高三数学知识点精析精练27导数及其应用

1、学问点大全2021 高三数学学问点精析精练27：导数及其应用【复习要点】一、导数导数是中学限选内容中较为重要的学问，本节内容主要是在导数的定义，常用求等公式.四就运算求导法就和复合函数求导法就等问题上对考生进行训练与指导.1.深刻懂得导数的概念，明白用定义求简洁的导数.y 表示函数的平均转变量，它是 x 的函数，而 f x0 表示一个数值， 即 f x=xylim，x0x知道导数的等价形式：limf x0xf x0 limf x f x0 f x0 .x0xxx0xx02.求导其本质是求极限，在求极限的过程中，力求使所求极限的结构形式转化为已知极限的形式，即导数的定义，这是顺当求导的关键.3.

2、对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原就，求导时，不但要重视求导法就的应用，而且要特殊留意求导法就对求导的制约作用，在实施化简时，第一必需留意变换的等价性，防止不必要的运算失误.4.复合函数求导法就，像链条一样，必需一环一环套下去，而不能丢掉其中的一环.必需正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的次序复合而成的，分清其间的复合关系.二、导数的应用利用导数求函数的极大小值，求函数在连续区间a,b上的最大最小值，或利用求导法 解决一些实际应用问题是函数内容的连续与延长，这种解决问题的方法使复杂问题变得简洁化，因而已逐步成为新高考的又一热点.本节内容主要是指导考生对这种方法的应用.1.fx

3、在某个区间内可导，如f x0,就 fx 是增函数；如f x 0,就 f x.2.求函数的极值点应先求导，然后令y =0 得出全部导数为0 的点， 导数为 0 的点不肯定都是极值点，例如：y=x3,当 x=0 时，导数是0，但非极值点 ，导数为0 的点是否是极值点，取决于这个点左、右两边的增减性，即两边的y的符号，如转变符号，就该点为极值点；如 不转变符号，就非极值点，一个函数的极值点不肯定在导数为0 的点处取得，但可得函数的极值点肯定导数为0.3.可导函数的最值可通过a,b内的极值和端点的函数值比较求得，但不行导函数的极值有时可能在函数不行导的点处取得，因此，一般的连续函数仍必需和导数不存在的

4、点的函数值进行比较，如y=|x|,在 x=0 处不行导，但它是最小值点.学问点大全【例题】【例 1】已知曲线c： y=x 3x32+2 x,直线 l: y=kx,且 l 与 c 切于点 x0,y0 x0 0，求直线 l 的方程及切点坐标.解：由 l 过原点，知k= y0x0x0 0,点x0,y0 在曲线 c 上， y0=x033x02+2x0,0 y0x0=x 2 3x0+20y =3 x2 6x+2,k=3x 26x0+2又 k= y0x0, 3x02 6x0+2=x02 3x0 +202x 2 3x0=0, x03=0 或 x0=23由 x 0,知 x0=2 y0=3 3322+2

5、3; 3 = 33228 k=y01=x04 l 方程 y=1x 切点 43 ， 3 28【例 2】求函数的导数：(1) y1x(2) y axb sin2x 33 yf x 211x2 cos x解：1x 1x2 cos x1x1x 2 cos x1 解 : y2 221x cosx21x cos x1x12x cos x21x cos x 1x 2 2 cos2 x2 解：y=3 ,=ax bsin2 x, =av by1x2 cos x1x2 x cos x2 221x cos x1x 2 sin x2 x2x1cos x1x12x sin x1x 2 2 cos2 xv=x,y=sin

6、 = xy =3 =3 2· =3 2avby=32 av by =3 2av by 学问点大全=3 axbsin 2 x2a b sin2 x3解法一：设y=f , =v ,v=x2+1, 就1y x=y v· v x=f ·v212 · 2x=f x21 · 121x 21· 2x=xf x 2x 211,解法二： y = fx 21 =f x 21 · x21 =f x21 ·11 x2+12 · x2+1 2=f x21 ·11x2+12 · 2x2=xf x21 x21【例

7、3】已知二次函数fx满意： 在 x=1 时有极值；图象过点 0, 3，且在该点处的切线与直线2x+y=0 平行的单调递增区间（ 1）求 fx的解析式；（2）求函数gx=fx2解：（ 1）设 fx=ax2+bx+c，就 f x=2ax+b由题设可得：f 1f 00,2a2, 即 bb0,2,a1,，解得b2,f 03,c3.c3.所以 fx=x22 x 3（2） gx=fx2=x4 2x2 3，g x=4x3 4x=4xx1x+1列表：x , 1 1,000,111,+ 1f x0+00+fx由表可得：函数g x的单调递增区间为1,0， 1,+ 【例 4】已知 fx=x2+c,且 f fx2=f

8、x+11设 gx=f f x ,求 gx的解析式；学问点大全2设 x=gx fx, 试问：是否存在实数 ,使 x在 ,1内为减函数，且在 1， 0内是增函数 .解： 1 由题意得f fx =fx2+c= x2+c2+c fx2+1= x2 +12 +c,f fx =fx2+1 x2+c 2+c=x2+1 2+c, x2+c=x2+1, c=1 f x=x2+1, gx=f fx =fx2+1= x2+1 2+1 2 x=gx fx=x4+2 x2+2 如满意条件的存在，就 x=4x3+22 x函数 x在 , 1上是减函数，当 x 1 时， x 0即 4x3+22 x0 对于 x , 1恒成立

9、22 4x2, x 1, 4x2 4 22 4,解得 4又函数 x在 1,0上是增函数当 1 x 0 时， x 0即 4x2+22 x0 对于 x 1,0恒成立 22 4x2, 1x 0, 4 4x2 0 22 4,解得 4故当 =4 时， x在 , 1上是减函数，在1,0上是增函数，即满意条件的存在 .【例 5】已知 fx=ax3+bx2+cxa0在 x=± 1 时取得极值，且f1= 1. 1试求常数a、b、c 的值；2试判定 x=± 1 是函数的微小值仍是极大值，并说明理由.解： 1 f x=3 ax2+2bx+c x=± 1 是函数 fx的极值点， x=&#

10、177; 1 是方程 f x=0, 即 3ax2+2bx+c=0 的两根 .学问点大全由根与系数的关系，得2b0 3ac1123a又 f1= 1, a+b+c= 1（ 3）由解得a= 1 , b230, c,22 fx=x3 3 x,122 f x=323x=223x 1 x+12当 x 1 或 x 1 时， f x 0当 1x 1 时， f x 0函数 f x在 , 1和1,+ 上是增函数，在 1， 1上是减函数 .当 x=1 时，函数取得极大值f 1=1,当 x=1 时，函数取得微小值f1= 1.【例 6】在甲、乙两个工厂，甲厂位于始终线河岸的岸边a 处，乙厂与甲厂在河的 同侧，乙厂位于离

11、河岸40 km 的 b 处，乙厂到河岸的垂足d 与 a 相距 50 km ，两厂要在此岸边合建一个供水站c，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a 元和5a 元，问供水站c 建在岸边何处才能使水管费用最省？解法一：依据题意知，只有点c 在线段 ad 上某一适当位置，才能使总运费最省，设c点距 d 点 x km, 就 bd=40,ac =50 x, bc=bd 2cd 2x2402又设总的水管费用为y 元，依题意有：y=3a50 x+5 ax 24020 x50y = 3a+5axx 2402,令 y=0, 解得 x=30在0,50 上， y 只有一个极值点，依据实际问题的意义，函数在

12、x=30km 处取得最小值，此时ac=50 x=20km供水站建在a、d 之间距甲厂20 km 处，可使水管费用最省.解法二：设 bcd =，就 bc=40,cd =40cot ,0 sin, ac=50 40cot2学问点大全设总的水管费用为f ,依题意，有40f =3a50 40· cot +5 a·sin5=150a+40 a·3cos sin f =40 a· 53cossin53cos sin40a35cos令 f =0, 得 cos= 35sin 2sin 2依据问题的实际意义，当cos =3 时，函数取得最小值，此时sin =543, co

13、t =,54ac =50 40cot =20km, 即供水站建在a、d 之间距甲厂20 km 处，可使水管费用最省.【导数及其应用练习】一、挑选题1、y=esinx cossinx ，就 y 0 等于 a.0b.1c. 1d.2x2、经过原点且与曲线y=xx9 相切的方程是 5xa. x+y=0 或+y=0b.x y=0 或25+y=025c.x+y=0 或x y=0d.x y=0 或25x y=0253、设 f x可导，且f 0=0, 又 limf x= 1,就 f0x0xa. 可能不是f x的极值b.肯定是 fx的极大值c.肯定是 fx的微小值d.等于 04、设函数fnx= n2x21 x

14、nn 为正整数 ，就 fn x在 0,1上的最大值为a.0b.1c. 12n2nd. 4n n 1n2二、填空题5、如 f x0=2, limf x0k f x0 = .k02k6、设 f x=xx+1 x+2x+n,就 f 0= .7、函数 fx=log a3x2+5 x 2a 0 且 a 1的单调区间 .8、在半径为r 的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为 时它的面积最大.三、解答题学问点大全9、已知曲线c1:y=x2 与 c2:y= x 22,直线 l 与 c1、c2 都相切，求直线l 的方程 .10、求函数的导数22xx(1) y=x 2x+3 e； 2y= 3.1x11、有一个长度

15、为5 m 的梯子贴靠在笔直的墙上，假设其下端沿地板以3 m/s开墙脚滑动，求当其下端离开墙脚1.4 m 时，梯子上端下滑的速度.n12、求和 s =12+22x+32x2+n2xn 1,x 0,n n* .13、设 fx =ax3+x 恰有三个单调区间，试确定a 的取值范畴，并求其单调区间. 14、设 x=1 与 x=2 是函数 f x=alnx+bx2+x 的两个极值点 .1试确定常数a 和 b 的值；2试判定 x=1,x=2 是函数 fx的极大值仍是微小值，并说明理由.15、已知 a、b 为实数，且ba e,其中 e 为自然对数的底，求证：ab ba.16、设关于x 的方程 2x2 ax

16、2=0 的两根为 、 ,函数 fx= 4xa .x 211求 f · f 的值；2证明 fx是 ， 上的增函数；3当 a 为何值时， fx在区间 ， 上的最大值与最小值之差最小？参考答案一、 1.解析： y =esinx cosxcossinx cosxsinsin x,y 0= e01 0=1答案： by02.解析：设切点为x0,y0,就切线的斜率为k=x0x,另一方面， y =x9 =5x45 2 ,故 y x4=k,即y0x09或 x 2+18 x+45=0 得 x1= 3,x2= 15,0对应有 y1=3, y x02=5 215x0x093,0000 x05001555因此

17、得两个切点a 3， 3或 b 15, 3 ,5441从而得 y a=35 3= 1 及 y b=155 225,学问点大全由于切线过原点，故得切线：l a:y= x 或 l b:y= x.25答案： a3.解析：由 limf 0= 1,故存在含有0 的区间 a,b使当 x a,b,x 0 时f 0 0,于是当x0xxx a,0 时 f 0 0,当 x0,b时， f 0 0,这样 fx在 a,0上单增，在 0, b上单减 .答案： b4.解析： f2nx=2 xn 1n3 n x2x 1n 1x2=n x1n1 21 x nx,令 fnx=0,得 x1=0, x2=1,x3=2,易知fnx 在

18、x=2n2时取得最大值，最大值fn2 x2n2n= n222n21 2n=4 · 2nnn+12n答案： d二、5、解析：依据导数的定义：f x0=limk0f x0kkf x0 这时xk limf x0k f x0 1lim f x0k f x0 k01lim2kf x0k k0f x0 2k1f x0 12 k0k2答案： 16 、 解 析 ： 设gx= x+1 x+2x+n, 就fx=xgx, 于 是f x=gx+xg x,f 0= g0+0 ·g 0= g0=1 · 2·n=n！ 答案： n.或 x 2,17、解析：函数的定义域是x3log a

19、e26 x5 log a ef x=23x.3 x5x2+5x 2 =3x,1 x2如 a 1,就当 x1 时， loga e0,6x+5 0,3x1 x+2 0, f x 0,3函数 f x在1,+ 上是增函数，3x 2 时， f x 0.函数 fx在 , 2上是减函数 .如 0 a1,就当 x 13时， f x 0, fx在 13,+ 上是减函数，当 x 2 时， f x 0, fx在 , 2上是增函数答案： , 2学问点大全8、解析：设圆内接等腰三角形的底边长为2x,高为 h，那么 h=ao+do=r+r2x2,解得x2=h2r h,于是内接三角形的面积为s=x· h= 2rh

20、h2 h2rh3h4 ,从而 s11 2rh321h4 12 2rh3h4 h2 3r2h 2rh32h 4 2 6rh24h3 2rhh3令 s =0, 解得 h=3r,由于不考虑不存在的情形，所在区间0,2r23h0,r233r,2r22s+0s增函数最大值减函数由此表可知，当x=33r 时，等腰三角形面积最大.2答案：r2三、229、解：设l 与 c1 相切于点px1,x1 ,与 c2 相切于 qx2 ,x2 2 对于 c1： y =2x,就与 c1 相切于点 p 的切线方程为1y x12=2x1x x1,即 y=2x1x x 2对于 c2：y = 2x 2,与 c2 相切于点q 的切线

21、方程为y+x2 22= 2x2 2x x2,即2y= 2x2 2x+x2 4两切线重合，2x1= 2x2 2且 x1 2=x22 4,解得 x1=0, x2=2 或 x1=2,x2=0直线 l 方程为 y=0 或 y=4x 410、解： 1留意到 y 0,两端取对数，得lny=ln x22x+3+ln e2 x=ln x2 2x+3+2 x学问点大全1 x22x32x22 x 2x2yyx22x32 x2x2y2y2x22x2 x2x2223 x2x22x32 x3 e2 xx2 x32 x 2x2 e2xx2x32两端取对数，得1ln|y|=3ln|x |ln|1 x |,两边解 x 求导，

22、得1y1 11 11y3x1xy11y3 x1x1x33x1x3x1x1x11、解：设经时间t 秒梯子上端下滑s 米,就 s=5 259t 2,当下端移开1.4 m 时，t0= 1 437 ,又 s =1511259t22 · 9· 2t=9t21,259t 2所以 s t0=9 × 7151259 7 215=0.875m/s12、解： 1当 x=1 时， sn=12+22+32+n2=1nn+12 n+1,6当 x 1 时， 1+2 x+3x2+nxn 1= 1n1 x nnx n 1,1x 2两边同乘以x,得： x+2 x2+3 x2+nxn= x n1 x n 1nxn 21x 2两边对 x 求导，得s =12+2 2x2 +32x2+n2 xn1= 1xn1) 2 xn2n 22n1 xn 1n2 xn 2n13、解： f x=3 ax2+11x3如 a 0,f x 0 对 x ,+ 恒成立，此时fx只有一个单调区间，冲突.如 a=0, f x=1 0, x ,+ ,fx也只有一个单调区间，冲突.如 a 0, f x=3ax+13 | a |· x13 | a |,此时 fx恰有三个单调区间.学问点大全 a 0 且单调减区间为 ,13 | a |和13 | a |,+ ，单调增区间为1,3 | a |