历年考题中的微分方程题

1、110-11上期高数终考试题上期高数终考试题sin5.1.xyxyyxx 求求微微分分方方程程满满足足的的特特解解解解：一阶线性方程的一阶线性方程的标准形式：标准形式：( )( )yp x yq x 通解通解公式法公式法:( )d( )d( )dp xxp xxyeq x ex c 代代入入通通解解公公式式：( )d( )d( )dp xxp xxyeq x ex c 11ddsindxxxxxeex cx 1 sin dx x cx 1 cosx cx 1=1xyc 由由条条件件得得：故故所所求求的的特特解解为为：1 cos1yxx 2回顾：一回顾：一阶标准类型方程的形式及求解方法阶标准类型

2、方程的形式及求解方法 (1)可分离变量方程可分离变量方程标准标准形式形式：( )d( )dg yyf xx 解法：解法： 分离变量法分离变量法1)分离变量分离变量;2)两端积分两端积分-隐式通解隐式通解.步骤步骤:(2)齐次型方程齐次型方程标准标准形式形式：d( )dyyxx 解法：解法：步骤步骤:变量代换法变量代换法yux 令令代入原方程得：代入原方程得：,xuy 即即则则,ddddxuxuxy ),(dduxuxu 即即.)(ddxuuxu 求此可分离变量方程的解，求此可分离变量方程的解， 并回代并回代.xyu 1)2)3)3(3)一阶线性方程一阶线性方程标准标准形式形式：( )( )yp

3、 x yq x 解法：解法： 1)先解齐次方程先解齐次方程 , 再用常数变易法再用常数变易法2)通解公式法通解公式法:d)(d)(d)(cxexqeyxxpxxp (4)全微分方程全微分方程标准标准形式形式：( , )d( , )d0 ()pqp x yxq x yyyx 解法：解法： 求原函数法求原函数法步骤步骤:方法方法1:凑凑微分法微分法;方法方法3:利用利用积分与路径无关的条件积分与路径无关的条件.1) 求原函数求原函数 u (x, y)2)由由 d u = 0 知通解为知通解为 u (x, y) = c .d ( , )( , )d( , )du x yp x yx q x yy 0

4、00( , )( ,)d( , )dxyxyu x yp x yxq x yy 方法方法2:偏偏积分法积分法;4nyxqyxpxy)()(dd ) 1 , 0( n解法：解法：变形为变形为，)()(dd1xqyxpxyynn 令令，nyz 1从而有从而有dd(1)ddnzyn yxx d1d,d1dnyzyxnx 代入原方程得代入原方程得d(1) ( )(1) ( )dzn p x zn q xx 这是关于这是关于z的一阶线性微分方程的一阶线性微分方程.求出通解后将求出通解后将nyz 1代入即得代入即得nyxqyxpxy)()(dd 的通解的通解.标准形式：标准形式：(5)贝努利方程贝努利方程

5、5(1)可分离可分离变量方程变量方程：( )d( )dg yyf xx 解法：解法： 分离变量法分离变量法1)分离变量分离变量;2)两端积分两端积分-隐式通解隐式通解.步骤步骤:(2)一一阶线性方程：阶线性方程：( )( )yp x yq x 解法：解法：通解公式法通解公式法:d)(d)(d)(cxexqeyxxpxxp (3)全微分方程：全微分方程：( , )d( , )d0 ()pqp x yxq x yyyx 解法：解法： 求原函数法求原函数法d ( , )( , )d( , )du x yp x yx q x yy 常考的几个方程：常考的几个方程：通解通解为为 u (x, y) = c

6、 .000( , )( ,)d( , )dxyxyu x yp x yxq x yy 62.5661yyyx求求的的通通解解. .解解：非齐次方程特解非齐次方程特解齐齐次方程通解次方程通解y 0(1,)ypyqyp q 回回顾顾 ：求求方方程程通通常常数数解解的的步步骤骤：xrxrececy2121 rxexccy)(21 )sincos(21xcxceyx 通解的表达式通解的表达式特征根情况特征根情况12rr 实实根根12rrr 实实根根1,2ri 复复根根(1)写出相应的特征方程写出相应的特征方程;02 qprr(2)求出特征根求出特征根;(3)根据特征根的不同情况根据特征根的不同情况,得

7、到相应的通解得到相应的通解.7*(2:)( ,)yp yq yf xyp q 常常数数回回顾顾方方程程的的特特解解 的的设设法法：:k 其其中中 不不是是特特征征根根；0， 是是特特征征单单根根；1， 是是特特征征二二重重根根. .2，(1) ( )( )xmf xpx e 时时*( )xmkyqxxe 则特解可设为则特解可设为(1)(2)(2)( )( )cos( )sinxlnf xepxxpxx 时时(1)(2)*( )cos( )sinxmmkyerxxrxxx 则特解可设为则特解可设为max ,:ml n 其其中中，k 0,i 当当不不是是特特征征根根时时, ,1,i 当当是是特特征

8、征根根时时. .82.5661yyyx求求的的通通解解. .解解：非齐次方程特解非齐次方程特解齐齐次方程通解次方程通解y 原原方方程程对对应应的的齐齐次次方方程程为为： 560yyy ， 其其特特征征方方程程为为：2560rr ， 特特征征根根为为：1223rr ，齐齐次次通通解解为为：0, 又又不不是是特特征征根根则则设设原原方方程程的的特特解解为为: :*,yaxb *yyy 将将，代代入入原原方方程程得得：65661axabx *1,yx 则则则则原原方方程程的的通通解解为为: :y 2312xxc ec e 2312,xxyc ec e 1,1ab 1,x 909-10上期高数末考试题

9、上期高数末考试题8.20yyy微微分分方方程程的的通通解解为为 . .12()xcc x e 28.56()xyyyxe 用用待待定定系系数数法法求求微微分分方方程程的的一一个个特特解解时时，应应设设特特解解的的形形式式为为 2222.(); .;. ; .()xxxxa yaxb xeb yaxec yaed yaxb e a102.440(0)1,(0)0( )0yyyyyyy xx求求满满足足初初值值条条件件的的特特解解，并并判判定定在在处处是是否否取取得得极极值值. .( )0yf xx在在处处取取得得极极大大值值. .由由原原方方程程得得121(1).2xyx e 原原方方程程的的特

10、特解解为为1211,2cc (0)1,(0)0yy 把把代代入入上上式式中中，得得11222121()2xxyc ecc x e 1212()xycc x e原原方方程程的的通通解解为为1,212r24410rr特特征征方方为为解解程程：(0)11(0)(0)00444yyy 104yyy1108-09上期末考试题上期末考试题5.2(0)2.yyxy 方方程程满满足足条条件件的的特特解解为为 422xyex 125.() ( )xycc x e 以以为为通通解解的的微微分分方方程程是是( )20 ( );20( )210 ();210a yyybyyyc yydyy b一阶线性方程的一阶线性方

11、程的标准形式：标准形式：( )( )yp x yq x 通解通解公式法公式法:( )d( )d( )dp xxp xxyeq x ex c 1223. 56xyyyxe 求求微微分分方方程程的的通通解解解解:原原方方程程对对应应的的齐齐次次方方程程为为： 560yyy ， 其其特特征征方方程程为为：2560rr ， 特特征征根根为为：1223rr ，齐齐次次通通解解为为：2, 又又是是单单特特征征根根则则设设原原方方程程的的特特解解为为: :2*(),xyx axb e *yyy 将将，代代入入原原方方程程得得：22axbax 221*(),2xyxx e 则则则则原原方方程程的的通通解解为为

12、: :y 2312xxc ec e 2312,xxyc ec e 1,12ab 221().2xxx e 1307-08第第二二期期终终考考试试题题3.250_.yyy 微微分分方方程程的的通通解解为为12(cos2sin2 )xyecxcx 23.2*xyyxey 微微分分方方程程 的的特特解解 的的形形式式为为（ ）22222. *(). *; . *2; . *().xxxxa yaxb eb yaxec yx ed yx axb e ； 120,2rr d14 ( )sin d( )cos d( )xlf xey xf xy yf x 与与路路径径无无关关, ,其其中中六六、已已知知,

13、(0)0( ).(8)ff x 一一阶阶连连续续可可导导 且且，求求本本题题 分分解：解：,因因线线积积分分与与路路径径无无关关 且且 ( )sin( )cosxpf xey qf xy ， ( )cos ,xpf xeyy qx ( )cosfxy, 则则 ( )cos( )cosxf xeyfxy, ( )( )xfxf xe , 即即:其其通通解解为为1d1d( )dxxxf xee exc 2dxxeexc 212xxeec 1,2xxece (0)0,f 1,2c 1( )().2xxf xee 故故所所求求函函数数为为：15225.sectan dsectan d0_.xy xyx

14、 y 的的通通解解为为tan tanxyc 03-04第第二二期期期期末末试试题题3122.,:()xycc x e 下下列列微微分分方方程程中中通通解解为为的的二二阶阶常常系系数数齐齐次次.690.690; .691; .60.a yyyb yyyc yyyd yy ； ()线线性性微微分分方方程程是是 b原原方方程程分分析析：可可化化为为：22secsecddtantanxyxyxy 162.(sin )dd0.yxxxx y 求求微微分分方方程程的的通通解解解解:原原方方程程可可化化为为：1sin ,yyxx 是是一一阶阶线线性性非非齐齐次次方方程程代代入入通通解解公公式式：11dd s

15、indxxxxyexexc 1sindxxxcx 1d( cos )xxcx 1coscosdxxxxcx 1cossinxxxcxsincos.xcyxxx 故故所所求求方方程程的的通通解解为为：172.(sin )dd0.yxxxx y 求求微微分分方方程程的的通通解解解解:因因为为：( , )sin ,( , ),p x yyxx q x yx ( , )( , )1,1,p x yq x yyx 且且.全全微微所所以以原原方方是是分分方方程程程程( , )u x y 由由于于( , )(0,0)(sin )ddx yyxxxx y 00(sin )d0dxyyxxxx 0sin dxxyxx x (cossin )xyxxx cossinxyxxx 所所以以原原方方程程的的通通解解为为：cossinxyxxxc sincos.xcyxxx 即即182.20,(0,2)yyy 求求微微分分方方程程的的一一条条积积分分曲曲线线 使使其其过过点点且且在