y2007a 点的坐标为 200 ，7200 7由50 x y20 y1.5x2000x25,解得75y2学问点大全b 点的坐标为 25，75 2所以满意约束条件的可行域是以a200 ， 200 ，b25， 75 ，o0，7720为顶点的三角形区域如右图 75由图形直观可知， 目标函数z=x+y 在可行域内的最优解为25，2但留意到x

10、n,y n* ,故取 y=37.故有买桌子25 张，椅子 37 张是最好挑选 .【例 9】已知甲、 乙、丙三种食物的维生素a、b 含量及成本如下表，如用甲、乙、丙三种食物各x 千克， y 千克， z 千克配成100 千克混合食物，并使混合食物内至少含有 56000 单位维生素a 和 63000 单位维生素b.甲乙丙维生素 a（单位 / 千克）600700400维生素 b（单位 / 千克）800400500成本（元 / 千克）（）用x， y 表示混合食物成本c 元；1194（）确定x， y， z 的值，使成本最低解：（）由题，c11x9 y4 z ，又xyz100 ，所以， c4007 x5 y

11、 （）由600x700y400z56000,及z100xy 得，4x6 y320，800x400y500z630003xy130所以，7 x5 y450.所以，c4007 x5 y400450850,4x6 y320x50当且仅当,即时等号成立3xy130y20所以，当x=50 千克， y=20 千克， z=30 千克时，混合物成本最低，为850 元点评 ：此题为线性规划问题，用解析几何的观点看，问题的解实际上是由四条直线所围成的y3x-y=130x0y04x6y3203xy130区域上使得c4007 x5 ym4x+6y=320最大的点不难发觉，应在点m （ 50，20）处取得x学问点大全【

12、直线练习 1】一、挑选题1020001设 m =1020011 , n110 20012021021，就 m 与 n 的大小关系为 1a.m nb.m=nc.m nd. 无法判定 2三边均为整数且最大边的长为11 的三角形的个数为a.15b.30c.36d. 以上都不对二、填空题3直线 2x y 4=0 上有一点p，它与两定点a4， 1， b3， 4的距离之差最大，就p点坐标是 .4自点 a 3，3发出的光线l 射到 x 轴上， 被 x 轴反射， 其反射光线所在直线与圆x2+y2 4x 4y+7=0 相切，就光线l 所在直线方程为 .5函数 f =sin cos1 的最大值为 ，最小值为 .2

13、6设不等式2x 1 mx2 1对一切满意 |m| 2 的值均成立，就x 的范畴为 . 三、解答题7已知过原点o 的一条直线与函数y=log 8x 的图象交于a、b 两点，分别过点a、b 作 y轴的平行线与函数y=log 2x 的图象交于c、d 两点 . 1证明：点c、d 和原点 o 在同始终线上.2当 bc 平行于 x 轴时，求点a 的坐标 .8设数列 an 的前 n 项和 sn=na+nn 1b， n=1,2,a、b 是常数且b 0.1证明： an 是等差数列 .学问点大全2证明：以 asn 1为坐标的点 p,n=1,2,都落在同一条直线上，并写出此直线的方程.nnn13 设 a=1,b=,

14、c 是以 r ,r 为圆心， r 为半径的圆 r 0，求使得点p1、p2、p3 都落在圆 c2外时， r 的取值范畴 .参考答案一、 1.解析：将问题转化为比较a 1， 1）与 b102001， 102000）及 c102002， 102001）连1线的斜率大小，由于b、c 两点的直线方程为y=10 n.答案： a2.解析：设三角形的另外两边长为x,y,就x，点 a 在直线的下方，kab kac ,即 m0x110y11xy11点x,y）应在如右图所示区域内当 x=1 时， y=11；当 x=2 时， y=10,11 ；当 x=3 时， y=9,10,11；当 x=4 时， y=8,9,10,

15、11;当 x=5 时， y=7,8,9,10,11.以上共有15 个， x,y 对调又有15 个，再加上 6，6）， 7， 7）， 8， 8）， 9， 9）， 10， 10）、11， 11）六组，所以共有36 个.答案： c二、 3.解析：找a 关于 l 的对称点a， a b 与直线 l 的交点即为所求的p 点.答案： p5， 6）4.解析：光线l 所在的直线与圆x2+y2 4x 4y+7=0 关于 x 轴对称的圆相切.答案： 3x+4y3=0 或 4x+3y+3=05.解析： f =sin cos1 表示两点 cos ,sin 与2,1连线的斜率 .2答案： 4036.解析：原不等式变为x2

16、 1m+1 2x 0,构造线段fm= x2 1m+1 2x, 2 m2,就 f 2 0,且 f2 0.答案：71x3122学问点大全三、 7.1 证明：设 a、b 的横坐标分别为x1、x2，由题设知x1 1,x2 1,点 ax1,log 8x1,bx2,log 8x2.由于 a、b 在过点 o 的直线上， 所以log 8 x1 x1log 8 x2 x2,又点 c、d 的坐标分别为x1,log2x1）、x2,log 2x2.由于 log2 x1=3log 8x1,log 2 x2=3log 8x2,就koclog 2 x1 x13log 8x1x1, kodlog 2 x2 x23log 8

17、x2x2由此得 koc =kod ,即 o、c、d 在同始终线上.2解：由 bc 平行于 x 轴，有 log 2x1=log 8x2,又 log2x1=3log 8x1x 2=x13将其代入log8 x1log 8 x2, 得 x 3log x =3xlog x ,x1x218 118 11由于 x1 1 知 log8x1 0,故 x3=3 x1x2=3 ,于是 a3 ， log83 .9.1证明：由条件，得a1=s1=a,当 n 2 时，有 an=snsn 1= na+nn 1b n 1a+n 1n 2b =a+2 n 1b.因此，当n2 时，有 anan 1= a+2 n 1b a+2n

18、2b =2b.所以 an 是以 a 为首项， 2b 为公差的等差数列.2证明： b 0,对于 n 2,有 sn1nan s111a1nan n aa2 n1ba1ban2n1b11b2全部的点pn an, sn 1 n=1,2,都落在通过p1a,a 1且以n1 为斜率的直线上.此直线2方程为 y a 1=1x a,即 x 2y+a 2=0.23解：当 a=1,b=1 时， p的坐标为 n, n2, 使 p1,0、p2,1 、p3,1都落在圆c 外n2的条件是12322r1 2r 2r1 2 rr3 2rr 21 22r21 2r 2r即 r 2r 21 25r 8r01704100由不等式 ,

19、得 r 1学问点大全由不等式，得r 5 2 或 r25 +22由不等式，得r 46 或 r 4+6再留意到r 0,15 2 46 =25+2 4+62故使 p1、p2、p3 都落在圆c 外时， r 的取值范畴是 0， 1 1, 5 2 4+6 ,+.2【直线练习 2】1 l1 的方程为 2xy30 ， l1 关于 x 轴对称的直线为l 2 ， l2 关于 y 轴对称的直线为l3 ，那么直线 l3 的方程为 ba x2y30b 2xy30c 2xy30d 2xy602与圆 x 2y24 x30 相外切，且与y 轴相切的动圆的圆心的轨迹方程是； y 26 x123已知定点a1,1， b3,3，点

20、p 在 x 轴上，且apb 取得最大值，就p 点坐标为（b）a 2，0b6，0c7 ，0 3d 4，0解： p 点即为过a、b 两点且与x 轴相切的圆的切点，设圆方程为xa 2 yb 2b 2a0, b0所以有21a22221bba623a3bbb04圆 x2y 2x0 上的点到直线x3 y30 的最知距离为（a）a 3b25c43d 944x 2y 25条件甲： 方程1 表示一双条双曲线，条件乙： m0且n0 就乙是甲的 （a）mna充分非必要条件b必要非充分条件c充要条件d既非充分又非必要条件 6设点 p 在有向线段的延长线上 ,点 p 分所成的比为, 就aa1b10学问点大全c 01d1

21、7假如 ac<0 且 bc<0, 那么直线ax + by +c = 0, 不通过 c a第一象限b其次象限c第三象限d第四象限8如点 4, m 到直线 4x3y1 的距离不大于3, 就 m 的取值范畴是ba 0, 10b 0,10c1 , 31d,010,339原点关于直线8x6y25 的对称点坐标为da2, 3b25 , 25c 3, 4d 4, 328610假如直线yax2 与直线 y3xb 关于直线y = x 对称 , 那么 aa a1 , b63b a1 ,b63c a = 3, b = 2d a = 3, b = 611已知直线l1 和l 2 的夹角的平分线为yx , 假

22、如 l1 的方程是 axbyc0ab0 ,那么 l 2的方程是 aa bxayc0b axbyc0c bxayc0d bxayc012假如直线ax2 y20与直线 3xy20 平行 , 那么系数a = b32a 3b 6cd2313两条直线a1 xb1 yc10,a2 xb2 yc20 垂直的充要条件是aa a1 a2a1 a2cb1b2b1 b20b a1 a2b1 b21da1 a2b1 b20114假如直线l 沿 x 轴负方向平移3 个单位 , 再沿 y 轴正方向平移1 个单位 , 又回到原先的位置, 那么直线l 的斜率是 a11ab 3c 33d 315设 a、b、c 分别是 abc 中,a、b、c 所对边的边长 , 就直线 sin a·xayc0与 bxsin b· ysin c0 的位置关系是 ca平行b重合c垂直d相交但不垂直16求与点a1, 2的距离等于4, 且到 x 轴的距离等于2 的点的坐标 :；（ 3, 2）学问点大全y217