高三数学立体几何经典例题

1、厦门一中立体几何专题一、挑选题 10×5 =50 1.如图 ,设 o 是正三棱锥p-abc 底面三角形abc 的中心，过 o 的动平面与p-abc 的三条侧棱或其延长线的交点分别记为 q、r、s，就1pq11prpsa. 有最大值而无最小值b. 有最小值而无最大值c.既有最大值又有最小值，且最大值与最小值不等d.是一个与平面qrs 位置无关的常量2.在正 n 棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范畴是第 1 题图a. n1, nb. n2,nc. 0,2d. n2 n, n1 n3.正三棱锥p-abc 的底面边长为2a,点 e、f 、g、h 分别是 pa、pb、bc、ac 的中点，

2、就四边形efgh的面积的取值范畴是a.0,+ b.3 a2 , 3c. 3 a 2 , 6d. 1 2a 2 ,4.已知二面角 -a-为 60°，点 a 在此二面角内，且点a 到平面 、 的距离分别是ae=4 ， af=2 ，如 b ,c ,就 abc 的周长的最小值是a.43b.27c.47d.235.如图，正四周体a-bcd 中， e 在棱 ab 上， f 在棱 cd 上，使 得 aeebcf= 0< <+ ,记 f = + ,其中 表示 ef fd与 ac 所成的角， 表示 ef 与 bd 所成的角，就a. f 在0,+ 单调增加b.f 在0,+ 单调削减c.f 在

3、0,1单调增加 ,在1,+ 单调削减d.f 在0,+ 为常数第 5 题图6.直线 a平面 ,直线 a 到平面 的距离为1，就到直线a 的距离与平面 的距离都等于合是a. 一条直线b.一个平面c.两条平行直线d. 两个平面7.正四棱锥底面积为q，侧面积为s，就它的体积为4 的点的集5a. 1 6qs2q 2 b. 1 3qs2q 2 c. 1 2qs2q 2 d. 1 qs38.已知球 o 的半径为r， a、b 是球面上任意两点，就弦长|ab|的取值范畴为a. 0,2rb.0,2r c.（ 0,2r）d. r,2r9.已知平面 平面 =l,m 是平面 内的一条直线，就在平面内（）a. 肯定存在直

4、线与直线m 平行，也肯定存在直线与直线m 垂直b. 肯定存在直线与直线m 平行，但不肯定存在直线与直线m 垂直c.不肯定存在直线与直线m 平行，但肯定存在直线与直线 m 垂直d.不肯定存在直线与直线m 平行，也不肯定存在直线与直线 m 垂直10.如图为一个简洁多面体的表面绽开图（沿图中虚线折叠即可仍原） ，就这个多面体的顶点数为a.6b.7c.8d.9二、填空题 （ 4× 4 =16）第 10 题图11.边长为a 的等边三角形内任一点到三边距离之和为定值，这个定值为;推广到空间，棱长为 a 的正四周体内任一点到各面距离之和为.12.在 abc 中， ab =9， ac=15， bac

5、=120°，其所在平面外一点p 到 a、b、c 三个顶点的距离都是 14，就 p 点到直线bc 的距离为.13.已知将给定的两个全等的正三棱锥的底面粘在一起，恰得到一个全部二面角都相等的六面体，并且该六面体的最短棱的长为2，就最远的两顶点间的距离是.14.有 120 个等球密布在正四周体a-bcd 内，问此正四周体的底部放有个球 .三 、 解 答 题 （ 4× 10 +14 =54） 15.定直线 l1 平面 ,垂足为 m ，动直线l 2 在平面 内过定点n，但不过定点m.mn =a 为定值，在l1 、l 2 上分别有动线段ab=b,cd =c.b、c 为定值 .问在什么情

6、形下四周体abcd 的体积最大？最大值是多少？16.如下列图，已知四边形abcd 、eadm 和 mdcf都是边长为a 的正方形，点p、q 分别是ed 和ac 的中点，求：（1） pm 与 fq 所成的角；（ 2）p 点到平面efb 的距离 ;（ 3）异面直线pm 与 fq 的距离 .第 16 题图17.如图，在梯形abcd 中， ab cd， adc 90°,3ad=dc =3,ab=2,e 是 cd 上一点，满意de 1，连结 ae，将 dae 沿 ae 折起到 d1 ae 的位置，使得d1ab 60° ,设 ac 与 be 的交点为o.1试用基向量ab , ae ,

7、ad1表示向量od12求异面直线od 1 与 ae 所成的角 .3判定平面d 1ae 与平面 abce 是否垂直，并说明理由.第 17 题图18.如图，在斜棱柱abca1b1c1 中，底面为正三角形，侧棱长等于底面边长，且侧棱与底面所成的角为 60° ,顶点 b1 在底面 abc 上的射影o 恰好是 ab 的中点 .（ 1）求证： b1c c1a；（ 2）求二面角c1-ab-c 的大小 .第 18 题图19.如下列图， 在三棱锥 p-abc 中，pa=pb=pc ，bc=2a,ac=a,ab=3 a,点 p 到平面 abc 的距离为（ 1）求二面角p-ac-b 的大小；（ 2）求点

8、b 到平面 pac 的距离 .3 a.2第 19 题图立体几何练习参考答案一、挑选题1.d设正三棱锥p-abc 中，各棱之间的夹角为,棱与底面夹角为 ,h 为点 s 到平面 pqr 的距离，就 vs-pqr=1 s pqr· h=31 132pq· pr· sin · ps· sin ,另一方面，记o到各平面的距离为d,就有1 spqr·d+ 1 spr1d1d13333232vs-pqr=vo-pqr+vo-prs+vo-pqs=s·d+s pqs·d=· ·pq·pr·s

9、in+· ps·pr·sin + d ·1 ·pq·ps·sin .故有 pq·pr·ps·sin=dpq·pr+pr·ps+pq·ps，即111=sin=32常量 .pqprpsd2.b设正 n 棱锥的高为h,相邻两侧面所成二面角为 .当 h0 时，正 n 棱锥的极限为正n 边形， 这时相邻两侧面所成二面角为平面角，即二面角 .当 h时，正 n 棱锥的极限为正n 棱柱，这时相邻两侧面所成二面角为正n 边形的内角， 即 n2n .应选 b.3.b如图，易知四边形ef

10、gh 为矩形，当p底面 abc 的中心 o 时，矩形 efgh 矩形 e1 f1gh .1 1s矩形 e f gh=e1f 1· f1 g=a·3 a=33 a2.3即 s 矩形 efgh 3 a2.当 p时， s 矩形 efgh . 3 s 矩形 efgh 3 a 2 ,3.应选 b.第 4 题图解第 3 题图解4.c如图， a ae,a af , a平面 aef .设 a 交平面 aef 于点 g，就 egf 是二面角 -a- 的平面角，egf=60 ° ,eaf =120° ,且易知当 abc 的周长最小时，b eg,c fg.设点 a 关于平面

11、的对称点为a ,点 a 关于平面 的对称点为a ,连结 a a ,分别交线段eg、fg 于点 b、c,就此时 abc 的周长最短，记为l .由中位线定理及余弦定理得l=2ef =24 22 2242 cos120=47 .5.d由于abcd是正四周体，故ac bd,作 eg ac 交 bc 于 g，连结gf ，就 = gef ,且cgaegbebcf , fd gf bd,故 gf eg,且 =efg , f = + =90 °为常数 .6.c这两条直线在距a 为1 的平面上，分布在a 在该平面上的射影的两侧.57.a设正四棱锥各棱长均为1，就 q=1 ， s=3 ，此时，正四棱锥的

12、高h=2 ,2 v=1 qh=32 , 将 q=1， s=3 代入挑选支，知a 正确 . 68.b考虑 a、b 两点在球面上无限靠近但又不重合，及a、b 两点应为直径的两端点时的情形.点评如忽视几何里的两点、两直线、两平面等均应是相异的两元素，就会误选a ，球的最长弦就是直径，但球没有最短弦.9.c如 m l，就 内必有与 m 平行的直线；如m 与 l 相交，就 内无直线与m 平行 .不肯定存在直线与直线m 平行， 排除 a 、b.又 内肯定存在与m 在 内的射影垂直的直线，由三垂线定理知， 内肯定存在直线与m 垂直 ,应选 c.10.b此题考查简洁多面体的表面绽开与翻折，着重考查考生的空间想

13、像才能,该多面体是正方体切割掉一个顶点，故有7 个顶点 .二、填空题11.3 a ; 212. 7726 a此题通过等积找规律. 3分析p 点到 a、b、c 距离相等，故p 点在平面abc 上的射影是三角形abc 的外心，故可由 abc 的已知条件求出abc 外接圆半径，进而求得p 点到平面abc 的距离，及外心到直线bc 的距离，从而最终解决问题.解记 p 点在平面abc 上的射影为o，就 ao、bo、co 分别是 pa、pb、pc 在平面 abc 上的射影 pa=pb=pc ,oa=ob=oc , o 为 abc 的外心 .在 abc 中， bc=9 2152915=21由正弦定理，2r=

14、21, r=73sin 120p 点到平面abc 的距离为14 273 27 .o 点到直线bc 的距离 od =73 22217322d 为 bc 边的中点 op平面 abc ， od bc, pd bc. p 到 bc 的距离 pd =7 227377 .2213.3如下列图，作ce ad，连结 ef ，易证 ef ad ,就 cef 为面 adf 和面 acd 所成二面角的平面角. 设 g 为cd 的中点，同理agb 为面 acd 和面 bcd 所成二面角的平面角，由已知cef = agb.设底面 cdf 的边长为2a,侧棱 ad 长为 b.在 acd 中，ce· b=ag&#

15、183;2a,所以 ce=ag 2abb2a 22a b在 abc 中，易求得ab=2b 2223a32b 24 a 2 ,3第 13 题图解由 cef agb 得 abcf2ag , 即ceb 24 a 232a22ba22ba2a解得 b=b4 a,因此 b=2 时， 2a=3,最远的两顶点间距离为3.314.36正四周体abcd 的底部是正 bcd ,假设离 bc 边最近的球有n 个，就与底面bcd 相切的球也有 n 排，各排球的个数分别为n、n-1、 3、 2、1,这样与底面相切的球共有1+2+n=于正四周体各面都是正三角形.因此，正四周体内必有n 层球，自上而下称为：第1 层、第 2

16、层、第n 层，那么第n-1 层，第 n-2 层，第2 层，第 1 层球的个数分别是：nn21 个.由1+2+n=nn21 、 1+2+n-1=n1n,21+2=23 ,1= 1222 nn12 n1 n 212120,2即 1 nn+1 n+2=120.6即n-8 n2 +11n+90=0, n=8,因此正四周体内共有8 层小球，其底部所放球数为三、解答题15.分析在四周体 abcd 的基础上，补上一个三棱锥b-mcd .解如图，连结mc 、md ，就 am 平面 mdc ， bm 平面 mdc189 =36 个.2 va-bcd=va-mdc -vb-mdc =smdc · am-

17、bm 3= 1 smdc ·ab311第 15 题图解设 m 到 cd 的距离为x,就 smdc =cd ·x=2cx,2 va-bcd= 1 ×31 cx·b=21 bcx6 x mn=a,当 x=a 时，即 mn 为 l1 与 l2 的公垂线时，va-bcd 最大，它的最大值为1 abc.6点评x mn ,包含 x=mn ,也包含 x<mn ,垂线段小于斜线段.16.解建立空间直角坐标系，使得d0,0,0, aa,0,0,ba,a,0, c0,a,0 ，m（ 0,0,a）,ea,0,a，f（ 0,a,a），就由中点坐标公式得pa ,0,2a ,

18、q 2a , a ,0, 22(1) 所以 pm =-a ,0,2a , fq 2a ,- 2a ,-a, pm · fq =- 2a × 2a +0+2a × -a=- 23 a2 ,4且| pm |=2 a,| fq |=26 a,所以 cospm , fq= 2pm| pmfq| fq |3 a 243 .2 a6 a222故得两向量所成的角为150° ;(2) 设 n= x,y,z是平面 efb 的单位法向量，即|n|=1,n平面 efb ，所以 n ef ,且 n be ,又 ef =- a,a,0 ， be =（0,-a,a） ,即有x 2y

19、 2z2axay0,ayaz0,1,得其中的一个解是x 3 ,3y 3 ,3z 3 ;3 n=3 ,3 ,3333, pe =a ,0, a, 22设所求距离为d, 就 d=| pe ·n|=3 a ;3(3) 设 e=x1,y1,z1是两异面直线的公垂线上的单位方向向量，就由 pm =a ,0, a22, fq =a ,a , a, 22xyz1,222111得a x1 2a z10,2求得其中的一个e=3 ,33 ,3，33a x1 2a y1 2az10.而 mf =0, a,0，设所求距离为m,就 m=| mf ·e|=|-3 a|=33 a.317.解（ 1）依据

20、已知，可得四边形abce 为平行四边形，所以o 为 be 中点 .od1ad1aoad11 ab2aead11 ab21 ae .22 od1ae ad 11 ab 21 ae ae1 22 cos451222cos 45122 1.21 od2=ad1 -1ab -21ae 2= 3 ,22 |od1 |=6 .2 cos< od, ae >=od1ae13 ,1| od1 | ae |6232所以 od 1 与 ae 所成角为arccos3 .33设 ae 的中点为m ，就md1 =ad1 -1ae .2 md1 · ab = ad1· ab -1ae &#

21、183; ab =1 × 2× cos60° -21 ×2 ×2cos45° =0,2 md1 ab .md1 · ae =ad1· ae - 12ae 2=2 cos 45° -1 × 2 2=0, md1 ae .2所以 md 1 垂直于平面abce 内两条相交直线, md 1 平面 abce.而 d1 m 平面 ad 1e，所以平面ad 1e平面 abce.18.1 解法一连结 bc1、co ， b1o平面 abc， co ab， b1c ab，又在菱形bb1c1c 中， b1c bc1，

22、 b1c平面 abc1， b1c c1a.（ 2）作 c1q平面 abc 于 q 点，连接aq， c1cq 是侧棱与底面所成的角，即c1cq =60° ,在 c1cq 中， cq=1 cc 1=ao， c1q=23 cc 1，2由 bc， b1c1， oq 平行且相等，又coab ,qa ab, c1a ab, qac 1 是二面角c1-ab-c 的平面角 ,在 aqc 1 中， c1q=aq， qac1 =45°第 18 题图解（ 1）第 18 题图解（ 2）解法二（ 1）以 o 为原点， oc 所在直线为x 轴， ab 所在直线为y 轴，建立空间直角坐标系，如图， b1

23、o平面 abc， b1bo 是侧棱与底面所成角，b1bo=60 ° .设棱长为2a, 就 ob1 =3 a,bo=a,又 co 为正三角形的中线，co=3 a.就 a0,a,0,b0,- a,0, c3 a,0,0, b10,0,3 a,c13 a,a,3 a.b1c =3 a,0,-3 a, c1 a =-3 a,0,-3 a. b c · c a2211=-3a +0+3 a=0, b1c c1a.2在 c1 ab 中， | c1 a |=6 a,| bc1 |=|（3 a,2a,3 a） |=10 a,| ab |=2a,a sc1ab=62 ,作 c1q平面 abc 于 q 点，就 q3 a,a,0. sabq=3 a2,设二面角 c1 -ab-c 的平面角为 ,就 cos =s abq2.s c1ab2二面角 c1-ab -c 的平面角为45°.19.（ 1）解法一由条件知 abc 为直角三角形，bac=90 &