高三文科数学圆锥曲线综合复习讲义

1、高三文科数学圆锥曲线综合复习讲义一、基础学问【懂得去记】1椭圆的定义，第肯定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长（大于两个定点之间的距离）的点的轨迹，即|pf1|+|pf2|=2a 2a>|f1f2|=2c.其次定义：平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数e0<e<1的点的轨迹（其中定点不在 定直线上） ，即| pf | de 0<e<1.2椭圆的方程，假如以椭圆的中心为原点，焦点所在的直线为坐标轴建立坐标系，由定义可求得它的标准方程，如焦点在x 轴上，列标准方程为x 2y2a 2b21a>b>0 ，参数方程为x acosy bs

2、in（为参数）；2如焦点在y 轴上，列标准方程为：ya 2y221a>b>0 ；bx 2y 23椭圆中的相关概念，对于中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆：2a21 ，ba 称半长轴长，b 称半短轴长，c 称为半焦距，长轴端点、短轴端点、两个焦点的坐标分别为±a, 0 , 0,± b, ±c,0；与左焦点对应的准线（即其次定义中的定直线）为a 2x，与右焦点对应的准线为ca 2x；定义中的比ce 称为离心率，且ec ， 由 c2+b2=a2 知 0<e<1.a椭圆有两条对称轴，分别是长轴、短轴；x 2y 24椭圆的焦半径公式：对于椭圆点，就 |

3、pf1|=a+ex, |pf2|=a-ex.5.补充学问点： 几个常用结论：a 2b 21a>b>0, f 1-c, 0, f 2c, 0 是它的两焦点；如px, y 是椭圆上的任意一1）过椭圆上一点px0, y0的切线方程为：x0 x a 2y0 y222b 21 ；2）斜率为k 的切线方程为ykxa kb； 3）过焦点f2c, 0 倾斜角为 的弦的长为2ab 2la 2；c 2 cos26双曲线的定义，第肯定义：满意 |pf1 |-|pf2|=2a2a<2c=|f1f2|, a>0的点 p 的轨迹；其次定义：到定点的距离与到定直线距离之比为常数e>1 的点的轨

4、迹； 7双曲线的方程：中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线方程为x 2y2221 ，ab1参数方程为x a secy b tan（为参数）；焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程为：y 2x21 ；a 2b 22x8双曲线的相关概念，中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线：2y1 a, b>0,a 2b 2a 称半实轴长，b 称为半虚轴长，c 为半焦距，实轴的两个端点为-a, 0, a, 0.左、右焦点为f1-c,0, f 2 c, 0，对应22的左、右准线方程分别为xa, x ca. 离心率 cce，由 a2+b2=c2 知 e>1；两条渐近线方程为y ak x ，双ax 2y 2x 2y

5、2曲线1与a 2b 2a 2b 21 有相同的渐近线，它们的四个焦点在同一个圆上；如a=b，就称为等轴双曲线；9补充学问点： 双曲线的常用结论，1）焦半径公式，对于双曲线x2y 2a 2b 21 ，f1（-c,0） , f2c, 0 是它的两个焦点；设px,y 是双曲线上的任一点，如p 在右支上，就|pf1|=ex+a, |pf2 |=ex-a；如 p（ x,y）在左支上，就|pf1|=-ex-a， |pf2|=-ex+a.2ab 22 过焦点的倾斜角为 的弦长是2a；c2 cos210抛物线：平面内与一个定点f 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点f 叫焦点，直线l 叫做抛物线

6、的准线；如取经过焦点f 且垂直于准线l 的直线为x 轴， x 轴与 l 相交于 k ，以线段kf 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，设|kf|=p ，就焦点 f 坐标为11补充学问点 p ,0 ，准线方程为x 2p ，标准方程为y2=2pxp>0 ，离心率 e=1.2抛物线常用结论：如px 0, y0为抛物线上任一点，p1）焦半径 |pf|= x；22 p2）过点 p 的切线方程为y0y=px+x 0 ；3）过焦点倾斜角为 的弦长为2；二、直线与圆锥曲线的位置关系1cos一、学问整理：1.考点分析：此部分的解答题以直线与圆锥曲线相交占多数，并以椭圆、抛物线为载体较多；多数涉及求圆锥曲

7、线的方程、求参数的取值范畴等等；2解答直线与圆锥曲线相交问题的一般步骤：设线、设点，联立、消元，韦达、代入、化简；第一步：争论直线斜率的存在性，斜率存在时设直线的方程为y=kx+b （或斜率不为零时，设x=my+a ）；其次步：设直线与圆锥曲线的两个交点为ax 1 ,y1bx 2,y2;第三步：联立方程组ykxb，消去 y 得关于 x 的一元二次方程；f x, y02第四步：由判别式和韦达定理列出直线与曲线相交满意的条件二次系数不为零，0x1x 2x1x 2第五步：把所要解决的问题转化为x 1+x2 、x 1x 2，然后代入、化简；3弦中点问题的特殊解法- 点差法：即如已知弦ab 的中点为mx

8、 o,yo，先设两个交点为ax 1,y1 ，bx 2,y2;分别代入圆锥曲线的方程，得 f x 1, y1 入其中，即可求出直线的斜率；0, f x 2 , y 2 0 ，两式相减、 分解因式， 再将 x 1x 22x o , y 1y 22y o 代4. 弦长公式 :| ab |1k 2| x1x 2 |1k 2 xx 2 4x 1 x 2 k为弦 ab 所在直线的斜率12高考真题 :x2y23a1【.2021 高考新课标文4】设 f1f2 是椭圆e : a 221abb0 的左、右焦点， p 为直线 x上一点，2f2 pf1是底角为 30 的等腰三角形，就e 的离心率为（） a 12b 2

9、 3c d 【答案】 c【命题意图】此题主要考查椭圆的性质及数形结合思想，是简洁题.【解析】f2 pf1 是底角为300 的等腰三角形，pf a600 ， | pf| | f f|2c ， | af|= c ， 2c3 a ， e = 3 ，2应选 c.2122242.【2021 高考新课标文10】等轴双曲线c 的中心在原点，焦点在 x 轴上， c 与抛物线y 216x 的准线交于a, b 两点，ab43 ；就 c 的实轴长为（） a2 b22c d 【答案】 c【命题意图】此题主要考查抛物线的准线、直线与双曲线的位置关系，是简洁题.【解析】由题设知抛物线的准线为：x4 ，设等轴双曲线方程为：

10、x2y2a2 ，将 x4 代入等轴双曲线方程解得 y =16a2， | ab| = 43 ，216a2= 43 ，解得 a =2， c 的实轴长为4，应选 c.x2y223.【2021 高考山东文11】已知双曲线c1 ：221aab0,b0 的离心率为2.如抛物线c2 : x2 py p0) 的焦点到双曲线c1 的渐近线的距离为2，就抛物线c2 的方程为(a) x283 3ybx 21633yc2x8 yd2x16y【答案】 d考点：圆锥曲线的性质解析： 由双曲线离心率为2 且双曲线中a，b，c 的关系可知b3a ，此题应留意c2 的焦点在y 轴上， 即（ 0，p/2）到直线y3x的距离为2，

11、可知 p=8 或数形结合，利用直角三角形求解；3【2021 高考全国文10】已知f 、 f 为双曲线 c : x2y22 的左、右焦点，点p 在 c 上， | pf |2| pf|，就1212cosf1 pf2（ a） 14【答案】 c3（b ）53（c）44（ d）5【命题意图】本试题主要考查了双曲线的定义的运用和性质的运用，以及余弦定理的运用；第一运用定义得到两个焦半径的值，然后结合三角形中的余弦定理求解即可；【解析】解：由题意可知，a2 b,c2 ，设| pf1 |2x,| pf2 |x ，就| pf1 | pf2 |x2a22 ，故| pf1 |42,|pf2|22 ， f1f24 ，

12、利用余弦定理可得cosf1 pf21212；pf 2pf 2f f 242 222 24232pf1pf2222424520xx年高考广东卷文科8 设 圆 c 与圆错误！未找到引用源；外切，与直线y0 错误！未找到引用源；相切就 c 的圆心轨迹为（）a 抛物线b 双 曲线c 椭圆d 圆6.【2021 高考四川文9】已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点o ，并且经过点m 2, y0 ；如点 m 到该抛物线焦点的距离为3 ，就 | om |（）a 、 22b、 23c、 4d、 25【答案】 b 解析 设抛物线方程为y2=2pxp>0, 就焦点坐标为（m在抛物线上，p ,0 ），准线

13、方程为x=p ,22m到焦点的距离等于到准线的距离，即（2 -p22y）02（2p）2 32解得： p1, y022点m（2,22），依据两点距离公式 有：| om |22 22 2234 点评 此题旨在考查抛物线的定义: |mf|=d,m为抛物线上任意一点，f 为抛物线的焦点，d 为点 m 到准线的距离.x2y27. （ 20xx年高考湖南卷文科6 设双曲线21aa90 的渐近线方程为3x2 y0, 就 a 的值为（）a 4b 3c 2d 1答案： c解析：由双曲线方程可知渐近线方程为yx2y 23 x ，故可知 a2 ； a8.【2021 高考四川文15】椭圆21a 为定值， 且 aa55

14、 的的左焦点为f ，直线 xm 与椭圆相交于点a 、b ，fab 的周长的最大值是12，就该椭圆的离心率是 ；，2【答案】3 解析 依据椭圆定义知：4a=12, 得 a=3 ,又a 2c 25c2,ec2a3 点评 此题考查对椭圆概念的把握程度.突出呈现高考前的复习要回来课本的新课标理念.229. 【2021 高考辽宁文15】 已知双曲线xy=1, 点 f1,f 2 为其两个焦点，点p 为双曲线上一点，如p f 1p f2 , 就 p f 1+ p f 2的值为 .【答案】 23【命题意图】此题主要考查双曲线的定义、标准方程以及转化思想和运算求解才能，难度适中；【解析】 由双曲线的方程可知a1

15、,c2,pf1pf22 a2,2pf12 pf1pf22pf24222pfpf ,pfpf2c8,2 pfpf4,121212 pfpf 28412,pfpf231212【点评】 解题时要充分利用双曲线的定义和勾股定理，实现差积和的转化；x 2y210. 【2021 高考江苏8】（ 5 分） 在平面直角坐标系xoy 中，如双曲线【答案】 2；【考点】 双曲线的性质；mm21 的离心率为5 ，就 m 的值为4x2【解析】 由y1 得 a=m，b=m24，c=mm24 ；2mm24cmm24 e=5 ，即 amm24m4=0 ，解得m=2 ；511【.2021 高考安徽文14】过抛物线y24x 的

16、焦点 f 的直线交该抛物线于a, b 两点，如 | af|3 ，就 | bf| = ；【答案】32【解析】设afx0 及 bfm ；就点 a 到准线l : x1 的距离为 3得： 323coscos1 又 m 32 m cosm231cos212. （20xx 年高考辽宁卷文科7 已知 f是抛物线 y2x的焦点， ab 是该抛物线上的两点,|af|+|bf|=3,就线段ab 的中点到y 轴的距离为；解析： 设 a 、b 的横坐标分别是m、n，由抛物线定义，得 afbf3 =m+ 141+n+41= m+n+25=3，故 m+n=，2mn5245，故线段ab 的中点到y 轴的距离为；413、【2

17、021 高考广东文20】（本小题满分14 分）x2y2在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆上 .c1 ：221（ ab ab0 ）的左焦点为f1 1,0 ，且点p0,1在 c1（1）求椭圆c1 的方程；（2）设直线 l 同时与椭圆c1 和抛物线c2 ：y24x 相切，求直线l 的方程 .【解析】（ 1）由于椭圆c1 的左焦点为f1 1,0 ，所以 c1 ，x2y21点 p0,1 代入椭圆221，得21 ，即 b1 ，abb所以 a 2b2c22 ，所以椭圆x2c1 的方程为2y21.（ 2）直线 l 的斜率明显存在，设直线l 的方程为ykxm ，2xy 212，消去 y 并整理得12k 2 x

18、24kmx2m220 ，ykxm由于直线 l 与椭圆c1 相切，所以16k 2m2412k 2 2m220 ，整理得 2k 22m106y24xykxm，消去 y 并整理得k2 x22km4 xm20 ；由于直线 l 与抛物线c2 相切，所以2km424k2 m20 ，整理得 km1综合，解得22kk2或2；m2m2所以直线 l 的方程为y2 x22 或 y2 x2 ；214、【2021 高考安徽文20】（本小题满分13 分）如图，x 2f1 , f2 分别是椭圆c ：2ay2+2 =1（a bb0 ）的左、 右焦点， a 是椭圆 c 的顶点， b 是直线af2与椭圆 c 的另一个交点，f1

19、af2 =60° .（）求椭圆c 的离心率；（）已知af1b 的面积为403 ，求 a, b 的值 .【解析】（ i）f1af260a2cec1 a2（）设bf2m ；就bf12am在bf1f2 中，2bf12bf22f1 f22 bf2f1f2cos1202am2m2a2amm3 a 5s1f fabsin 601aa3 a34032af1 b 面积21a10, c5,b5325215.【2102 高考北京文19】本小题共14 分2已知椭圆c： xa 2两点 m,ny2+ b2=1（a b 0）的一个顶点为a （ 2,0），离心率为2 ， 直线 y=kx-1 与椭圆 c 交与不同的

20、2（）求椭圆c 的方程（）当 amn的面积为103时，求 k 的值【考点定位】此题难度集中在运算，但是整体题目难度的确不大，从形式到条件的设计都是特别熟识的，信任平常对曲线的练习程度不错的同学做起来应当是比较简洁的；7解：（ 1）由题意得a2c2解得 b22 .所以椭圆c 的方程为x2y1 .yk xa242a 2b2c21（ 2）由x2y得 12k2 x2214k 2 x2k 240 .424 k 22k 24设点 m,n 的坐标分别为x1, y1 ， x2 , y2 ，就 y1k x11 ， y2kx21 ， x1x22 ， x1x22 .所以 |mn|=xx 2 yy2 =1k2 xx

21、24x x21 =k 2 46k 2 12 k.12k2121121 212k2由由于点a2,0 到直线yk x1）的距离 d| k |，12k 21| k |46k 2| k |46k 210所以 amn的面积为 s| mn | d212k 2. 由12k2，解得k1 .316.【2102 高考福建文21】（本小题满分12 分）如图，等边三角形oab 的边长为 83 ，且其三个顶点均在抛物线e： x2=2py（ p 0）上；（ 1）求抛物线e 的方程；（ 2）设动直线l 与抛物线e 相切于点p，与直线y=-1 相较于点 q；证明以pq 为直径的圆恒过y 轴上某定点；考点： 圆锥曲线的定义，直

22、线和圆锥曲线的位置关系，定值的证明；难度： 难；分析： 此题考查的学问点为抛物线方程的求解，直线和圆锥曲线的联立，定值的表示及运算；解答：（ i）设a x , y , b x , y ；就 x22 py , x22 py11221122oaobx2y 2x 2y22 pyy2 2 pyy211221122 y1y 22 py 1y 20y1 y 2 2 p, y , y102 得：点a, b 关于 y 轴对称（ lfxlby ）oaobab83a43,12, b43,122代入抛物线e 的方程得：px22 y抛物线 e 的方程为x24 y8x211（ ii ）设p x0 ,0 ；就 yx2yx442过点 p 的切线方程为y1 x21 x xx 即 y1 x x1 x2令 y1q04x22x0000004224,1设 m 0, t 满意：mp mq0及 mp00 x , yt , mq x04 ,1t22 x0得： 4t 2t21t x20 对 x00 均成立0t 2t20,1t0t1以 pq 为直径的圆恒过y 轴上定点 m 0,117.【2021 高考上海文22】（此题满分16 分）此题共有3 个小题，第1 小题满分5 分，第 2 小题满分5 分，第 3 小题满分 6 分在平面直角坐标系xoy 中，已知双曲线c : 2x2y21（ 1）设 f 是