8,多元函数的微分学8

1、 哈尔滨工程大学 微积分微积分教学内容和基本要求教学内容和基本要求 理解多元函数的极限与连续概念理解多元函数的极限与连续概念,以及有界闭区域上以及有界闭区域上 连续函数的性质。连续函数的性质。理解偏导数和全微分的概念理解偏导数和全微分的概念, 了解全微分存在的必了解全微分存在的必要和充分条件。理解方向导数和梯度的概念，并掌要和充分条件。理解方向导数和梯度的概念，并掌握其计算方法。掌握复合函数一阶、二阶偏导数的握其计算方法。掌握复合函数一阶、二阶偏导数的求法。会求隐函数的偏导数和全导数。求法。会求隐函数的偏导数和全导数。了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的了解曲线的切线和法平面及曲面的切

2、平面和法线的概念，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法概念，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单函数的最大值和最小值，会求条件极值，会求简单函数的最大值和最小值，会解一些简单应用题。解一些简单应用题。重点与难点重点与难点重点：多元函数的概念，偏导数与全微分的概重点：多元函数的概念，偏导数与全微分的概 念，多元复合函数的求导法则，用拉格念，多元复合函数的求导法则，用拉格 朗日条件极值求最大值应用问题，方向朗日条件极值求最大值应用问题，方向 导数与梯度。导数与梯度。难点：全微分的概念，多元复合函数的求导法则。难点：全微分的概念，多元复合函数的求导法则。 哈尔滨工程大学 微积

3、分微积分一、二元函数的极值一、二元函数的极值8.8 多元函数的极值多元函数的极值 哈尔滨工程大学 微积分微积分(1)(2)例例1处有极小值处有极小值在在函数函数)0 , 0(4322yxz 例例处有极大值处有极大值在在函数函数)0 , 0(22yxz 例例:)0 , 0(处无极值处无极值在在函数函数xyz 在在1, 3象限的值为正象限的值为正; 在在2, 4象限的值为负象限的值为负; 而在而在坐标轴上的值为坐标轴上的值为0. 哈尔滨工程大学 微积分微积分( ),(yx),(00yx ) ),(yxf),(00yxf 证证 哈尔滨工程大学 微积分微积分 仿照一元函数仿照一元函数, 凡能使一阶偏导

4、数同时为零的点凡能使一阶偏导数同时为零的点, 均称为函数的均称为函数的 驻点驻点.驻点驻点极值点极值点问题：问题：如何判定一个驻点是否为极值点？如何判定一个驻点是否为极值点？注：注： 哈尔滨工程大学 微积分微积分 哈尔滨工程大学 微积分微积分, 0),( yxfx0),( yxfy 哈尔滨工程大学 微积分微积分例例4 求函数求函数 f (x,y) = x3 y3 + 3x2 + 3y 29x 的极值的极值.解解先解方程组先解方程组 063),(0963),( 22yyyxfxxyxfyx求得驻点求得驻点: (1, 0), (1, 2), (3, 0), (3, 2) . 再求二阶偏导数再求二阶

5、偏导数.66 ,0 ,66 yffxfyyxyxx在点在点(1, 0): ac b2 = 12 6 0, a=12 0, f(x,y) 在点在点 (1,0) 有极小值有极小值 f(1, 0) = 5. 哈尔滨工程大学 微积分微积分在点在点(1, 2): ac b2 = 12( 6 ) 0, a = 12 0, f(x, y) 在点在点 ( 3, 2)有极大值有极大值 f( 3, 2) = 31.在点在点( 3, 0): ac b2 = 126 0, f(x, y) 在点在点 ( 3, 0) 不取极值不取极值; 哈尔滨工程大学 微积分微积分方法：方法：(1) 求函数在求函数在d 内的所有驻点及不

6、可导处的函数值内的所有驻点及不可导处的函数值;(2) 求在求在 d 的边界上的最大值和最小值的边界上的最大值和最小值;(3) 比较上面的数值，其中最大者即为最大值，最比较上面的数值，其中最大者即为最大值，最 小者即为最小值小者即为最小值. 与一元函数相类似，我们可以求有界闭区域上连与一元函数相类似，我们可以求有界闭区域上连续的二元函数的最大值和最小值续的二元函数的最大值和最小值.二、连续二元函数在有界闭区域内的最值二、连续二元函数在有界闭区域内的最值 哈尔滨工程大学 微积分微积分解解xyo6 yxd 0)4(),(0)4(2),(222yxyxxyxfyxyxxyyxfyx 哈尔滨工程大学 微

7、积分微积分xyo6 yx, 02)6(4)(2 xxxxg),60( )2)(6()(),(2 xxxxgyxf, 2|64 xxy;64)2 , 4( f)4(),(2yxyxyxf 哈尔滨工程大学 微积分微积分.,2730,272210 222求其方程求其方程的切平面的切平面作曲面作曲面过直线过直线 zyxzyxzyx 解解 273),(222 zyxzyxf设设,6xfx 则则,2yfy zfz2 的平面束方程为的平面束方程为过直线过直线 0272210zyxzyx0)(272210 zyxzyx )2(),2(),10( n法法向向量量 哈尔滨工程大学 微积分微积分;)1(最最大大值值

8、的的方方向向向向导导数数取取得得梯梯度度向向量量的的方方向向是是使使方方.)()2(的的最最大大值值等等于于方方向向导导数数模模梯梯度度向向量量的的范范数数梯梯度度是是一一个个向向量量的的在在点点函函数数),(),(0000zyxmzyxfu 方向导数和梯度方向导数和梯度强调强调1强调强调2方向导数和可微之间的关系方向导数和可微之间的关系 哈尔滨工程大学 微积分微积分例如例如由点由点),(yxp到坐标原点的距离定义的函数到坐标原点的距离定义的函数22yxz 在坐标原点处的两个偏导数均不存在坐标原点处的两个偏导数均不存在，但它在该点沿任何方向的方向导数均存在在，但它在该点沿任何方向的方向导数均存

9、在，且且方向导数值都等于方向导数值都等于1：10lim222200)0,0( yxyxlzyx想一想，该例给你什么启示想一想，该例给你什么启示 函数可微是方向导数存在的充分条件，函数可微是方向导数存在的充分条件，而不是必要条件。而不是必要条件。方向导数存在时，偏导数不一定存在。方向导数存在时，偏导数不一定存在。 哈尔滨工程大学 微积分微积分则则有有设设切切点点为为),(000zyx 027)2()2()10(02732222610000202020000zyxzyxzyx 1, 1, 1, 3000 zyx解解得得19,17,17, 3000 zyx或或 哈尔滨工程大学 微积分微积分所所求求切

10、切平平面面方方程程为为于于是是,0)1( 1)2()1( 12)3(36 zyx0)17)(17()2()17)(17(2)3)(3(6 zyx或或0279 zyx即即02717179 zyx或或 哈尔滨工程大学 微积分微积分 为了实际应该中的方便以下称待讨论极值为了实际应该中的方便以下称待讨论极值问题的函数为问题的函数为目标函数。目标函数。多元函数的极值问题有两类：多元函数的极值问题有两类：多元函数的极值的分类多元函数的极值的分类 无约束极值无约束极值只在目标函数的定义域只在目标函数的定义域 范围内讨论极范围内讨论极(最最)值问题。值问题。 有约束极值有约束极值在附加约束在附加约束(cons

11、traints) 条件下，讨论目标函数的极值问题。条件下，讨论目标函数的极值问题。 哈尔滨工程大学 微积分微积分无约束极值无约束极值只在目标函数的定义域只在目标函数的定义域 范围内讨论极范围内讨论极(最最)值问题。值问题。 哈尔滨工程大学 微积分微积分例例6 某厂要用铁板作成一个体积为某厂要用铁板作成一个体积为2立方米的有立方米的有盖长方体水箱盖长方体水箱.问当长、宽、高各取怎样的问当长、宽、高各取怎样的 尺尺寸时寸时 , 才能使用料最省才能使用料最省.解解 水箱所用材料的面积为水箱所用材料的面积为, )22(2xyxxyyxya . 0)0,( )22(2 yxyxxya即即. 2 米米米，

12、则其高为米，则其高为米，宽为米，宽为设水箱的长为设水箱的长为xyyx 哈尔滨工程大学 微积分微积分解得解得. 2 , 233 yx ., 2222 2 2 . 2, 2 ),2, 2( . 0, 0: 333333333水箱所用的材料最省水箱所用的材料最省米时米时米、高为米、高为米、宽为米、宽为就是说当水箱的长为就是说当水箱的长为取得最小值取得最小值时时所以当所以当内有唯一的驻点内有唯一的驻点又函数在又函数在内取得内取得一定存在，并在区域一定存在，并在区域依题意，问题的最小值依题意，问题的最小值 ayxdyxd解方程组解方程组 . 0)2(2, 0)2(222yxaxyayx. 0)0,( )

13、22(2 yxyxxya 哈尔滨工程大学 微积分微积分三、条件极值三、条件极值1. 条件极值在数学上的提法条件极值在数学上的提法条件极值：条件极值：对自变量有附加条件的极值对自变量有附加条件的极值求求),(:21nxxxfu “目标函数“目标函数0),(:21 nkxxx 在约束条件组在约束条件组下的极值。下的极值。”), 2, 1(nmmk 如如 k=1, 求求 在约束条件在约束条件),(zyxfu 下下的的极极值值。0),( zyx 如如 k=2, 求求 在在约约束束条条件件),(zyxfu 下的极值。下的极值。 0),(0),(zyxhzyxg 哈尔滨工程大学 微积分微积分2. 条件极值

14、的定义条件极值的定义 哈尔滨工程大学 微积分微积分方法方法1使使二二元元函函数数的的再再代代入入中中解解出出从从),(0),(yxfyyx 数数的的无无条条件件极极值值问问题题。条条件件极极值值转转化化为为一一元元函函3. 条件极值的解法条件极值的解法例例7下的极值下的极值在条件在条件求二元函数求二元函数8222 yxxyyxz解解zxyyx代代入入得得由由,8, 8 128404 )8()8(2222 xxxxxxz 哈尔滨工程大学 微积分微积分由一元函数极值存在的必要条件，得由一元函数极值存在的必要条件，得0408 xdxdz所以所以5 xxyyxzyxdxzd 22222)3 , 5(,

15、 3585 , 08为二元函数为二元函数时，时，当当因为因为288下下极极小小值值点点，极极小小值值为为在在条条件件 yx1284042 xxz 哈尔滨工程大学 微积分微积分方法方法2 （ lagrange数乘法）数乘法）在附加条件在附加条件要找函数要找函数),(yxfz 构构成成辅辅助助函函数数下下可可能能极极值值点点，可可以以先先0),( yx ),(),(),(yxyxfyxl 其中为待定常数，称为拉格朗日乘数，将其中为待定常数，称为拉格朗日乘数，将原条件极值问题化为求三元函数原条件极值问题化为求三元函数的无条件极值问题的无条件极值问题 ),( yxl由无条件极值问题必要条件有：由无条件

16、极值问题必要条件有： 哈尔滨工程大学 微积分微积分 为什么有条件极值用此种方法可行？下面我为什么有条件极值用此种方法可行？下面我们进行分析们进行分析 0),(),(0),(),(0),(),(yxyxffyxyxffyxyxffyyyxxx 这方法还可以推广到自变量多于两个而条件这方法还可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形。多于一个的情形。 哈尔滨工程大学 微积分微积分证证 令曲线令曲线 的参数方程为的参数方程为0),( yx :l )()(tyytxx)( t 哈尔滨工程大学 微积分微积分)(),()(),(|0000000tyyxftxyxfdtdzyxt 0)(),(),(),(

17、000000 tytxyxfyxfyx 哈尔滨工程大学 微积分微积分 0),(),(),(),(),(000000000000yxyxyxfyxyxfyyxx 哈尔滨工程大学 微积分微积分 0),(),(0),(),(),(0),(),(),(0000,00000000,00000000,0yxyxlyxyxfyxlyxyxfyxlyyyxxx 哈尔滨工程大学 微积分微积分解答解答 012 0 0 0zyxlxylxzlyzlzyx 则则. 4 ), ( 3 zyxxyxzyz得到得到为中介为中介以以个方程个方程由前由前 另一方面另一方面, 由问题的实际意义知由问题的实际意义知 u= 44 4

18、 = 64 为所求为所求. 哈尔滨工程大学 微积分微积分 哈尔滨工程大学 微积分微积分-4-2024-4-20240510152005101520例例912 zyx平面平面,22yxz 截旋转抛物面截旋转抛物面其截口是一个椭圆其截口是一个椭圆,求截口椭求截口椭圆上的最高点和最底点。圆上的最高点和最底点。解：解：求最高点和最底点的求最高点和最底点的目标函数是目标函数是),(zyxfu z 但这个极值问题受限于两个约束条件，但这个极值问题受限于两个约束条件，),(zyxg012 zyx),(zyxh022 zyx 哈尔滨工程大学 微积分微积分是条件极值问题，设其是条件极值问题，设其lagrange

19、函数函数为为)()12(22zyxzyxz ),;,( zyxl利用条件极值取得极值的必要条件利用条件极值取得极值的必要条件令令02 xfx 02 yfy 01 zf 012 zyxf 022 zyxf 哈尔滨工程大学 微积分微积分 从从可知若可知若，于是将与，于是将与则则0, 0 矛盾矛盾 所以所以 因而得到因而得到：,0 yx 22 , yx 再代入再代入 ,得得22xz ,012222 xx 然后由然后由062 xx即即即得即得,2,3 xx于是因于是因, yx 22xz 而求得最高点为而求得最高点为, )18, 3, 3(1 p. )8, 2, 2(2 p最底点为最底点为 哈尔滨工程大

20、学 微积分微积分抛物面抛物面zyx 22被平面被平面 截成一个椭圆截成一个椭圆. . 1 zyx求这个椭圆到原点的最长与最短距离求这个椭圆到原点的最长与最短距离. .解解这个问题实际上就是要求目标函数这个问题实际上就是要求目标函数222),(zyxzyxf 在条件在条件zyx 22及及1 zyx下的最大下的最大, ,最小值问题最小值问题. .应用拉格朗日乘数法应用拉格朗日乘数法, ,令：令：练练 哈尔滨工程大学 微积分微积分)1()(),(22222 zyxzyxzyxzyxl 对对l求一阶偏导数求一阶偏导数,并令它们都等于并令它们都等于0,则有则有 01, 0, 02, 022, 02222

21、zyxlzyxlzlyylxxlzyx 哈尔滨工程大学 微积分微积分求解这个方程组得求解这个方程组得32,231,33117,3353 zyx 由于所求问题存在最大最小值由于所求问题存在最大最小值,故由故由39)32 ,231,231( f椭圆到原点的最长距离为椭圆到原点的最长距离为39 最短距离为最短距离为39 哈尔滨工程大学 微积分微积分求空间一点求空间一点),(000zyx到平面到平面0 dczbyax的最短距离的最短距离.解解:),(),(000的距离为的距离为它到它到对平面上任一点对平面上任一点zyxzyx设设),()()()(),(202020dczbyaxzzyyxxzyxl 于

22、是有于是有202020)()()(zzyyxxd 练练2 . 0, 0)(2, 0)(2, 0)(2000dczbyaxlczzlbyylaxxlzyx 哈尔滨工程大学 微积分微积分解得解得222000000)(2,21,21,21cbadczbyaxczzbyyaxx 所以所以 202020)()()(zzyyxx故故,222000cbadczbyaxd 为所求最短距离为所求最短距离,)(2222000cbadczbyax )(412222cba 哈尔滨工程大学 微积分微积分 哈尔滨工程大学 微积分微积分x y z 哈尔滨工程大学 微积分微积分 哈尔滨工程大学 微积分微积分 哈尔滨工程大学

23、微积分微积分 哈尔滨工程大学 微积分微积分 哈尔滨工程大学 微积分微积分804317121725258)17,25(22 c( (元元).).25x 17 y解得解得 件，件，件，件， 故惟一驻点故惟一驻点(25,17)也是最小值点，也是最小值点，它使成本为最小，最小成本为它使成本为最小，最小成本为 哈尔滨工程大学 微积分微积分 哈尔滨工程大学 微积分微积分设拉格朗日函数设拉格朗日函数)25(251020540),( yxyyxxyxf 哈尔滨工程大学 微积分微积分 哈尔滨工程大学 微积分微积分如何购物最满意 日常生活中，人们常常碰到如何分配定量的钱日常生活中，人们常常碰到如何分配定量的钱来购买两种物品的问题由于钱数固定，则如果购来购买两种物品的问题由于钱数固定，则如果购买其中一种物品较多，那么势必要少买买其中一种物品较多，那么势必要少买( (甚至不再能甚至不再能买买) )另一种物品，这样就不可能很令人满意如何花另一种物品，这样就不可能很令人满意如何花费给定量的钱，才能达到最满意的效果呢？经