上海高三数学二模试卷汇编——三角函数要点

1、第三部分三角比与三角函数三角比1. 【2014年虹口区二模文理第7题】已知t an = 2, tan(a + P) = _1 ,则t a nP =.【答案：3】2. 【2014年普陀区二模文第 5题】若cosot = 1 (0 <o(M冗)，则sin 2a =333. 【2014年品定、长丁区二模又第9题】已知tan a =-一 ,则cos2a =4【答案：254. 【2014年四区二模理第14题】正方形6和S2内接于同一个直角三角形 ABC中，如图所示，设 /A =,若 S1 =441,S2 = 440 ,则 sin 2 =7一 一 1【答案：sin2« = 105.【201

2、4年奉贤区二模文第10题】已知函数f (x)=cosxsin x则方程f x cosx=0的解是k 二 二【答案：x = (k Z)2126.【2014年嘉定、长宁区二模文第6题】已知向量a=(sin9,1), b = (1,cos0),其中0 <6 < u,若a_Lb,则曰=.【答案：3247.【2014年四区二模文第 6题】(文)若xw(一n,兀)，则方程J3sin2x cos2x = 1的解是.5 二 二二二【答案：,- -】6 2 6 28.【2014年崇明二模文理第 6题】方程sin x+cosx =1的解集是一冗【答案：x|x =2k：t 或 x = 2k：t wkw

3、Z】 29.【2014年徐汇、金山、松江区二模文理第8题】已知函数 f (x) =arcsin(2x+1),则 f,(")=6-1【答案：】410.【2014年奉贤区二模文第 10题】将函数f(x)cosx的图像向左平移 m个单位sin x(m>0),若所得图像对应的函数为偶函数，则m的最小值是入2【答案：2二311.【2014年普陀区二模文第 7题】若函数f(x)=sin(x +中)(0<甲 < %)是偶函数，则函数f(x)的单调递减区间为 【答案：2kn,2kn +n , k w z12.【2014年浦东新区二模文理第3题】函数f (x )=sin x 4cos

4、x的最大值为3【答案：5】13.【2014年闵行区二模文第10题】将函数f (x )=cosox(© A 0)的图像向右平移单位长度后，所得的图像与原图像重合，则co的最小值等于【答案：6】2 .14.【2014年嘉定、长宁区二模文第 3题】函数y = (sinx+cosx)的最小正周期是 15.【2014年嘉定、长宁区二模理第13题】设 fn(x) =sinn 冗* /- k.*+ x ( n = N<2 J),若 ABC的内角 A满足 f1(A)十 f2(A)+f201KA)=0,则 sinA + cosA=【答案：v 2 116 .【2014年四区二模文理第16题】飞=1

5、”是“函数f(x)=sin28x cos2切x的最小正周期为冗”的().(A)充分必要条件(B)充分不必要条件(C)必要不充分条件(D)既不充分又必要条件【答案：B 2. 217 .【2014年黄浦区二模文理第2题】2.函数y = cosx-sin x的最小正周期T =【答案：p】18.【2014年徐汇、金山、松江区二模文理第3题】函数y = cos2x+，i的单调递减区4间是【答案：k二一三，k二三一 88(kw Z )】sinx + cosx cosfn一 x)19.12014徐汇、金山、松江区二模理第 7题】函数f(x)="'的2sin x cos x -sin x最小

6、正周期T =. 【答案：n】20 .【2014年闸北区二模文理第 11题】函数f(x) = M sincox仰0),在区间 hb】上是 增函数，且f(a) = M , f (b) =M则函数f (x) = M cosx在区间B,b】上 【】A.是增函数B.是减函数C.可以取得最大值 MD.可以取得最小值 -M【答案：C121 .【2014年黄浦区二模文理第20题】20.已知复数4 =cosx + i,z2 =1 isin x,xW R .求| Z1 -Z2 |的最小值；(2)设z =乙z,记f (x) = Imz(Im z表示复数z的虚部).将函数f (x)的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2

7、倍(纵坐标不变)，再把所得的图像向右平移土个单位长度，得到函2数g(x)的图像.试求函数g(x)的解析式.【答案：解(1) , zi =cosx +i, z2 =1 -isin x,x R ,| z1 -z2 产.(cosx 7)2 (1 sin x)2=3 2.2sin(x J .TT-IT.当 sin(x-) = 一1 ,即 x = 2k冗二(k w Z)时44|Z1 -Z2 |min = 3-2/2(=、,2一1).(2) . z=z 3z = zi z = sin x cosx (1 一 sin xcosx)i.一 、，.，1. c ， zf (x) =1 - sin xcosx =1

8、-sin 2x(x R). 2将函数f（x）的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后，得到的图1像所对应的函数是y1 = 1 sin x.2.一 .1把函数y =1 si nx的图像向右平移一个单位长度，得到的图像对应的函数是 22, 1 , 二、y2 =1 - sin（x-）.22,.111- g(x) =1sin(x -)=1 cosx(x R).22222.【2014年闵行区二模文理第20题】20.（本题满分14分）本题共有 2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题?荫分8分.如图，点A、B是单位圆O上的两点，点C是圆O与x轴的正半轴的交点， 将锐角a的终边OA按逆时针

9、方向旋转 到OB .,3 41 sin 2-_(1)若点A的坐标为.3,4 ,求1 sin2 的值;（2）用口表示BC ,并求BC的取值范围5 51 cos2 ;34【答案：20.斛：（1）由已知，cos = 一 ,sin a =.55725(4分)1 sin 2:1 cos2 二d 241 一251(-7)2549 .186分)（2）由单位圆可知：OC = OB =1, /COB =+工，（8分）3，一、一 一222由余弦定理得：BC =OC + OB -2 OC OB cos/COB=1 +1 -2cos I a + 1 = 2 -2cos lot 十一 I (,3.3nfn5n)1* a

10、 w 0 l,. a +w | , 一 l,. cos I a +伊 ,2 2)3 V3 6 J I 3112212 r 66韭十亚B BC| w(1,2+J3 H BC|w 1广6 7.(10分)(12 分)14 分)23.【2014年浦东新区二模文理第20题】（本题满分14分）本题共有2个小题，第小题满分6分，第（2）小题满分8分.如图，ABCD是边长为10海里的正方形海域.现有 一架飞机在该海域失事，两艘海事搜救船在 A处同时 出发，沿直线AP、AQ向前联合搜索，且NPAQ ='4（其中点P、Q分别在边BC、CD上），搜索区域为平面四边形 APCQ围成的海平面.设/PAB =8

11、,搜索区域的面积为S.（1）试建立S与tan 6的关系式，并指出6的取值范围;（2）求S的最大值，并求此时日的值.【答案:斛：(1 ) S = SABCD SAbpS Adq3T=100 -50tan -50tan(- -1)4二100 一50 tanRji,（0 ：二二）(1)CPB2分4分6分,sin2. =2sin ： cos ： =24, cos2. -cos2 ： sin2,二25(2)令 t =1 +tan "t w (1,2) 10分1 - (t -1)2 S =100 -50 I(-1 t .2x + g = kn + £(kWZ ),即x = + (k &

12、#163; Z )时函数有最大值或最小值，k 二 二故函数f (x)的图象的对称轴方程为 x=1 (k w Z ). 14分2622= 100 -50(t -2) =200 -50(t ) tt2_2_ _2_ 一；t+1之2qt , =2/，(当且仅当t=；时，即t = J2w(1,2),等号成立)12分二当t = J2时，搜索区域面积S的最大值为200-100/2 (平方海里) 此时，a =arctan(y21) 14分24.【2014 年虹 口 区二模文理第 20 题】 已知y= (f ) xT 23 s( i+2nx (c o),旗中三a2z常数.o Rs(1)求函数y = f (x)

13、的周期；(2)如果y = f (x)的最小值为0 ,求a的值，并求此时f (x)的最大值及图像的对称轴方程.【答案：解(1)y =1 +cos2x +石sin 2x + a = 2sin(2 x+三)+ a+1 4分6T = n 6 分(2) f(x)的最小值为0,所以2+a+1=0 故a=1 8分所以函数y =2sin(2x +巴)+2.最大值等于4 10分6k 二四、解三角形925 .【2014年闵行区二模文理第 5题】在 ABC中，若/ A = 60，, N B = 45, , BC = 3 , 则 AC =.【答案：27326 .【2014年浦东新区二模文理第 12题】.在 MBC中，

14、角B所对的边长b = 6, AABC的面积为15,外接圆半径R = 5 ,则AABC 的周长为【答案：6+6J6】27 .【2014年虹口区二模文理第 4题】在AABC中，已知sin A :sin B :sin C =1: J2 : J5 , 则最大角等于.28 .【2014年崇明二模文第11题】 ABC中，a =后，b = 3 , s iCn=2 Ai n则c oC =、5【答案：-4】529.【2014年黄浦区二模文理第 8题】8.在AABC中，角A、B、C所对的边的长度分别为 a、b、c,且 a2 十b2c2 = J3ab,则/C =.【答案：pl 630.12014徐汇、金山、松江区二

15、模理第16题，文第17题】在MBC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c,且/A=2/B,则sin B等于sin3BD.C. ba【答案：D】1231.12014徐汇、金山、松江区二模理第20题】如图所示，某旅游景点有一座风景秀丽的山峰，山上有一条笔直的山路BC和一条索道AC ,小王和小李打算不坐索道， 而是花2个小时的时间进行徒步攀登.已知/ABC =1200 ,/ADC =150°, BD =1 （千米），AC =3 （千米）.假设小王和小李徒步攀登的速度为每小时1200米，请问：两位登山爱好者能否在2个小时内徒步登上山峰.（即从B点出发到达C点）【答案：解：由 /ADC =15

16、00知/ADB =300 ,由正弦定理得 一= AD 0 ,所以，AD =73 .sin 30 sin1202220在 MDC 中，由余弦定理得：AC = AD + DC -2 AD DC cos150 ,（4分）_ 2_即 32 =（点）+DC2 -2 厄 DCcos15C0,即 DC 2+ 3 DC -6 = 0 ,-333解得DC =%1.372 （千米）， （10分）2二 BC 邺 2.372 （千米）， （12 分）由于2.372 <2.4,所以两位登山爱好者能够在2个小时内徒步登上山峰.-（14分）32.【2014年黄浦区二模文理第 21题】21.某通讯公司需要在三角形地带O

17、AC区域内建造甲、乙两种通信信号加强中转站，甲中转站建在区域BOC内，乙中转站建在区域AOB内.分界线OB固定，且OB = （1 + J3）百米，边界线AC始终过点B,边界线 OA、OC 满足/AOC =750,/AOB=300,/BOC = 450.设 OA=x（3WxM6）百米，OC =y 百米.A（1）试将y表示成x的函数，并求出函数 y的解析式;（2）当X取何值时？整个中转站的占地面积Smac最小，并求出其面积的最小值.O第21题图【答案：解（1）结合图形可知，S作OC +S&OB =S&OC .于是，2 x（1 + 3）sin 300 +； y（1 + 3）sin 4

18、50 = ； xy sin 750,解得 y =2/2x(3 <x <6). x -2(2)由(1)知,y =、,2xx -2(3 <x <6),因此，S aoc = 1 xy sin 7504 x -2333333131；34(x-2)4之2+2向（当且仅当x2 =一，即x = 4时，等号成立）.x -2答：当x =400米时，整个中转站的占地面积S#AC最小，最小面积是（2 + 2J3）父104平方米.】33.【2014年崇明二模文理第 20题】如图，某广场中间有一块扇形绿地OAB ,其中O为扇形OAB所在圆的圆心，/AOB=60©,扇形绿地OAB的半径为

19、r .广场管理部门欲在绿地上修建观光小路：在AB上选一点C ,过C修建与OB平行的小路CD ,与OA平行的小路CE ,且所修建的小路 CD与CE的总长最长.设/COD =日，试将CD与CE的总长s表示成日的函数s = f （日）；（2）当H取何值时，s取得最大值？求出s的最大值.设扇形的半径为r .（1）在4ODC中，r _ C Dsi nC D Os理 n C O'D2 3CD =r sin3口2石 冗口8 ,同理 CE =rsin(1 8).33一口、 273, 口 上2行 ., 冗口、 2 石 ，门、门工 冗 1s = f =r sin rsin(一 一1) 二rsin(i )

20、' - 0,.2J3冗 _冗、1.r冗、冗，冗2兀(2)s=-rsm(9+-) , 8 w (0,可).，9 w (0,a),，日+石三(4, 可333333 3),兀兀，即日=时,2634.【2014年奉贤区二模文理第21题】某人沿一条折线段组成的小路前进，从A到B ,方位角（从正北方向顺时针转到AB方向所成的角）是50°,距离是3km;从B到C ,方位角是110。，距离是3km;从C到D,方位角是140。，距离是（9+3/3） km.试画出大致示意图,算出从A到D的方位角和距离（结果保留根号）乙、【解：示意图,连接 AC,在4ABC 中，/ ABC=50 ° +

21、(180° -110° )=120° ,又 AB=BC=3 ,/ BAC= / BCA=30由余弦定理可得 AC = . AB2 BC2 -2AB BCcos120 =3.3在 ACD 中，/ ACD=360-140° -(70° +30° )=120° ,CD=3j3+9.由余弦定理得 AD= .AC2 CD2 -2AC CDcos12027 (3 3 9)2 -2 3 3 (3、3 9) (- 1) = 9( 26) (km).2210分由正弦定理得 sin/ CAD= sin /CAD _ CD sin/ACD AD1

22、2分/ CAD=452，于是AD的方位角为50° +30° +45° =125° ,13分所以，从A到D的方位角是125。，距离为9（2 +«）km.1935.【2014年嘉定、长宁区二模文第 19题】（本题满分12分，本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分.在 ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、bc ,已知 sin A + sin C = p sin B1 2(p>0),且 ac = -b 45(1)当p = , b =1时，求a , c的值;4）由正弦定理得'a = 1,1a1或14c =c 4 c=1.（

23、2）若B为锐角，求实数 p的取值范围.【答案：（15a +c = 一，41又ac = 一，所以4分）（少一组解扣1分）(2)由余弦定理，b2 =a2+c2 2accosB = (a + c)2 2ac 2accosB, (1 分)即 b2 = p2b2 -1 b2(1 + cosB), ( 2 分)23 1所以 p2 = 十cosB . ( 4 分)2 2由 B 是锐角，得 cosB w (0,1),所以 p2 f- , 2 i. ( 6 分)由题意知p > 0 ,所以p三，*2 . （7分）】I2 J36.【2014年普陀区二模文第 19题】19.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.如图，在xOy平面上，点A（1,0），点B在单位圆上，NAOB =9（0<0 <%）.3 4. u .右点B(,-),求tan(28十一)的值；5 54(2)若oA+oB =oC ,四边形oacb的面积用 s表示，求Sa+OA'OC的取值范围 3 4.4【答案：由于 B(,), /AOB = 8 ,所以 tan =-一5 53tan21-2tan