大学数学：ch5-2 多元函数的极限与连续性-1

1、2013年4月1日南京航空航天大学 理学院 数学系1 第第2节节 多元函数多元函数的极限与连续性的极限与连续性(1)多元函数的概念多元函数的概念n元（数量值）函数元（数量值）函数以二元函数、三元函数为主以二元函数、三元函数为主n元向量值函数元向量值函数推广推广一元函数微分学一元函数微分学 多元函数微分学多元函数微分学 22.1 多元函数的概念多元函数的概念引例引例: : 圆柱体的体积圆柱体的体积2,Vr h (,)0,0r hrhhr 一定质量的理想气体一定质量的理想气体，其体积其体积V与压强与压强p均均 与气体所受的温度与气体所受的温度T(绝对温度绝对温度)有关有关，其关系其关系 式为式为：

2、 p=RT/V R-气体常数气体常数 (V0, T0oK) 3 函数函数(或映射或映射)是两个集合之间的一种确定的对是两个集合之间的一种确定的对 应关系应关系. R 到到 R 的映射是一元函数；的映射是一元函数； R2 到到 R 的映的映 射则是二元函数，射则是二元函数，R3 到到 R 的映射则是三元函数，的映射则是三元函数，. ,Rn 到到 R 的映射则是的映射则是n元元(数量值）函数数量值）函数. 三角形面积的海伦公式三角形面积的海伦公式()2abcp cba (,)0,0,0,abcabcabc()()()Sp papbpc一个变量依赖于二个或二个以上变量的情形！一个变量依赖于二个或二个

3、以上变量的情形！ 温度是时空的函数温度是时空的函数： T= T(x,y,z,t)4n 元（数量值）函数定义元（数量值）函数定义See P.11定义定义2.123( , ),( , )( , , ).zf x yx yARuf x y zAR通通常常，二二元元函函数数记记作作； 三三元元函函数数记记作作5对于后一种被称为对于后一种被称为 “点函数点函数” 的写法的写法, 它可使多元它可使多元 函数与一元函数在形式上尽量保持一致函数与一元函数在形式上尽量保持一致, 以便仿照以便仿照 一元函数的办法来处理多元函数中的许多问题一元函数的办法来处理多元函数中的许多问题; 同时同时, 还可把二元函数的很多

4、论断推广到还可把二元函数的很多论断推广到 (3)n 元函数中来元函数中来. (),wf PPD -点函数形式点函数形式 6求求法法：的的定定义义域域二二元元函函数数Dyxfz),( .,数数的的自自然然定定义义域域点点的的集集合合为为这这个个二二元元函函所所确确定定的的变变量量一一切切使使算算式式有有意意义义的的自自yx22(1)1zxy 例例1 求下列函数的定义域求下列函数的定义域 1(2)lnzxyx2222222(3)ln(2 )ln(4)arcsin(3)(4)zxyxxyxyxy 7xyo22( , )|1Dx yxy( , )|0,Dx yxyx xyo xyxD0:1:22 yx

5、D22(1)1zxy 1(2)lnzxyx8xy(1,0) o22(3)( , )|24Dx yxxy222(4)( , )|24,Dx yxyxy2222222(3)ln(2 )ln(4)arcsin(3)(4)zxyxxyxyxy xyo9二元函数二元函数 z=f (x,y) 的图象的图象 当把当把 和它所对应的和它所对应的 一起组成一起组成 ( , )x yD ( , )zf x y三维数组三维数组 ( x, y, z ) 时时, 三维点集三维点集 3( , )|( ,),( ,)RGrfx y zzf x yx yD便是二元函数便是二元函数 f 的图象的图象, 通常该图象是一空间曲面通

6、常该图象是一空间曲面. 10zaxbyc（1 1）线线性性函函数数：.表表示示一一张张平平面面例例2zx y （3 3）221()zxy （2 2）.表表示示上上半半球球面面它的图象是过原点的马鞍面它的图象是过原点的马鞍面.22(4) zxy2=( , ),()Dx yRf DN()f DR 2 =( , ),()Dx yRf DR22 ( , )1()0,1Dx y xyf D2( , )Dx yR11xyzO1例例2 (2) xyzO例例2(3)例例2(4)xyzOz1 z2 12 若二元函数的若二元函数的值域值域 是有界数集是有界数集, 则则称函数称函数 ()f Df在在 D上为一有界函

7、数上为一有界函数 ( 如例如例2(2)中的函数中的函数 ) . 否则否则, ()f Df若若 是无界数集是无界数集, 则称函则称函数数在在 D上为一无界上为一无界 函数函数 ( 如例如例2(1)、(3)、(4 )中的函数中的函数 ). 与一元函数类似地与一元函数类似地, 设设 2R ,D 则有则有 ,lim().kkkfDPDf P在在上上无无界界使使 13另一种图示法另一种图示法等高等高(值）线（值）线（See P12)1415例例3 设函数设函数 ( 此函数在以后还有特殊用处此函数在以后还有特殊用处 ) 试用等高线法讨论曲面试用等高线法讨论曲面 ( , )zf x y 的形状的形状. (z

8、c c ( , ),zf x y 解解 用用 为一系列常数为一系列常数 ) 去截曲面去截曲面 得等高线方程得等高线方程 22222222()().xyxycxy xyc xyxy 或或2222, ( , )(0,0),( , )0,( , )(0,0).xyxyx yf x yxyx y 16当当 0c xOy时时, 得得 平面上的四条直线平面上的四条直线 0,0,.xyyxyx 当当 0c 时时, 由等高线的直角坐标方程难以看出它由等高线的直角坐标方程难以看出它 的形状的形状. 若把它化为极坐标方程若把它化为极坐标方程, 即令即令cos ,sin ,xryr 得到得到22sin44 ,4si

9、n4 .rcrc 或或 如下一页图如下一页图 所示所示, 为为0,1,3,5c 所对应的一所对应的一 族等高线族等高线. 17+1 +1 +1 +1 +3 +5 +3 +5 +3 +5 +3 +5 - 1 - 1 - 3 - 5 - 3 - 5 - 1 - 3 - 5 - 1 - 3 - 5 0 0 0 0 0 0 0 0 xy18-505-505-10-50510由此便可想象曲面的大致形状如图由此便可想象曲面的大致形状如图 所示所示, 坐标原点是曲面的一个鞍点坐标原点是曲面的一个鞍点, 四道四道 “山谷山谷” 与四道与四道 “山脊山脊” 在鞍在鞍 点处相汇点处相汇. 19设设 A为为 Rn 中的点集中的点集, 称映射：称映射：:(2),mARmf为定义在为定义在A上的一个上的一个n元向量值函数元向量值函数，也记作，也记作( )yf x12( ,)nx xxxA其中其中是自变量，是自变量，12(,)myRmyyy12(,)fmfff1112( ,)nyf x xx2212( ,)nyfx xx12( ,)mmnyfx xx.有有See P.14定义定义2.2111