微积分基本公式197579

1、积分上限函数积分上限函数定义定义 设函数设函数 f (x) 在区间在区间 a , b 上连续上连续, x 为为 a , b上的变量上的变量,则则是定义在区间是定义在区间a , b上的函数上的函数,称其为称其为积分上限函数积分上限函数.( )xaf t dt ( )s xotyab( )yf t x( )( )xas xf t dt 例例:函数函数 f (t ) = t 的积分上限函数的积分上限函数积分上限函数积分上限函数0021020( )( )( )21(1)2(2)2xxxf t dttdtxxtdttdt xtoyyt ( )x x原函数存在定理原函数存在定理定理定理 如果如果 f (x

2、) 在在 a , b 连续连续,则积分上限函数则积分上限函数就是就是 f (x) 在在 a , b 上的一个原函数上的一个原函数.即即:( )( )xaxf t dt ( )( )xf x 或或( )( )xf x dx ( )( )xf xx 例例:函数函数 f (t ) = t 的积分上限函数的积分上限函数0( )xxtdt ( )( )( )( )xaxf t dtxf x 原函数存在定理原函数存在定理证证:()( )( )( )( )xxxaaxxxxxxf t dtf t dtf t dt 存在存在 ,x xx 可使可使( )( )xxxf t dtfx 00()( )( )( )l

3、imlim( )xxxxxfxxf xxx 思考思考:已知已知20( )ln(1)xf t dtx , 求求 f (1).提示提示:( )( )( )( )xaxf t dtxf x 原函数存在定理原函数存在定理例例:求求20ln (1)xdtdtdx 例例:求求1cosxdtdtdx ( )( )( )( )xaxf t dtxf x 牛顿莱布尼茨公式牛顿莱布尼茨公式定理定理 若若 f(x) 是连续函数是连续函数 f (x) 在区间在区间 a , b 上的上的一个原函数一个原函数,则则( )( )( )( ).bbaaf x dxf xf bf a 例例:2222200202222xxdx

4、例例:求求22sin xdx 例例:求求221x dx 证证:设设 f(x) 是是 f (x) 的一个原函数的一个原函数,( )( ),( )( ), , xf xf xxcxa b 当当 x = a 得得( )( ),f aac( )( )( )( ).bbaaf x dxf xf bf a ( )( )xaxf t dt 即即 (x) 也是也是 f (x) 的原函数的原函数.牛顿莱布尼茨公式牛顿莱布尼茨公式( )( )( )( )xf xcf xf a( )( )( )( )babf t dtf bf a 又因为定积分的值与积分变量字母无关又因为定积分的值与积分变量字母无关,( )( )(

5、 )( )bbaaf x dxf t dtf bf a( )( )0( )aaaf x dxf ac q q牛顿莱布尼茨公式牛顿莱布尼茨公式例例:求求10(2)xxedx 例例:求求12()exdxx ( )( )( )( ).bbaaf x dxf xf bf a 例例:求求102(2)xdxx 例例:求求240(cossec)xx dx 牛顿莱布尼茨公式牛顿莱布尼茨公式例例:已知已知201( )12xxf xxx ,求求20( ).f x dx xyo( )f x12牛顿莱布尼茨公式牛顿莱布尼茨公式例例:已知已知212( )01xxxf xex ,求求20( ).f x dx 牛顿莱布尼茨

6、公式牛顿莱布尼茨公式sin x dx 例例:求求0cos x dx 例例:求求例例:求求2021xdx 例例:求求201x dx 221x dx 例例:求求例例:求求和和221t dt 2cosyx 在在0,2x 的平均值的平均值.牛顿莱布尼茨公式牛顿莱布尼茨公式例例:连续可导函数连续可导函数 f (x) 有有 f (a) = 3, f (b) = 5, 求求 ( ).bafx dx 例例:00( )cossinsinsin0sin( )cosxxxtdttxxxx 积分上限函数的导数积分上限函数的导数利用牛顿利用牛顿莱布尼茨公式反过来理解积分上限函数莱布尼茨公式反过来理解积分上限函数(注注:

7、此为非正规方式此为非正规方式)( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )xxaaxf t dtf tf xf axf xf afxf x 设设:( )( )f tf t ,则则积分上限函数的导数积分上限函数的导数例例:试用牛顿试用牛顿莱布尼茨公式理解下列积分上限莱布尼茨公式理解下列积分上限函数函数.21( )xxt dt 0( )cosxxtdt 20( )cosxxtdt sin0( )xtxe dt 积分上限函数的导数积分上限函数的导数定理定理:( )( ) ( )( );xadf t dtfxxdx 2222coscos() ()2cosxadtdtxxxxdx 例例:

8、也可用牛顿也可用牛顿莱布尼茨公式理解此定理莱布尼茨公式理解此定理222222cossinsin()sincossin()sin 2cosxxaaxatdttxadtdtxaxxdx 积分上限函数的导数积分上限函数的导数定理定理:( )( ) ( )( );xadf t dtfxxdx sin0 xtde dtdx 例例:求求22sinxdtdtdxt 例例:求求20tanxdttdtdx 例例:求求积分上限函数的导数积分上限函数的导数定理定理:设设( )( ) ( )( );xadf t dtfxxdx ( )( )( )( )( ) ( )( );( ) ( )( ) ( )( ).xxaa

9、xaf t dtf tfxf adf t dtfxf adxfxx ( )( )f tf t ,则则积分上限函数的导数积分上限函数的导数定理定理:( )( ) ( )( );xadf t dtfxxdx 1cos2xedtdtdx 例例:求求122ln(1)xdtdtdx 例例:求求定理定理:( )( )( ) ( )( ) ( )( ).xxdf t dtfxxfxxdx 积分上限函数的导数积分上限函数的导数2222sinsin() ()sin() ()2 sinsinxxxxexxdtdtxxeedxxxee 例例:2lncosxxdtdtdx 例例:求求020sinlimxxtdtx 例

10、例:求求121(1)lim(1)xxt tdtx 例例:求求积分上限函数的导数积分上限函数的导数( )( )xaxf t dt 连续积分上限函数连续积分上限函数满足满足:( )( )0aaaf t dt lim( )lim( )0 xaxaxaxf t dt ,则有则有020ln(1)limxxtdtx 例例:求求积分上限函数的导数积分上限函数的导数2cos120limxtxedtx 思考思考:200ln(1)lim1cosxxt dtx 思考思考:定积分的物理意义定积分的物理意义变速直线运动的路程变速直线运动的路程设某物体作直线运动设某物体作直线运动, ,已知速度已知速度 v(t) 是时间间隔是时间间隔t1 , t2 上时间上时间 t 的一个连续函数的一个连续函数,且且 v(t) 0, 则则物体在这段时间内所经过的路程为：物体在这段时间内所经过的路程为：2101lim()( ).ntiitisvtv t dt 10tt 1t2t3t.1it 2ntt .siti 变速直线运动的路程变速直线运动的路程2101lim()( ).ntiitisvtv t dt 例例:某物体做匀加速直线运动某物体做匀加速直线运动,速度为速度为 v(t ) = 2 + 3t;问从问从 t = 0 时刻到时刻到 t = 10 时刻时刻,求其间物体的位移求其间物体的位移.10001lim()(