二导数及其应用

1、导数及其应用1二二.导数及其应用导数及其应用求求 导导 法法 则则求求 导导 法法 则则基本公式基本公式基本公式基本公式导导数数导导数数xyxd dd dd d0lim导导数数导导数数xyxd dd dd d0lim关关 系系)( xodyydxydyydxdyd d+ += =d d = = = =关关 系系)( xodyydxydyydxdyd d+ += =d d = = = =高阶导数高阶导数高阶导数高阶导数高阶微分高阶微分高阶微分高阶微分微微 分分微微 分分xydyd d = =微微 分分微微 分分xydyd d = =导数及其应用2洛必达法则洛必达法则洛必达法则洛必达法则rolle

2、定理定理rolle定理定理lagrangelagrange中值中值定理定理lagrangelagrange中值中值定理定理常用常用的的泰勒公式泰勒公式常用常用的的泰勒公式泰勒公式型型00,1 ,0 型型 - - 型型 0型型00型型 型型00型型 cauchycauchy中值定理中值定理cauchycauchy中值定理中值定理taylortaylor中值定理中值定理taylortaylor中值定理中值定理xxf= =)()()(bfaf= =0= =ngfgf1= =fgfggf1111- -= =- -取对数取对数令令gfy = =单调性单调性, ,极值与最值极值与最值, ,凹凸性凹凸性,

3、,拐点拐点, ,函数函数图形的描绘图形的描绘; ;曲率曲率; ;求根方法求根方法. .单调性单调性, ,极值与最值极值与最值, ,凹凸性凹凸性, ,拐点拐点, ,函数函数图形的描绘图形的描绘; ;曲率曲率; ;求根方法求根方法. .导数的应用导数的应用单调性单调性, ,极值与最值极值与最值, ,凹凸性凹凸性, ,拐点拐点, ,函数函数图形的描绘图形的描绘; ;曲率曲率; ;求根方法求根方法. .单调性单调性, ,极值与最值极值与最值, ,凹凸性凹凸性, ,拐点拐点, ,函数函数图形的描绘图形的描绘; ;曲率曲率; ;求根方法求根方法. .导数的应用导数的应用导数及其应用31.导数定义的几种等价

4、形式导数定义的几种等价形式2.求导方法：（求导方法：（1）用定义（）用定义（2）先化简再求导）先化简再求导（3）将乘除变加减再求导）将乘除变加减再求导（4）幂指函数求导法）幂指函数求导法（5）隐函数求导法）隐函数求导法（6）参数方程所确定的函数的导数）参数方程所确定的函数的导数（7）抽象函数的高阶导数）抽象函数的高阶导数3.导数的应用导数的应用 （1）中值定理）中值定理 （2）函数的单调性与凹凸性）函数的单调性与凹凸性 （3）极值应用问题）极值应用问题导数及其应用41.导数定义的几种等价形式导数定义的几种等价形式0000000000000000000( )()(1)()lim()()()lim

5、( )()(2)()lim( )()(3)()lim()( )limxhxxxxf xxf xf xxf xhf xf xhf xf xf xxxf xxf xf xxf xf xxx+ +- -= =+ +- -= =- -= =- - - -= =- - - -= =000( )(0)(0)lim( )(0)(0)lim( )(0)(0)limxhxfxffxf hffhf xffx- -= =- -= =- -= =00000000()()()lim()()()limhhf xhf xfxhf xhf xfxh- -+ +- -+ +-+-= =+-+-= =导数及其应用5201sin,

6、0( )0,10( )li( 351.8)m( )xxxf xxxf xf xp = = 求求例指导例例指导例并讨论的存在性.并讨论的存在性.0112 sincos,0( )0,0 xxxf xxxx -= = 时，由导数公时，由导数公解解式得：式得：2001sin0( )(0)(0)limlim0 xxxf xfxfxx- - - -=00( )(0)00(0)limlim0 xxf xffxx+-+-+ +- - -=(0)0f=2.求导方法求导方法 （1）用定义）用定义导数及其应用6112 sincos,0( )0,0 xxf xxxx -= = 故故0011(00)lim( )lim(

7、2 sincos)xxff xxxx-=-=-0lim( )xf x不存在.不存在.0lim( )(0)xf xf注意：不要出现错误：注意：不要出现错误：不存在，不存在不存在，不存在0(0)lim( )xff x事实上，的存在性与极限事实上，的存在性与极限的存在性无关.的存在性无关.导数及其应用722,225,11( )11,1axf xxxaxpbx =+ + + 例 （指导例 （指导求 ,b使求 ,b使在处在处改）改）连续且可导.连续且可导.2112(10)lim11(10)lim()xxfxfaxbab- -+ +-=-=+ +=+=+=+=+解解(1( )1,1(1)f xxabf=+

8、=+- - -= =- -= =在连续 则在连续 则21121( )(1)1(1)limlim11xxf xfxfxx- - - -+ +=-0( )02 212 2lim1(1)xxx- - - = -= -+ +导数及其应用811( )(1)1(1)limlim11xxf xfaxbfxx+-+-+ +- -+-+-=-由（由（1）1lim1xaxaax+ +- -=- -( )1f xx = =在可导在可导11( )a= -= -代入得代入得b=2用定义求导适用于三种情形：用定义求导适用于三种情形：(1)分段函数（包括绝对值函数）在分段点处的导数分段函数（包括绝对值函数）在分段点处的导数

9、(2)抽象函数或表达式较复杂的显函数在某点的导数抽象函数或表达式较复杂的显函数在某点的导数(3) 与导数有关的证明题与导数有关的证明题导数及其应用911( )1lim3,3(1).( )372.1)1xxf xxffpx- -= = = 设设在在连连续续且且求求例例指指导导例例解解由由111lim3,lim( -1)0( )xxxxf x- -=且且1lim( )(1)0()xf xf=得反证得反证11( )(1)11(1)limlim113( )xxf xffxxf x- -=-导数及其应用103( )sin3 ,(0).2xf xexf = = 设求设求332311( )sin33cos3

10、10.,30 xxxfxexxxxe + += = =用用此此法法不不能能求求出出在在的的导导数数解解0( )(0)(0)lim2xf xffx- -= =解解30sin3limxxexx= =30sin333limxxexx= =3导数及其应用11( )(1)(23)(100),(3)f xx xxxf- - =-=- 求求3( )(3)(3)lim3xf xffx- -= =- -解解3(1)(2)(3)(100)0lim3xx xxxxx-= =- -3 2 1 ( 1)( 2)( 97)= -= -97( 1) 3!97!= -= -6(97)!= -= -导数及其应用121sin(

11、)arcsin,(0)4.1sinxf xxfx= =+ + - - 求求0( )(0)(0)limxf xffx- -= =解解01sinarcsin1sinlimxxxxx- -+ += =1= =导数及其应用13(2).先化简再求导先化简再求导 21sin,sin24392.6xyypx+ += =例指例指求求导例导例222sincos2sincosxxyxx+ += = 解解1tancot2xx=+=+221seccsc2yxx=-=- ( )55,141( ),( )1npxf xfxx- -= = + + 求求例5指导例5指导2(1)2( )1,11xf xxx-+-+=-=-+解

12、解22( ),(1)f xx- -= =+ +23( 1) 2 2!( )(1)fxx-= =+ +( )1( 1) 2!,( )(1)nnnnfxx+ +-= =+ +导数及其应用14(3).将乘除变加减再求导将乘除变加减再求导()(1,6)xxxyyx x-= =求求例例2xxxx xyx x-= =解解111xxx=-=-23111122yxxx= -+= -+23ln,1xyyx= =+ +例例求求7 721lnln(1),32yxx=-+=-+解解2132(1)yxx=-=-+ +导数及其应用15(4). 幂指函数的导数幂指函数的导数22128,xxxyxdy= =+=+求求例例22

13、 ln21xxxye=+=+解解221(2 ln2 ln2)2 ln2 2xxxxyxxxx=+=+11(24ln2)xxdyydxdx=+=+导数及其应用1622128,xxxyxdy= =+=+求求例例212,xyx= =解解 令取对数令取对数1ln2 ln ,xyxx= =两边对 求导:两边对 求导:11112 ln2 ln2xxyxyx=+=+211(2 ln2 ln2)xxxyxxx=+=+导数及其应用17(5).隐函数的导数隐函数的导数9(157,(0),9)yexyype+=+=求求例 总习题二例 总习题二(0)1,:0yyxeyyxy= =+=+=方程两边对 求导方程两边对 求

14、导解解1(0)1:(0)yye= -= -把代入知把代入知()(1)y 不必解出不必解出(1)式两边再对式两边再对x求导：求导： 2( )0(,)2)yyeye yyyxyy+=+= 不必化简 不必解出不必化简 不必解出1(0)1,(0)(2):yye= -= -把代入式得把代入式得导数及其应用18211()(0)2()0eeyee-+-=-+-=222211(0)yeee=-=-=(6).参数方程所确定的函数的导数参数方程所确定的函数的导数2222210(, 157,10.(2)ln 1,arctand yd xxtytdxpdy =+=+ = = 例总习题例总习题求求二二221112121

15、dtdytdxttdtt+ +=+ +解解导数及其应用1922()dydd ydxdxdx= =2211dtttdtt- -= =+ +231tt+ += -= -1dxtdydydx=22()dxddyd xdydy= =211dtdtt= =+ +21t=+=+导数及其应用20 2arcta11(222,4(2)n( ),.25tdyxtyg xytyedxch= =- -= =-+=-+=设由确定 求设由确定 求例习解补充练习题例习解补充练习题225tytyet-+=-+=两边对两边对解解求导:求导:2220tdydyytyedtdt- +=- +=222tdyyedtty- -= =-

16、 -ttydydxx= =222211tyetyt- - -= =+ +22()(1)2(1)tyetty-+-+= =- -导数及其应用21(7).抽象函数的高阶导数抽象函数的高阶导数 设f(x)可导,y=f(lnx)设f(x)可导,y=f(lnx)例例, ,求求1212y y1(ln )yfxx=解解2211(ln )(ln ) ()yfxfxxx=+ -=+ -21(ln )(ln )fxfxx=-=-213( ),(),x xy ey- - = =例例设可导求设可导求2 ()() ()xxxy e ee-= -= -解解222222xxxy e e e-=+=+导数及其应用223.导数

17、的应用导数的应用（1）中值定理（证等式、证不等式、证方程根的存在性）中值定理（证等式、证不等式、证方程根的存在性）0, ( ) , , ),:( , ),( )( )(14(224,6)lnab f xa ba ba bbf bf apf a -=-=设在上设在上连续 在(连续 在(例总习题三例总习题三内可导 证明 存在使内可导 证明 存在使证证1（倒推法）（倒推法）要证等式要证等式( )( )( )lnln1f bf af ba - -= =- -变形为变形为( )ln , , f xxxa b=令令1( )0,( , )f xxa bx =对对f(x)、f(x) 应用应用cauchy定理，

18、定理，( )( )( )( , ),( )( )( )f bf af a bf bf af - - = = - -使使得证得证.导数及其应用23证证2（原函数法）（原函数法）要证等式化为要证等式化为 ( )( )( )ln 0 x bf bf axf xa= = -=-=1 ( )( )( )ln 0 x bf bf af xxa= = -=-=或或 ( )( )ln( )ln 0 x bf bf axf xa= = -=-=即即( ) ( )( )ln( )lnb xf bf axf xa=-=-令辅助函数令辅助函数( )( )ln( )ln( ) af baf ab b=-=-=则则( )

19、 , (0,0). xa brollea对在上应用定理对在上应用定理并注意即证毕并注意即证毕导数及其应用24.( ) , ,( , ),( )( ),:( , ),(05)1f xa ba bf af ba bf = = 设不恒为常数的函数在上连续 在设不恒为常数的函数在上连续 在内可导 且证明 在内至少存在内可导 且证明 在内至少存在一点使得一点使得例例( )( )( )( , )f bf af xa b= =因且在上不因且在上不证证恒为常数恒为常数( , ),( )( )ca bf cf a 故使故使( )( ), , f cf aa clagrange 若在上应用定理，若在上应用定理，(

20、 )( )( , )( )0f cf aa cf ca- - = =- -则使则使( )( ), , f cf ac blagrange 若若在在上上应应用用定定理理，( )( )( , )( )0f bf cc bf bc- - = =- -则使则使abcxyo导数及其应用25163113 21xxeex- -例 （习题， （ ）例 （习题， （ ）证明：当时,证明：当时,( ),1,1xf xexlagrange= =令上令上证证在应用定理在应用定理(1)(1)(1)xe xeeeexxex-=-=-=-=-xeex( )ln ,1, f xxxlagrange= =令在上应用令在上应用证

21、2证2定理定理1lnln1(1)1(1()1)xxxx-=-=-1ln1xxxxe- -由得由得,xxexeexe即即导数及其应用26( )3xf xeex=-=-令令证证( )0,1xf xeex =-=-当时当时1, ( )1, ( )(1)0 xf xxf xf=时单调增加时单调增加时时0,xeex-即即xeex 故故导数及其应用27（2）单调性、凹凸性）单调性、凹凸性,:17(66,3)babpaeab设证明设证明例自测例自测lnln:lnln ,abbaabab分析 取对数分析 取对数ln( )( , 1)xf xf xxa bx=令证令证证证21ln( )xf xx- - = =(

22、 )0eaxbf x ( ) , f xa b在在( )( )abf af b又又lnlnabab 即即lnlnbaabbaab导数及其应用28: lnlnbaab 分析 只须征分析 只须征( )lnln()2f xxaaxxa=-=-证证 令令1( )l0()naxaeafaxxx -=-=-( )f xxa在时单调增加在时单调增加( )( )0baf bf a=时有时有lnln0baab-即即lnlnbaabbaab导数及其应用291:0,arctan.218xxx + + 例例证证明明时时1( )arctan2f xxx=+-=+-设设证证2222111( )01(1)f xxxxx =

23、 -+= -= -+= -+0( )xf x时时1( )()lim(arctan)02xf xfxx+ =+-=+ =+-=1arctan2xx+导数及其应用3022:0,(191)ln(1.)xxxx-例例证明时证明时22( )(1)ln(1) ,(11)0 xxxx=-=-=证证 令易知令易知211( )2 ln(1)2(1)2 ln2 xxxxxxxxxx = =+ +- - - -= =- - -+ +(1)0,1x = 是驻点是驻点22111( )2ln212ln1 xxxxxxx =+-+=+=+-+=+(1)20,( )1,1( )(0,) xxx x =+=+在取极小值在取极小

24、值且为在内唯一极值点且为在内唯一极值点( )1(0,),(1)0 xx=+=+=在处取得内的最小值 又在处取得内的最小值 又0, ( )(1)0 x x=时时22(1)ln(1)xxx-即即导数及其应用3122:0,(191)ln(1.)xxxx-例例证明时证明时12( )lnln1121x xxxxx- -=-=-+=-=-+证证 令令222112( )0,0(1)(1)x xxxxx x+ + =-=-=+当当0, ( )(1)0 x x=时又时又01 , ( )0,1, ( )0 x xx x + + 当当时时当当时时2220,(1) ( )(1)ln(1)0 xx xxxx-=-=-时时22(1)ln(1)xxx-即即:( )(1)ln(1) xxxx=+-=+-注 也可令注 也可令导数及其应用322120.xxyxedx- - -= = 求求例例的的极极值值21,0 xyxex- - =驻点为驻点为解解0,0;0,0.xyxy时时时时0 x= = 为为极极小小值值点点, ,极极小小值值为为: :220011111(0)(1)22xxyxedxee- - -= -=-= -=- 222222,0 xxxxyxexyex eex- - = =驻点为驻点为-2=(1-2),y (-2=(1-2),y (解2解20)=100)=100 x= = 为为极极小小值值点点, ,