概率论与数理统计(浙大版)第五章第六章课件

1、第五章 大数定律和屮心极限定理繃关键词：契比雪夫不等式大数定律 中心极限定理§ 1大数定律背景 本章的大数定律，对第一章中提岀的“频率稳定性”，给岀理论上的论证为了证明大数定理，先介绍一个重要不等式定理5.1 （契比雪夫不等式）：设随机变量X具有数学期望E（X）= ，方差D（X）=（T2则对于任意£>o,都有:p|xe（x）E>1_£一 ?定理的等价形式为：P|X-£（X）|<1证明：（仅就X为连续型时证之）设X的概率密度为/'（对，> 6*| = J f (x)dx <卜-第£<書匚（兀“）2/（兀

2、眩O2s1（X-“）2 f （x） dx81L例1：在n重贝努里试验中，若已知每次试验事件A 出现的概率为0.75,试利用契比雪夫不等式估 计n,使A出现的频率在0. 74至0. 76之间的概率不 小于0. 90o解：设在重贝努里试验中，事件A出现的次数为X,贝 lJXb(,0.75),E(X)= np = 0.75 仏 D(X)= npq = 0.1875 仏 又九(勺時而 Pp.74 < 晋 < 0.76J = P|X-0.75n|< 0.010)875号=1_1875 >q9q(O.Oln)ri随机变量序列依概率收敛的定义-定义5.1：设随机变量序列XPX2,X3

3、,.,若存在某常数“, 使得Vw0,均有:PXn->s = 0, 则称随机变量序渝2依概率收敛于常数“， 记为：X n°性质：已知XP >并知函勲在兀二“处连续,6煜 定理5.2（契比雪夫不等式n勺特殊情形）:设随机变量序列X”X2，X”相互独立, 且具有相同的数学期望“和相同n勺方差土,1 77 作前比个随机变量n勺算术平均：z上n k = 窑*=1贝 |JV>O,有：limP| -/zl < = limP<r . n21丿/ms丿 ms证明：由于E（Y“） = E范n k="1皿2上-a-=in-n也）詞扭兀卜范叽戶古.u=l 丿 72 k

4、m“由契比雪夫不等式得:辛钦大数定理(弱大数定理)设兀血, Xp为独立、同分布的随机变量，且有屜眉 陽数学期望E (Xi) = g (1=1,2,.),则对V£>0,有< 8 >丿limPn>CC=17“或者，序列x =»以概率收敛于卩n i=i即03, 3, 4分9羌理5.3 （贝努里大数定理）*（讣細十，彳等卜护（讣古如=罟于是，>0,有卩设事件4在每次试验屮发生的概率为p记厲为斤次独立重复试验 中A发生的次数则/£0,有:lim p辛p <£-| = 1 证明：利用契比雪夫不等式，因厲b（«p）,故:E

5、1_卑ns”一>+8|等 即得:lim p |牛p <4 = 1大数定律的重要意划贝努里大数定律建立了在大量重复独立试验中事件出现频 率的稳定性，正因为这种稳定性，概率的概念才有客观意 义，贝努里大数定律还提供了通过试验来确定事件概率的 方法，既然频率“/n与概率p有较大偏差的可能性很小，我 们便可以通过做瞇验确定某事件发生的频率并把它作为相 应的概率估计，这种方法即是在第7章将要介绍的参数估 计法，参数估计的重要理论基础之一就是大数定理。|§ 2中心极限定理背景：有许多随机变量，它们是由大量的相互 独立的随机变量的综合影响所形成的，而其 中每个个别的因素作用都很小,这种

6、随机变 量往往服从或近似服从正态分布，或者说它 的极限分布是正态分布，中心极限定理正是 从数学上论证了这一现象，它在长达两个世 纪的时期内曾是概率论研究的中心课题。杀定理5.4 （独立同分布的中心极限定理）思考题： x=-Yx.的近似n i=i分布是什么？设随机变量X,X2，,X”,相互独立同分布， E（XJ = “,r（Xj = /0,i = l,2,n丫 Xjnpi则前个变量的和的标准化变量为：打= 一 Qn（r/xgR： lim P（y <x）= lim P一>+s7 T+s旦一尸一X yjncyJ7证明略。在实用上，上30此定理表明，当"充分大时，；近似服从N（O

7、,1）.n即：工Xj（近似）N（n出ncr2）,i=l从而，P（a£（兽勺（耳出）.myjn（jy/icre一 WLSC二iiA二二 4?+華T囂£ yrrs&ErJukssouu 竿ce$.>(2002 盂 w:V. 暑) 二 (A) 亘囂墓羔(C)雲T薫X- 亘宗 定理5.5 (德莫佛一拉普拉斯定理)设心为斤次贝努里试验屮A发生的次数，P(A)= p(0< p<l)，则对任意上有：limPHT+s<nAnP <x、如(1-卩)丿证明：令&二1第i次试验时A发生0第i次试验时4未发生贝1风，2,，X小相互独立同分布,Xib(l

8、，p)由于"a = X + X? HF Xfj,< 、nA-np ”.A = < xJnp(l - p)丿由定理5.4, lim PT+sPa < nA < /?)® np)JnpQ_ p)JnpQ_ p)即：nA(近似)N(np,®(1 - p).二项分布和正态分布的关系示意例图N： 50p： °-250.2p（r <= 10）= 0.26220.150.10.050.0304U50k： 10 Prob： 0-2622Meanz-score-0.656Y10.55307.12.53 0& Std Dev10.6Cu

9、mulativeVprob:0.2622#*例2：设某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指 数分布，现随机取得16只，设它们的寿命是相互 独立的，求这16只元件的寿命的总和大于1920小 时的概率。解：记16只电器元件的寿命分别为X，X?，X®16 贝116只电器元件的寿命总和为X = £ X, 由 E（X.） = 100,Z（X（.） = 1002 1=1 根据独立同分布的中心极限定理：16力 X,16x100/=!4x100=X爲°°近似服从"（0,1）P（X>1920） = l-P（XS1920） 1_叫192紀600*例3：某

10、保险公司的老年人寿保险有1万人参加，每人每年交200元, 若老人在该年内死亡，公司付给受益人1万元。设老年人死亡 率为0017,试求保险公司在一年内这项保险亏本的概率。解：设X为一年中投保老人的死亡数，贝iXb(zp)屮=10000/二0017思考题：求保险公司至少 盈利10万元的概率。由徳莫佛一拉普拉斯中心极限定理，保险公司亏本的概率为:P(1OOOOX > 10000 x 200) = P(X > 200)/ 、1 不 200-np "一 / ': 打矽(1-卩)丿二 1(2.321) uO.Ol丄例4：设某工厂有400台同类机器，各台机器发生故障的概 率都是

11、0. 02,各台机器工作是相互独立的，试求机 器出故障的台数不小于2的概率。解：设机器出故障的台数为X,则Xb（400Q02）,分别用三种方法计算:1. 用二项分布计算P（X>2）= l-P（X = 0）-P（ X = 1） = 1- O.98400-400x 0.02 x 0.983" = 0.99722. 用泊松分布近似计算A = np = 400x0.02 = 8 查表得P（X>2） = l-P（X = 0）-P （X = 1）«1-0.000335 0.002684 « 0.99693. 用正态分布近似计算Jnpq = 400x0.02x0.9

12、8 = 2.819#P（X >2）= 1-P（X Wl）el #P95 : 1919第五章复习#8121一护>1 - £ 一 ?> 6*| = J f xdx <卜-“卜£（契比雪夫不等式）：设随机变量X具有数学期望E（x）=仏方差D（X） = /则对于任意£>0,都有:p|XE（X）N 定理的等价形式为：p|xE（x）|< j 证明：（仅就X为连续型时证之）设X的概率密度为/'（对，（x-“）2<書匚（兀-“）2/（兀皿O281 f（x）dx81#也5.2（契比雪夫不等式的特殊情形）：设随机变量序列X”X2，X“

13、相互独立， 且具有相同的数索期虽q和相同的力人7?作前比个随机变量的算术平均：Yn =-LXk n瓦=贝 lJV>0,有：limP| - /I < = limP<ms丿 ms证明：由于E（Y“） = En k=恥）詞较兀卜古»（笛戶古.心=手V k=）77 k=nn k= 落X"由契比雪夫不等式得：P<8>-22>-k s1辛钦大数定理(弱大数定理)设兀血, Xp为独立、同分布的随机变量，且有屜眉 陽数学期望E (Xi) = g (1=1,2,.),则对V£>0,有< 8 >丿limPn>CC=17“或者

14、，序列x =»以概率收敛于卩n i=i即羌理5.3 （贝努里大数定理）*（讣細十，彳等卜护（讣古如=罟于是，>0,有卩设事件4在每次试验屮发生的概率为p记厲为斤次独立重复试验 中A发生的次数则/£0,有:lim p辛p <£-| = 1 证明：利用契比雪夫不等式，因厲b（«p）,故:E1_卑ns”一>+8|等 即得:lim p |牛p <4 = 1大数定律的重要意划贝努里大数定律建立了在大量重复独立试验中事件出现频 率的稳定性，正因为这种稳定性，概率的概念才有客观意 义，贝努里大数定律还提供了通过试验来确定事件概率的 方法，既然频

15、率“/n与概率p有较大偏差的可能性很小，我 们便可以通过做瞇验确定某事件发生的频率并把它作为相 应的概率估计，这种方法即是在第7章将要介绍的参数估 计法，参数估计的重要理论基础之一就是大数定理。杀定理5.4 （独立同分布的中心极限定理）思考题： x=-Yx.的近似n i=i分布是什么？设随机变量X,X2，,X”,相互独立同分布， E（XJ = “,r>（Xj = /0丿=1,2,n丫 XjriR则前个变量的和的标准化变量为：打= 一 Qn（rV兀 gR,有：Um P（y <x）= lim P一>+s7 T+s工 Xj< XJ7证明略。在实用上，此定理表明，当"

16、充分大时，岭近似服从N（O,1）.n即：工Xj（近似）N（n出ncr，）,i=l从而，P（a<£X庄b）u（兽勺（辛土）.myjn（jy/na则对任意上有:lim P<nAnP <rp(_ p)丿证明：令&二1第i次试验时A发生0第i次试验时A未发生Pa < nA < /?)"(L )JnpQ_ p)y/np(l-p)煤 定理5.5 (德莫佛一拉普拉斯定理)设律1为次贝努里试验屮A发生的次数，P(A) = p(0< p<l),丫 1 - re 2 dt - O(x), 一*2兀贝，2,，X心相互独立同分布,Xib(l, P由

17、于宀=X + X2 HF Xfj,< 、由定理5.4, 加PJ-"oOJ®(1-P) 丿即:兀(近似)N(npmpQ-p)二项分布和正态分布的关系第六章数理统计的基本概念嘶）关键词：总体个体样本统计量才-分布分布F-分布补充统计图：直方图和箱线图直方图：概念演示；函数hist or imhist频率直方图（概率直方图）概念22222022022222121921922122221222222422021620921522416822222222222122122122122122122122122122122122122022022022021921921922122

18、122122122122122122122022022021921921921922022022022022022022022022222122122122122022022022022022022022022022022122122122022022022022022022022022022022022021921921921821821821821921921921921921921921921921921821821821821821921921921921921921921922022022022021921921921921921921921921921921921721721722

19、123021721323121321523221322021421922222421821921821322321522122222521122421821921821621922621721321521422420921421422221222321322322120920823722716122122021521622321121720522222121622522612461191228219213226219211212222211223234224923113216720421921821522122723021120716318716453116138203226212212225

20、21520422523488435548156195228224219222210217216222204222177200642192302202142232182192282152432182161100127228203219221221211频率直方图减少频率直方图的柱子数目(256-> 32)箱线图(mat 1 ab一Boxplot)Outlier、异常值33#50100150Values200250#2502001501006001Column Number求箱线图一一不存在异常值的流程示意图求箱线图一一不存在异常值的流程示意图第一步第二步求箱线图一一不存在异常值的流程示意图

21、求箱线图一一不存在异常值的流程示意图求箱线图一一不存在异常值的流程示意图Median 求箱线图一一不存在异常值的流程示意图求箱线图一一不存在异常值的流程示意图10.015.00.*5.010.015.0第四步第三步求箱线图一一不存在异常值的流程示意图求箱线图一一不存在异常值的流程示意图Q3: 75th %-tile Median (1"31: 25th%-tile110. *5.010.015.0Q3: 75tfi %-tile_J IMedian J工 7Gh%-tile0.*5.010.015.0第五步第六步第五步第六步求箱线图一一不存在异常值的流程示意R第七步（结束步）39求箱

22、线图一一存在异常值的流程示意图第一步第二步Median4产 0.05.010.0 15.0 20.0 25.00.05.010.0 15.0 20.0 25.041第四步QI Z5ib 备tilM1A求箱线图一一存在异常值的流程示意图第三步0.05.010.0 15.0 20.0 25.0求箱线图一一存在异常值的流程示意图第五步第六步求箱线图一一存在异常值的流程示意图赛第八步第七步43引言：数理统计学是一门关于数据收集、整理、分析 和推断的科学。在概率论中已经知道，由于大 量的随机试验中各种结果的出现必然呈现它的 规律性，因而从理论上讲只要对随机现象进行 足够多次观察，各种结果的规律性一定能清

23、楚 地呈现，但是实际上所允许的观察永远是有限 的，甚至是少量的。例如：若规定灯泡寿命低于1000小时者为次 品，如何确定次品率？由于灯泡寿命试验是 破坏性试验，不可能把整批灯進逐一检测，只 能抽取一部分灯泡库为棒本进行祐验，以*羊本 的信息来推断总休的信息，这是数理统计学研 究的问题之一。#随机样本：随机抽取的n个个体的集合(X, X2,X)n为样本容量§ 1总体和样本卜总体：研究对象的全体。如一批灯泡。个体：组成总体的每个元素。如某个灯泡。抽样：从总体X中抽取有限个个体对总体进行观察的取值过程。简单随机样本：满足以下两个条件的随机样本(X】,X2,X称 为简单随机样本。1每个Xi与

24、X同分布 2. Xp X2,Xn是相互独立的随机变量说明:后面提到的样本均指简单随机样本，由概率论知，若总体X 具有概率密度f(x),则样本(XpX2,-,Xn)具有联合密度函数：45ni=样本概念的二重性样本：从总体中随机抽取II个个体 心耳,/*II维随机变量（心禺,；£）就是一个样本, n为样本容量o对这11个个体，进行测试，得这就是样本的二重性。 数理统计：利用样本(X“X2,，X 对总体X的F(x),E(X),D(X)等做出推断(估计)O二.统计量如，考察物体忍的长度, 总体兀兀29 9兀10. 样本测量10次，得到数据兀1Xj +x2Xj + + XjQ10统计量：整理分

25、析由样本构造出 来的统计量，然后利用 统计量对总体进行推断（关键的环节）1 统计量：样本的函数g（X,X2，；X“）,且不 含未知参数。为"忑）称为统计量的值。2.常见的统计量_ i « 估计样本均值X= YXi E（X）U “弱大数定理(2)样本方差 S2 =£(X-X)2 D(X)W_11=1（3）样本标准羞S =特别的，4二乂场（X厂无尸型d（x）n i=一丄鼻1 样本的k阶原点矩:空Le（x）“匸1（5）样本的k阶中心矩：=-Y（x.m z,EX_E（X）“S2n-1思考题：(一)设在总体N仏/)中抽取样本区,乂2，乂3),其中“已知，b味知指岀在(1)

26、X1 + X2 + X3 (2) X2 + 2/z(3) max(X19X2,X3)13(4)(5) 1%3-Xj中哪些是统计量，哪些不是统计量,b /=i为什么？答：只有(4)不是统计量。(二)设X,X2，.,X是 总体X的样本，若E(X) = /, D(X) =则 E(x)= ZL,D(X) = L,E(S2) = .SIH1"卜(MEXT 忌(x)2 一 s1 4mM三z 一 n 豆mx、22mx、x + m(><i)11-1nFln nFl ex.2 n Dx- + (Ex. )2 H q2 + I I IE(N)2 HDN+E(N)2 H+Kn1 2 ms2 h

27、im%+ 2) A+57%理想信号测量信号9 L9 0-连续测量20次后求样本均值连续测量50次后求样本均值连续测量200次后求样本均值随机变量独立性的定理岸埠討设X, 乂2,九是相互独立的卅个随机变量，丨又iy = g(. -,xzl.) g Rni, z = 1,2, -kk个连续函数, 且有耳+兀2 +兔=，贝叹个随机变量：是相互独立的。返回§2常用的分布龙2分布探 定义：设随机变量X,X2，X相互独立，X,7V(O,1) (i = l,2,)n则称加二工X： (1) Z=1服从自由度为的龙2分布，记为龙2才(町自由度指(1)式右端包含的独立变量的卩数1定理6.3：|/ (町分

28、布的概率密度为:九(刃彳2厂("2)(2y0y<0其中 r(a) =Xa-Xe'xdx函数的性质：1) T(a + 1) = cdT(a) (a > 0)2) r(i) = i7r(l/2)= 力2分布的一些重要性质：匸则Y匕口* ”z=l /=1 丿1. 设/%1 （“），则有疋（力2）二 n,D（/2） = 2n2. 设齐*他）,蛉*（©）,且$匕相互独立，贝|有x +乙才他+直）性质2称为力吩布的可加性，可推广到有限个的情形: 设乙 /仇）,且片,乙,打相互独立,对给定的概率a,O<a<l,称满足条件（詁2 （y）dy = Q的点加（町

29、为 力）分布的上&分位数上©分位数加（町的值可查/分布表才分布的分位数(10) = 2.558(10) = 23.209: 61S (10) = 1.8125S (10) = 1.8125i = 12屮(2)设n二5,若a(Xx-X2)2 + bg-X4-X5)2 - *伙)，则a,b,k各为多少？解:(1)作变换匕=呂之心12山(7显然人乙,，匕相互独立，口J；N(0,1)n V /n于是宀口警决邓卄) /=167i=i X厂X?N(0,2/),(X;X2)-才 2L2X3 - X4 - X5 二X6aX| - X2与2X3 - X4 - X5相互独立， 故色半i+空斗2c

30、r6cr"a10）=几小（I。= -8125（当出> 4时，用 耐（0,1）分布代替£分布）奈丫-分布杀定义：设XN（O,1）E1护（町,并且X#相互独立，则称随机变量T二服从自由度为的（分布，记为丁口 t（n）Vy/n定理64 “町分布的概率密度为：/（働）二-上岁、 yjnn r（号）(中1 + ,-00 < / <+001 n,对给定的*, 0<a< 1,称满足条件（：）/（"）/ = *的点/ （n） 为/（町分布的上*分位数。r分布的上*分位数可查f分布表S (10) = 1.8125(分布的性质：(1)即f分布的极限lim

31、 /(X)=(2) X心)，3 T+oo）分布是标准正态分布忑芒""=&则 E的=0, D(X) > 1.杀F分布定义：TSXz2（n,）,r/（n2）,且X,Y独立，贝I称随机变量f = Yi服从自由度（“勺）的F分布，记为F口 F（坷屮2）乙其中q称为第一自由度，勺称为第二自由度FF（q,2）,贝I右尸（2，斤1）定理6.5： F（®2）分布的概率密度为:x> 0f 1” 4/（兀;i，2x< 0其中上）订3 （1-旷d“號券对于给定的a, 0<a<l,称满足条件J （“ “/（无;厲，“2）dx = *的点化（®

32、;,n2）为F（/ipn2）分布的上。分位数。Fa （厲宀）的值可查F分布表耳虫（厲必2）=代2，厲）九加（4?为=9.12Wk19J2=0.10965 oF分布的密度函数此外畑N（0,1），若乙满足条件P X>Za = a,0<a<l则称点佥为标准正态分布的上"分位 67例2：设XPX2,X3,X4是来自正态总体N（0,2今的简 单随机样本，V3Xx“aI 22 J服从"3）分布；Jx；+x；+x： ¥ N(O,1) ,(为2 + 浮)2 +(¥)2 x2(3)2 2 2 2-t(3)2例3：设X1，X2，X3，X4是来自正态总体N(

33、0,22)的简 单随机样本，则(X + X) / (X 3 2 + X 4 2 )服从F(2,2)分布。呼兮 X2(2)讥2)吟)2+(牛)2/2()2 + ()2/2 F(2,2)'鮒【)子& (a)仙牛川15何r專鋤轍四正态总体统计量的分布 定理1设总体XNgj), &,耳,X”为来自总依的简单随机样本乂N（“二）ntX=7（X + X2Xh）正态分布"线性组合 2 E（x）= D（x）= a2 n = n2口n¥N（“冃标准化，得到UNg<y/yin定理二：1n£(xz.-a)2-z2W b心1呂二* N(O,1),i= 1,2

34、,，“,且相互独立a定理二：(2)X,52相互独立(3)厶丈(X厂乂卜比鉴*(-1)b i=ln-1: （X文） + （X2戈）+ + （X戈）=0受到1个约束，独立的变量个数为nl定理三加"7L7 = N(O,1)cr/n(n-l)S2力2（_i）G4n 二 X l(n-l)S2 S/4n an-l)且相互独立设总体乂”(角4),有样本X皿,，乙， 当样本容量n为多大时，使P(X-“ 5 01) = 095。签 川(0, 1)解：由定理1, E晶，耐如(昙M茫島)=卜加)-(-0.2屈=2(0.0 W) -1m P(X“ 5 0.1) = 0.95因即 20(0.05)-1 = 0

35、.95:0.9750.975得 (0.05) = (1+0.95)/2 由标准正态分布表(1%)= 即 0.05-7 = 1.96于是得 n = 1536.6 rj 1537设 兀盂2,，昂Q是总体X, 4）的样本,求样本方差E 2大于2.622的概率。解：由定理2,(10 -1)34尸(0 > 2.622)=尸(寸0 >|x2.622) = (-2 > 5.8995)由 * 分布表 A«(9) = 5.899 ?则近似地有L大于2.622的概率为0.75。设总体X陀小,有n=io的样本，样本方差庄“，求样本均 值 才落在2.1253到3.8747之间的概率。解：由

36、定理3，迈心P(2.1253<3.8747) = P(2.1 注-32/V103.8747-3.g|2/Jio=1.3830 < " X <1.3830)2/W由(分布表得0.1 (5) = 1.3830,由(分布的对称性及。分位点的意义，上述概率为：P(2.1253 <<3.8747) = 1-2x0.! = 0.8定理4：枚样本（X|,xj和（乙,血）分别来自总体和N仏,可2） 并且它们相互独立，其样本方差分别为S：,S；,2 n2贝I：r F = %E1F（®1,2 1）b° （乂-）-（“/） ： "（0,1）,J

37、-2nx n2(乂-？)-(“-越)2°、=i t ( ki. + 2)v77 nx n23° 当 CFj2 = <t22 = b，时,Sw(® l)S： + 02 1)S； c _ E证明：（1）由定理2知,（"厂护4才馆1）,（負-鉴口才仏 CT】（T2且两者独立，由F分布的定义，有： 5-1尽人_1） / 、2 '= -1宀 -1）_ 2 _ 2（2）由定理 1, 乂N（“,d）了N（“2，）， nxn2即(X -丫)-(“ - “2)_ _ _ _ 2 2 且乂与0相互独立，所以XYN（“-角,+）， nx n2N(0,1)b iQ

38、 2+ -yix n2,（文-町-（“厂“2）口呱0,1）当b：二bj二/时，由（2）得b丄+丄 nx n2 又由给定条件知：理迂“2（仆1）,此些口力2仇_1）CTCT且它们相互独立，故有光2分布的可加性知:V = M j）S：处-l）S冷力2 佃 + «2 一2） 由定理6.1知:"与V相互独立， 于是按/分布知：飞=U-=（文-可-（“厂“2）心+廿2）少/仙+2-2）S”航设总体X2)，有廿旳=10的独立样本，求二样本均值之差文-歹小于1.3的概率。(1) 若已知异i，。/=1；(2) 若从 *未知，但二者相同，样本方差分别为:= 0.9130,= 0.9816解：

39、(1)由定理4Vi/io+i/io W, 1)P(J-P<1.3) = F它_戸)_(6_为I 的/10+1 门 6h .3_6_为 171门0+1门0丿I, a/i7w+i7io = <>(0.67)=0.7486解：(2)由定理4徑一门一(6一习.71/10 + 1/10 红吃)苴中22r； 2 _ 阿-1)旺+叫-1)右9x0.9130+9x0.9816 ：18心=u.yP(X-Y <.3)=P3 一0.9733/10+1/10 口 0.973371/10 + 1/10；(Z-7-(6-5)<0.6884. 0.9733/1710 + 1710(18) =

40、0.6884于是 <13) = 1-0.25 = 0.75 o总体X N (角彳)，Y 中分别抽取®二10, %二1 的独立样本，求二样本方差之比肾/霸大于1.272的概率。 解：由定理4,5石叫14)> 1.272) = P(鲁|5"务I牛由月分布表垃丄(9, 14) = 2.12> 1.272) = 0.1.P95 : 1986Pill : 887复习88才分布的分位数力2分布的一些重要性质：§2常用的分布龙2分布探 定义：设随机变量X|,X2,乙相互独立，X,7V(O,1) (i = l,2,屮)H 则称尤二工X； (1)/=1服从自由度为

41、的*分布，记为才x2(h)自由度指(1)式右端包含的独立变量的个数1.设* (“)，则有£(/) = £>(/) = 2/1 2.设X*(耳)必*(电),且冷岭相互独立，贝I有Z + E*馆+隔)奈丫-分布定义：设XN(O,l),YD z2(h),并且X,Y相互独立，则称随机变量T =服从自由度为舶勺f分布，记为卩帖)Vy/nf分布的极限分布是标准正态分布对给定的*, 0<a< 1,称满足条件= *的点/ (n) 为/(町分布的上*分位数。r分布的上*分位数可查f分布表奈定义：设X*(q),yz2(®),且X独立,则称随机变量F = Y-服从自由

42、度(q宀)的F分布, 其中q称为第一自由度，勺称为第二自由度四个定理正态总体统计量的分布定理1 设总体XN(T)，X，X2,X“为来自总体的简单随机样本 CT2X N(“,一)n标准化，得到a/yin定理三加"71 丿定理二.飞£以厂“）2/何b上1（2）X,52相互独立CF24亍化一可=才（归） （7 i=lCn-1: （X乂）+ （X2戈）+ + （X乂）= 0受到1个约束，独立的变量个数为ml定理4：段样本（X,X“J和（X，,乙）分别来自总体N（越,肝）和川仏,町） 并且它们相互独立，其样本方差分别为S；,S；,2o2则：r尸=罟口5-1宀-1）5 S22°

43、; （乂 ）一（"2口 N（O,1）,I 22y q n23° 当o-,2 =云=，（未知数）时,（X_Y）（"厂"JUt+n2-2）S%丄+丄 Y nx n2（厲-1） S； +（2 j）S；附表4 /分布表PQ5)>瓷 3=疣返回*12345679101112131415161718192021附表4 /分布表*0. $950. 99a时50950.900.75山250. 100. 050. 025O.OL0. 005a ooi0.004 01&6 102L 3232.7063.8415.G246.宓人8了9a oio5 020G 05

44、10. 103O.2H0. 5752, 7734.6055 9917. 3739 21010. 597Q 0720.1150. 21G0- 3520 5841.2134i086.2517. «159. 34811.3451Z. 838,0.2070 2&7m 40- 7111. 0t>41-眈35. 3 呂37. 7799.昶811. H313. 277imo0. 4120 5540. 331L 1451.6102- 6756, 626923611.07112.83315.08616.7500,6760. 8721. 2371. 6352. 204345574110,4

45、512.59214.44916.81218480.989L2391.6B0Z 1672,0334- 2555 037J2.0171.4,06716.01318 47520. 278L 344】6462. 1802.7333.4905- 07110,2J9J 3 3$215.50717.5352。 09021. $551.7352. 0882.7003. 325X 1685 曲911 胡94轴4ie.si19.0252E 56623. 5fi92 1562.5583.247玄9404. 8656. 7S712.54959好18. 30720.48323. 20925. 1882-6033.0533164*5755 5737. 58413.70117. 27519.67521-&2024,72526. 75710743.5714.4045. 2刖& 304& 4X814. A4521.02623-33726. 21728.2991565乳1075M095927 0429. 2S915.984.22.3522473627.越 829,3194.0754.6605. 62&57J7, 75010. 165J7-J17儿0&428.6852 収 11929,2413).3194, 6015.2296.262