数学方法在物理中的应用

1、数学方法在物理中的应用 方法概述 数学是解决物理问题的重要工具，借助数学方法可使一些复杂的物理问题显示出明显的规律性，能达到打通关卡、长驱直入地解决问题的目的中学物理考试大纲中对学生应用数学方法解决物理问题的能力作出了明确的要求，要求考生有“应用数学处理物理问题”的能力对这一能力的考查在历年高考试题中也层出不穷，如2009年高考北京理综卷第20题、宁夏理综卷第18题、江苏物理卷第15题；2008年高考四川理综卷第24题、延考区理综卷第25题、上海物理卷第23题、北京理综卷第24题等 所谓数学方法，就是要把客观事物的状态、关系和过程用数学语言表达出来，并进行推导、演

2、算和分析，以形成对问题的判断、解释和预测可以说，任何物理问题的分析、处理过程，都是数学方法的运用过程本专题中所指的数学方法，都是一些特殊、典型的方法，常用的有极值法、几何法、图象法、数学归纳推理法、微元法、等差(比)数列求和法等 一、极值法 数学中求极值的方法很多，物理极值问题中常用的极值法有：三角函数极值法、二次函数极值法、一元二次方程的判别式法等 1利用三角函数求极值 yacos bsin  a2b2(aa2b2cos ba2b2sin ) 令sin aa2b2，cos 

3、ba2b2 则有：ya2b2(sin cos cos sin ) a2b2sin () 所以当2时，y有最大值，且ymaxa2b2 2利用二次函数求极值 二次函数：yax2bxca(x2baxb24a2)cb24aa(xb2a)24acb24a(其中a、b、c为实常数)，当xb2a 时，有极值ym4acb24a(若二次项系数a>0，y有极小值；若a<0，y有极大值) 3均值不等式 对于两个大于零的变量a、b，若其和ab为一定值p，则当ab时，其积ab取得

4、极大值 p24；对于三个大于零的变量a、b、c，若其和abc为一定值q，则当abc时，其积abc取得极大值 q327 二、几何法 利用几何方法求解物理问题时，常用到的有“对称点的性质”、“两点间直线距离最短”、“直角三角形中斜边大于直角边”以及“全等、相似三角形的特性”等相关知识，如：带电粒子在有界磁场中的运动类问题，物体的变力分析时经常要用到相似三角形法、作图法等与圆有关的几何知识在力学部分和电学部分的解题中均有应用，尤其在带电粒子在匀强磁场中做圆周运动类问题中应用最多，此类问题的难点往往在圆心与半径的确定上，确定方法有以下几种 1依切线的性

5、质确定从已给的圆弧上找两条不平行的切线和对应的切点，过切点作切线的垂线，两条垂线的交点为圆心，圆心与切点的连线为半径 三、图象法 中学物理中一些比较抽象的习题常较难求解，若能与数学图形相结合，再恰当地引入物理图象，则可变抽象为形象，突破难点、疑点，使解题过程大大简化图象法是历年高考的热点，因而在复习中要密切关注图象，掌握图象的识别、绘制等方法 1物理图象的分类 整个高中教材中有很多不同类型的图象，按图形形状的不同可分为以下几类 (1)直线型：如匀速直线运动的st图象、匀变速直线运动的vt 图象、定值电阻的UI图象等 (2)正

6、弦曲线型：正弦式交变电流的et图象、 (3)其他型：分子力与分子间距离的fr图象等 下面我们对高中物理中接触到的典型物理图象作一综合回顾，以期对物理图象有个较为系统的认识和归纳 图  象 函数形式 特例 物理意义  yc 匀速直线运动的vt图象 做匀速直线运动的质点的速度是恒矢量  ykx 匀速直线运动的st图象 初速度v00的匀加速直线运动的vt 图象(若v00，则纵截距不为零) 纯电阻电路的IU图象 表

7、示物体的位移大小随时间线性增大 表示物体的速度大小随时间线性增大 表示纯电阻电路中I随导体两端的电压U线性增大  yakx 匀减速直线运动的vt图象 闭合电路中的UI图象(UEIr) 表示物体的速度大小随时间线性减小 表示路端电压随电流的增大而减小  yaxb·x (双曲线函数) 由纯电阻用电器组成的闭合电路的UR图象(UERrR) 在垂直于匀强磁场的XCzt71tifBP导轨上，自由导体棒在一恒定动力F的作用下做变加速运动的vt图象 表示纯电阻

8、电路中电源的端电压随外电阻而非线性增大 将达到稳定速度vmFR总ykx2 (抛物线函数) 小灯泡消耗的实际功率与外加电压的PU 图象 位移与时间的st图象(s12at2) 表示小灯泡消耗的实际功率随电压的增大而增大，且增大得越来越快 表示位移随时间的增大而增大，且增大得越来越快  xyc (双曲线函数) 机械在额定功率下，其牵引力与速度的关系图象(PFv) 表示功率一定时，牵引力与速度成反比  yAsin t 交流电的et图象(eEms

9、in t) 表示交流电随时间变化的关系 2物理图象的应用 (1)利用图象解题可使解题过程更简化，思路更清晰 利用图象法解题不仅思路清晰，而且在很多情况下可使解题过程得到简化，起到比解析法更巧妙、更灵活的独特效果甚至在有些情况下运用解析法可能无能为力，但是运用图象法则会使你豁然开朗，如求解变力分析中的极值类问题等 (2)利用图象描述物理过程更直观 从物理图象上可以比较直观地观察出物理过程的动态特征 (3)利用物理图象分析物理实验 运用图象处理实验数据是物理实验中常用的一种方法，这是因为它除了具有简明、直观、

10、便于比较和减少偶然误差的特点外，还可以由图象求解第三个相关物理量，尤其是无法从实验中直接得到的结论 3对图象意义的理解 (1)首先应明确所给的图象是什么图象，即认清图象中比纵横轴所代表的物理量及它们的“函数关系”，特别是对那些图形相似、容易混淆的图象，更要注意区分例如振动图象与波动图象、运动学中的 st 图象和vt图象、电磁振荡中的it图象和qt图象等 (2)要注意理解图象中的“点”、“线”、“斜率”、“截距”、“面积”的物理意义 点：图线上的每一个点对应研究对象的一个状态要特别注意“起点”、“终点”、“拐点”、“交点”，它们往往对应

11、着一个特殊状态如有的速度图象中，拐点可能表示速度由增大(减小)变为减小(增大)，即加速度的方向发生变化的时刻，而速度图线与时间轴的交点则代表速度的方向发生变化的时刻 线：注意观察图线是直线、曲线还是折线等，从而弄清图象所反映的两个物理量之间的关系 斜率：表示纵横坐标上两物理量的比值常有一个重要的物理量与之对应，用于求解定量计算中所对应的物理量的大小以及定性分析变化的快慢如 vt 图象的斜率表示加速度 截距：表示纵横坐标两物理量在“边界”条件下物理量的大小由此往往可得到一个很有意义的物理量如电源的UI图象反映了UEIr的函数关系，两截距点分别为(

12、0，E)和èæøöEr，0 面积：有些物理图象的图线与横轴所围的面积往往代表一个物理量的大小如vt图象中面积表示位移 4运用图象解答物理问题的步骤 (1)看清纵横坐标分别表示的物理量 (2)看图象本身，识别两物理量的变化趋势，从而分析具体的物理过程 10 T2，结合左手定则可知，选项A、D正确 答案 AD 10如图甲所示，传送带通过滑道将长为L、质量为m的匀质物块以初速度v0向右送上水平台面，物块前端在台面上滑动s距离停下来已知滑道上的摩擦不计，物块与台面间的动摩擦

13、因数为而且s>L，则物块的初速度v0为(  )  甲 A2gL  B2gsgL C2gs  D2gsgL 【解析】 物块位移在由0增大到L的过程中，对台面的压力随位移由0均匀的增加至mg，故整个过的摩擦力的大小随位移变化的图象如图乙所示，图中梯形“面积”即为物块克服摩擦力所做的功  乙 由动能定理得：12mg(sLs)12mv02 可解得v02gsgL 答案 B 二、非选择题(共60分) 1

14、2(9分)用高电阻放电法测电容的实验，是通过对高阻值电阻放电的方法，测出电容器的充电电压为U时，所带的电荷量为Q，从而再求出待测电容器的电容C某同学的实验情况如下： A按图甲所示的电路连接好实验电路； B接通开关S，调节电阻箱R的阻值，使小量程电流表的指针偏转接近满刻度，记下这时电流表的示数I0490 A 及电压表的示数U06.2 V，I0和U0分别是电容器放电的初始电流和电压； C断开开关S，同时开始计时，每隔5 s或10 s测一次电流I的值，将测得数据填入预先设计的表格中，根据表格中的数据(10组)在以时间t为

15、横坐标、电流I为纵坐标的坐标纸上描点，即图乙中用“×”表示的点  (1)实验中，电阻箱所用的阻值R_ (2)试根据上述实验结果，在图乙中作出电容器放电的It 图象 (3)经估算，该电容器两端的电压为U0时所带的电荷量Q0约为_C；该电容器的电容C约为_F 【解析】由QI·t知，电荷量为It图象与坐标轴所包围的面积，计面积时可数格数(四舍五入) 答案 (1)1.3×104 (3分) (2)用平滑曲线连接 (2分) (3)(8.09.0)×103&#

16、160;(1.291.45)×103 (每空2分) 13(10分)质量为60 kg的消防队员从一根竖直的轻绳上由静止滑下，经2.5 s落地轻绳受到的拉力变化情况如图甲所示，取g10 m/s2在消防队员下滑的过程中 (1)其最大速度和落地速度各是多大？ (2)在图乙中画出其vt图象 (3)其克服摩擦力做的功是多少？  【解析】(1)设该队员先在t11 s的时间内以加速度a1匀加速下滑，然后在t21.5 s的时间内以加速度a2匀减速下滑 第1 s内由

17、牛顿第二定律得： mgF1ma1 (1分) 最大速度vma1t1 (1分) 代入数据解得：vm4 m/s (1分) 后1.5 s内由牛顿第二定律得： F2mgma2 该队员落地时的速度vvma2t2 (1分) 代入数据解得：v1 m/s (2)图象如图丙所示 (2分) (3)该队员在第1 s内下滑的高度h112a1t12 (1分) 该队员在后1.5 s内下滑的高度h2vmt212a2t2

18、2 (1分) 由动能定理得： mg(h1h2)Wf12mv2 (1分) 代入数据解得：Wf3420 J (1分)  丙 答案 (1)最大速度为4 m/s，落地速度为1 m/s (2)如图丙所示 (3)3420 J 14(11分)A、B两小球由柔软的细线相连，线长L6 m，现将A、B球先后以相同的初速度v04.5 m/s从同一地点水平抛出(先A、后B)，相隔时间t00.8 s取g10 m/

19、s2，问： (1)B球抛出后经过多长时间细线刚好被拉直？(线拉直时，两球都未落地) (2)细线刚被拉直时，A、B两球的水平位移(相对抛出点)各为多大？ 【解析】(1)A球先抛出，0.8 s时间内 水平位移s0v0t04.5×0.8 m3.6 m (1分) 竖直位移：h012gt212×10×0.82 m3.2 m (1分) A、B球都抛出后，若A球以B球为参照物，则水平方向相对速度为：vABx0，竖直方向上A相对B的速度为： 

20、vABygt08 m/s (1分) 设B球抛出后经过时间t线被拉直，则有：  (h0vABy·t)2s02L2 (2分) 解得：t0.2 s (1分) (2)至线拉直A球运动的总时间： tAt0t1 s (2分) 故A球的水平位移sAv0tA4.5 m (2分) B球的水平位移sBv0t0.9 m (1分) 答案 (1)0.2 s (2)4.5 m

21、 0.9 m 15(12分)光滑平行的金属导轨MN和PQ的间距L1.0 m，它们与水平面之间的夹角30°，匀强磁场的磁感应强度B2.0 T，方向垂直于导轨平面向上，M、P间连接有阻值R2.0  的电阻，其他电阻不计，质量m2.0 kg的金属杆ab垂直于导轨放置，如图甲所示用恒力F沿导轨平面向上拉金属杆ab，使其由静止开始运动，其vt图象如图乙所示取g10 m/s2，设导轨足够长  (1)求恒力F的大小 (2)金属杆的速度为2.0 m/s时，加速度为多大？&

22、#160;(3)根据vt图象估算在前0.8 s内电阻上产生的热量 【解析】(1)由图乙知，杆运动的最大速度vm4 m/s (2分) 此时有：Fmgsin F安 mgsin B2L2vmR (1分) 代入数据得：F18 N (1分) (2)对杆进行受力分析，如图丙所示，由牛顿第二定律可得： 丙 FF安mgsin ma (1分) aFB2L2vRmgsin m 代入数据得：a2.0 m/s2

23、 (1分) (3)由图乙可知，0.8 s末金属杆的速度v12.2 m/s  (1分) 前 0.8 s 内图线与t轴所包围的小方格的个数约为27，面积为27×0.2×0.21.08，即前0.8 s内金属杆的位移为： s1.08 m (2分) 由能的转化与守恒定律得： QFsmgssin 12mv12 (2分) 代入数据得：Q3.80 J (1分) 答案 (1)18 N (2)2.0 m/s2 (3)3.80 J 16(12分)为研究静电除尘，有人设计了一个盒状容器，容器侧面是绝缘的透明有机玻璃，它的上下底面是面积S0.04 m2的金属板，间距L0.05 m，当连接到U2500 V 的高压电源正负两极时，能在两金属板间产生一个匀强电