第四节解的结构

1、复习：复习：向量组的极大无关组向量组的极大无关组向量组的秩向量组的秩11112212112222112200 0nnnnmmmnna xa xa xa xa xa xa xa xa x axo 第五节第五节 线性方程组解的结构线性方程组解的结构a 12000,nxxx 恒恒 有有 零零 解解 ：( )只有零解（惟一解）r an( )有非零解（无穷多组解）r an解的情形只有两种:一一.齐次线性方程组解的结构：齐次线性方程组解的结构： 例例 解方程组解方程组 121202411012210 12420 xxx ()ao 解解121200033000000 120100011000000 340

2、xx 123412341234220240220 xxxxxxxxxxxx 124342xxxxx 1122xcc 21xc 32xc 42xc 121,0cc 12x 21x 30 x 40 x 120,1cc 11x 20 x 31x 41x 12100 21011 30000 56222 43111 .问题问题1：无穷多个向量如何找极大无关组？：无穷多个向量如何找极大无关组？问题问题2：极大无关组的线性组合是否仍然是：极大无关组的线性组合是否仍然是 方程组的解？方程组的解？解向量组解向量组若能找出一个极若能找出一个极大无关组，则：大无关组，则：每一个解每一个解向量都可向量都可由极大无由极

3、大无关组线性关组线性表出表出1.齐次线性方程组解的性质：齐次线性方程组解的性质：1a 2a 12()a 12aa a ()a k k 两个解的和还是解两个解的和还是解 一个解的倍数还是解一个解的倍数还是解综合以上两点可知：综合以上两点可知：对于齐次线性方程组，解的线性组对于齐次线性方程组，解的线性组合还是解合还是解.如果找到一个解向量组的极大无关组，则：如果找到一个解向量组的极大无关组，则：()k a 1、每一个解向量都可由极大无关组线性表出。、每一个解向量都可由极大无关组线性表出。2、极大无关组的线性组合仍然是方程组的解。、极大无关组的线性组合仍然是方程组的解。综上：对于齐次线性方程组的解向

4、量组，只要综上：对于齐次线性方程组的解向量组，只要 找到一个极大无关组即可。找到一个极大无关组即可。齐次线性方程组的解向量组的一个极大无关组齐次线性方程组的解向量组的一个极大无关组称为方程组的一个基础解系称为方程组的一个基础解系2.基础解系：基础解系：由基础解系的定义可知，基础解系应满足如下条件：由基础解系的定义可知，基础解系应满足如下条件：（1 ）线性无关；）线性无关；（2 ）任一个解都能由它线性表出）任一个解都能由它线性表出. 注：注： 基础解系一般不基础解系一般不惟一惟一思考：为什么？思考：为什么？11112212112222112200 0nnnnmmmnna xa xa xa xa

5、xa xa xa xa x 3.求一组基础解系的方法：求一组基础解系的方法：11 12 1 21 22 2 1 2 nnmmmnaaaaaaaaaa 简化阶梯简化阶梯形形 ()ao 1,11,21,2,12,22,1,2,10.0.001.0.0.00.1.000.000.00.00.000.00rrnrrnr rr rr nkkkkkkkkk111112211211rrnnrrnnrrrrrnnxkxk xxkxk xxkxk x 自由未知量自由未知量12 rrnxxx 取值取值10,0 1 11rk 21rk 1rrk 10 001,0 122222,010rrrrkkk 00,1 12,

6、001nnrnn rkkk 12,n r 就是基础解系。就是基础解系。11121212221212,100010001rrnrrnrrrrrnnrkkkkkkkkk 设设 为方程组为方程组12nddd 任一解任一解111112211211rrnnrrnnrrrrrnnxkxk xxkxk xxkxk x 故故111112211211rrn nrrn nrrrrrn ndkdk ddkdk ddkdk d 11112112111 rrn nrrn nrrrrn nrnkdk dkdk dkdk ddd 11112112111 rrn nrrn nrrrrn nrnkdk dkdk dkdk dd

7、d 112111100rrrrrkkkd 12001nnrnnkkkd 11rnnrdvd v 即任一解都可由即任一解都可由 线性表出线性表出12,n r 定理定理 如果齐次线性方程组有非零解，那么它如果齐次线性方程组有非零解，那么它一定有基础解系一定有基础解系n r 4.基础解系的存在性基础解系的存在性，且基础解系含有，且基础解系含有 个解向量个解向量注：注： 基础解系含有基础解系含有 个解向量，个解向量， 来自于来自于自由未知量的个数自由未知量的个数nr nr 例例1 求齐次方程组的基础解系及通解求齐次方程组的基础解系及通解123451234512345123453520-2340-794

8、5031422-90 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 解解 1922143549714131212531a 000000000052535710511515401134523454111555 372555xxxxxxxx 方程组的一般解为方程组的一般解为134523454111555372555xxxxxxxx 345 xxx 令令01 ,0 001 14575100 ，21535010 ，311525001 ,100 得基础解系得基础解系112233ccc123, ,c c c故通解为故通解为（ 为任意常数）为任意常数）二非齐次线性方程组解的结构二非齐次线性方程组解的结构1111

9、2211211222221122 nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xba xaxa xb 11 12 1 21 22 2 1 2 nnmmmnaaaaaaaaaa 12mbbbb 12nxxxx axb ab ()( )r abr a 线性线性方程方程组有解组有解()()r abr an ()()r abr an 有惟一解有惟一解有无穷多解有无穷多解任意一个确定的解都任意一个确定的解都称为它的一个称为它的一个特解特解.构成了一个构成了一个解向量组解向量组思考：能否用极大无关组表示非齐次思考：能否用极大无关组表示非齐次线性方程组的全部解？线性方程组的全部解？1、非齐次线性

10、方程组的任意解、非齐次线性方程组的任意解能否能否用其解向量组的极大无关组表示用其解向量组的极大无关组表示？2、非齐次线性方程组的解向量组的、非齐次线性方程组的解向量组的极大无关组的线性组合，是否仍是极大无关组的线性组合，是否仍是非非齐次线性方程组的解？齐次线性方程组的解？1、两个非齐次的解相加，是否是非齐次的解？、两个非齐次的解相加，是否是非齐次的解？2、非齐次的解的倍数，是否是非齐次的解？、非齐次的解的倍数，是否是非齐次的解？结论：非齐次的解的线性组合不结论：非齐次的解的线性组合不一定是非齐次的解一定是非齐次的解ab ab ()a aa bb 2b ab ()a k k b kb ()k a

11、 非齐次的非齐次的解向量组解向量组非齐次的解向量组的极非齐次的解向量组的极大无关组的线性组合大无关组的线性组合 非齐次的解向量组的极大无关组对解的结非齐次的解向量组的极大无关组对解的结构问题毫无意义！构问题毫无意义！齐次线性方程组称为非齐次线性方程齐次线性方程组称为非齐次线性方程组的导出组组的导出组axo axb .非齐次线性方程组的两个解的差是其导出组的非齐次线性方程组的两个解的差是其导出组的解解.ab ab ()a aa bb 总之，两条：总之，两条：非齐次减非齐次是齐次非齐次减非齐次是齐次非齐次加齐次非齐次加齐次还是还是非齐次非齐次1.非齐次线性方程组的解与它的导出组的解之间有如非齐次线

12、性方程组的解与它的导出组的解之间有如 下关系：下关系：ab a ()a aa b b .非齐次线性方程组的一个解与它的导出组的非齐次线性方程组的一个解与它的导出组的 一个解一个解的和还是的和还是非齐次线性方程组的非齐次线性方程组的解解.可以通过齐次（导出组）的解的结可以通过齐次（导出组）的解的结构，研究非齐次的解的结构构，研究非齐次的解的结构2.非齐次线性方程组解的结构非齐次线性方程组解的结构 若非齐次方程有无穷多解若非齐次方程有无穷多解，则其通解可表示为，则其通解可表示为0 12-,n r ，其中其中 是其任意一个特解，是其任意一个特解， 是其导是其导出组的基础解系，出组的基础解系，0+ 1

13、122 n rn rkkk01122(1) n rn rkkk这是因为这是因为:确实是非齐次方程的解确实是非齐次方程的解.为什么？为什么？（2）非齐次方程的任意一个解都可以表示成）非齐次方程的任意一个解都可以表示成01122 n rn rkkk设设是非齐次方程的任意一个解，是非齐次方程的任意一个解， 则则是其导出组的解是其导出组的解0 于是：于是：01122 n rn rkkk01122n rn rkkk即非齐次方程的任意一即非齐次方程的任意一个解都可以表示成：个解都可以表示成：01122 n rn rkkk非齐次线性方程非齐次线性方程组的解向量组组的解向量组01122 n rn rkkk12

14、, n rk kk 是任意实数是任意实数. 11111122211211rrnnrrnnrrrrrrnnxkkxk xxkkxk xxkkxk x 1200 ,0rrnxxx 2 2. .令令1000rkk 3求求非齐次线性方程组通解的步骤非齐次线性方程组通解的步骤1 ()ab 简化阶梯形简化阶梯形得特解得特解00,1 ,010 12,.n r ，01122 n rn rccc12-,n rccc1210 , 0rrnxxx 令令得得导出组的基础解系导出组的基础解系其中是任意常数其中是任意常数11111122211211rrnnrrnnrrrrrrnnxkkxk xxkkxk xxkkxk x

15、 写出导出组的一般解写出导出组的一般解即为非齐次方即为非齐次方程的通解，程的通解，12345123452345123457323-2 22623534312xxxxxxxxxxxxxxxxxxx 111117312132 ()02126235343112ab 解解例例2 用基础解系表示方程组的全部解用基础解系表示方程组的全部解135234591222 231322xxxxxxx 91100222231011322000000000000 方程组的一般解为方程组的一般解为092232000 1352345122132xxxxxxx 34510,0 xxx 令令,010 001 得方程组的一个特得

16、方程组的一个特解解原方程组的导出组的一般解为原方程组的导出组的一般解为34500,0 xxx 令令得基础解系得基础解系135234591222231322xxxxxxx 1 1212100 201010 323001 0112233ccc123,c c c故原方程组通解为故原方程组通解为其中其中 为任意常数为任意常数.1.理解齐次线性方程组的基础解系、理解齐次线性方程组的基础解系、通解等概念通解等概念2.理解齐次线性方程组解的性质，掌理解齐次线性方程组解的性质，掌握齐次线性方程组基础解系和通解的握齐次线性方程组基础解系和通解的求法求法3.理解非齐次线性方程组解的性质，理解非齐次线性方程组解的性

17、质，掌握非齐次线性方程组通解的求法掌握非齐次线性方程组通解的求法小 结 1.求齐次线性方程组的一个基础解系求齐次线性方程组的一个基础解系课堂练习：课堂练习：123412423412342023036022250 xxxxxxxxxxxxxx 142434152122xxxxxx 令令 得基础解系为得基础解系为41,x 1521221 答案：答案：2.用基础解系表示用基础解系表示线性方程组的全部解线性方程组的全部解课堂练习：课堂练习： 答案：答案：12341234124123452311342594175361xxxxxxxxxxxxxxx 1342349117211272xxxxxx 全部解为

18、全部解为129112721127001010cc 12,c c（ 为任意常为任意常数）数）也是也是 的基础解系的基础解系补例补例1.设设 是是 的一个基础解系，证明：的一个基础解系，证明：123, axo axo 122331, 证：证： (1)证证 的基础解系存在，且含的基础解系存在，且含3个解个解axo 123, 是是 的解的解axo 123,ao ao ao123,ao ao ao因为因为 是是 的一个基础解系的一个基础解系123, axo 故故 的基础解系存在，且含的基础解系存在，且含3个解个解axo (2)证证是是 的解的解122331, axo 也是也是 的基础解系的基础解系1.设设 是是 的一个基础解系，证明：的一个基础解系，证明：123, axo axo 122331, 证：证：1