大学数学：Ch5习题课(2)

1、多元函数微分法的应用多元函数微分法的应用切线方程切线方程为为法平面方程法平面方程为为(1)空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面1.几何应用几何应用:( ),( ),( ).xtytzt000000.( )( )( )xxyyzzttt000000( )()( )()( )()0.txxtyytzz000 ( ),( ),( ).ttt ,:( ),( )xxyy tzz t ( ):0yf xz ? ()曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线. 0),(: zyxF 切平面方程切平面方程为为法线方程法线方程为为.),(),(),(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFx

2、xzyx 000000000(,),(,),(,)xyznFxy zFxy zF xy z 000000000000(,)()(,)()(,)()0 xyzFxy zxxFxy zyyF xy zzz :( , )S zf x y ?n 3. 多元函数的极值与最值多元函数的极值与最值(1)定义定义(2) 驻点驻点对自变量除限制在定义域内对自变量除限制在定义域内,没有其它限制。没有其它限制。(3)判定判定定理定理002000000000000(,),(,)(,)(,)(1)0,(,)0(2)0,(,)(3)0,(,).xxyyxyxxxyfxyfxyfxyxyfxyxy 若若点点为为驻驻点点，记

3、记当当时时为为极极值值点点且且极极大大点点当当时时不不是是极极值值点点当当时时 不不能能确确定定是是否否为为极极值值小小) )就就是是可可能能的的极极值值点点. .( (解解出出0 0) )( (0 0) )( () )( (F F0 0) )( () )( (F F从从方方程程( (是是参参数数) ) ), ,( () )( () )F F( (构构造造函函数数x,y ,y,xx,yx,yx,yfx,yx,yfx,yx,yfx,yyyyxxx :0 0下下的的可可能能极极值值点点) )( (在在附附加加条条件件求求z z x,yx,yf )(拉格朗日乘数法：拉格朗日乘数法：.最最大大值值最最

4、小小值值得得上上的的多多元元连连续续函函数数必必取取有有界界闭闭区区域域D.)1(数数值值较较麻麻烦烦二二元元函函数数求求边边界界上上的的函函.决决定定最最大大最最小小值值与与边边界界上上的的函函数数值值比比较较驻驻点点处处的的函函数数值值求求出出象象一一元元函函数数那那样样将将全全部部.,)2(就就必必是是最最值值点点不不加加验验证证的的驻驻点点求求出出唯唯一一最最值值必必存存在在对对实实际际问问题题23,20 xt ytztxyz 在在曲曲线线：上上求求一一点点使使在在该该点点的的切切线线平平行行于于平平面面 ：，并并求求过过该该点点的的切切线线方方程程。EX1EX2222236,12 ,

5、13xyzxt yt zt 求求曲曲面面上上平平行行于于直直线线的的法法线线方方程程. .23,20 xt ytztxyz 在在曲曲线线：上上求求一一点点使使在在该该点点的的切切线线平平行行于于平平面面 ：，并并求求过过该该点点的的切切线线方方程程。例例1解解, t设所求点对应的参数为设所求点对应的参数为1,2,1n 又 的法矢为，又 的法矢为，1,(1, 1 1)1,t 得切点，得切点，11, 2,3 切矢（）切矢（）111123xyz 切切为：为：线方程线方程213t 111( ,)39 27 得切点，得切点，22 11,3 3 切矢（）切矢（）1/31/91/27321xyz 为：为：切

6、线方程切线方程21, 2 ,3 tt 该点的切矢为：该点的切矢为：21211430,1,3tttt即解得即解得21, 2 ,3 1,2,10ntt 依题意有，依题意有，例例2222236,12 ,13xyzxt yt zt 求求曲曲面面上上平平行行于于直直线线的的法法线线方方程程. .解解000(),xyz设切点为,设切点为,1,2,3直线的方向向量为直线的方向向量为00023,123xyz依题意有依题意有222000236xyz0000001,1,1;1,1,1xyzxyz 解得解得111123xyz法法为：为：线方程线方程0002,4,6nxyz 则法线的方向向量为则法线的方向向量为222

7、( , , )236F x y zxyz令令解解令令, 632),(222 zyxzyxF, 44 PPxxF, 66 PPyyF, 22 PPzzF故故PzyxFFFn),( ),2, 6, 4( ,142264222 n方向余弦为方向余弦为,142cos ,143cos .141cos PPyxzxxu22866 ;146 PPyxzyyu22868 ;148 PPzyxzu22286 .14 PPzuyuxunu)coscoscos( .711 故故例例4解解设设),(000zyxP为为椭椭球球面面上上一一点点,令令1),(222222 czbyaxzyxF,则则202|axFPx ，

8、202|byFPy ， 202|czFPz 过过),(000zyxP的切平面方程为的切平面方程为 )(020 xxax )(020yyby0)(020 zzcz,化简为化简为 1202020 czzbyyaxx,该切平面在三个轴上的截距各为该切平面在三个轴上的截距各为 02xax ，02yby ，02zcz ,所围四面体的体积所围四面体的体积 000222661zyxcbaxyzV , 在条件在条件1220220220 czbyax下求下求 V 的最小值的最小值,令令 ,lnlnln000zyxu ),(000zyxG 000lnlnlnzyx)1(220220220 czbyax ,由由,0

9、10, 0, 0220220220000 cybyaxGGGzyx当当切切点点坐坐标标为为(3a，3b，3c)时时,四面体的体积最小四面体的体积最小abcV23min . 01021021021220220220200200200czbyaxczzbyyaxx 可得可得即即30ax 30by ，30cz 2220006a b cVx y z 1220220220 czbyax在条件在条件 下求下求 的最小值的最小值 32220002222000000min0000002220002221327133 323 31,333xyzx y zabcabcx y zabcVabcabcx y zxyz

10、abcxyzabcxyzabc不等式等号成立不等式等号成立代入，得代入，得解解例例522(1)( , )( 4 )( 2 )g x yxy 解解2222( , )4(21000)F x yxyxy 840 xFxx 令令220yFyy 令令2221000 xy 0,10 10;0,10 5xyyx 0,10 5xy 所求点所求点( )C()D一、选择题一、选择题 ）不不（）（）（）上上最最小小值值（所所围围闭闭域域及及在在由由函函数数DCyxyyxyxz2101, 123.422ijk2 6(C)-11y= -x+1y=x+1xyo ）不不（）（）（）上上最最小小值值（所所围围闭闭域域及及在在

11、由由函函数数DCyxyyxyxz2101, 12. 22, 1131011, 2011)1(212, 2112,012maxminmaxminmaxmin 上最小值为上最小值为在在在在在在上上在在最值在边界上达到。最值在边界上达到。，Dzzxzxxyzzxxxxzxyzzxxzyzzyx解解(C)3.(1,2, 2)grad(,)( 4, 2,2)uyzxzxy 422ijkgrad2 6u 2 62222210,230(1, 1,2).24zxyzxyzxyxyz 二二、求求过过直直线线的的平平面面使使之之平平行行于于曲曲线线在在点点的的切切线线3,.a三三、已已知知正正数数 为为 个个正正

12、的的因因子子的的乘乘积积使使它它们们的的和和为为最最小小2222zxyxyz四、求旋转抛物面与平面四、求旋转抛物面与平面之间的最短距离之间的最短距离2222210,230(1, 1,2).24zxyzxyzxyxyz 二二、求求过过直直线线的的平平面面使使之之平平行行于于曲曲线线在在点点的的切切线线 lMzyxyxnzyxzyxz方方向向向向量量的的切切线线的的在在点点曲曲线线该该平平面面的的法法向向量量为为设设所所求求平平面面方方程程)2 , 1, 1(42)21(),2(),1(0)32(1202222 解解2 , 1 , 1,2, 2, 2,2 ,2042),(02),(212220 n

13、zyxnzyxzyxGzyxzyxFM令令0171293,25 zyx因因此此所所求求平平面面解解得得 02 , 3, 1)21(),2(),1(0, ln所以所以已知所求平面平行切线已知所求平面平行切线2 , 3, 12211111112121121 lnnl3,.a三三、已已知知正正数数 为为 个个正正的的因因子子的的乘乘积积使使它它们们的的和和为为最最小小.33,33.33333auauazyxaxyzzyxuzyxuaxyz的的最最小小值值为为故故时时又又当当的的最最小小值值求求下下问问题题就就是是在在条条件件 解法一解法一3010101)(),(axaxyzzyxaxyzxyFxzF

14、yzFaxyzzyxzyxFzyx 得得代入代入令令令令令令 xyayxu ,化化为为无无条条件件极极值值解法二解法二解法三解法三2222zxyxyz四、求旋转抛物面与平面四、求旋转抛物面与平面之间的最短距离之间的最短距离解解.2261,022,),(22 zyxddzyxPyxzzyxP的距离为的距离为到平面到平面则则上任一点上任一点为抛物面为抛物面设设分析分析:最小最小即即且使且使满足满足，使得，使得本题变为求一点本题变为求一点)22(61(22610,),(2222 zyxdzyxdzyxzyxzyxP),()22(61),(222yxzzyxzyxF 令令221(22)20, (1)3

15、1(22)20, (2)31(22)( 2)0, (3)3. (4)xyzFxyzxFxyzyFxyzzxy .81,41,41 zyx解此方程组得解此方程组得得得.647241414161min d),81,41,41(即得唯一驻点即得唯一驻点处取得最小值处取得最小值驻点，故必在驻点，故必在一定存在，且有唯一一定存在，且有唯一根据题意距离的最小值根据题意距离的最小值)81,41,41(五、五、2222302330 xyzxyz 求求曲曲线线上上竖竖坐坐标标的的最最大大最最小小值值( , ):(,)0 xaybF u vS Fzczc 设可微，试证曲面设可微，试证曲面上任一点的切平面都通过定点

16、。上任一点的切平面都通过定点。六六、五、五、 )5,1,1(3032032021063042222zyxzyxzFyxyFxFzyx 2222302330 xyzxyz 求求曲曲线线上上竖竖坐坐标标的的最最大大最最小小值值解解)3032()32(222 zyxzyxzF 令令. 55minmax zz( , ):(,)0 xaybF u vS Fzczc 设可微，试证曲面设可微，试证曲面上任一点的切平面都通过定点。上任一点的切平面都通过定点。六六、000001212220000102000001202200(,)11, 11)()()0 xyzSxaybnFFFFzczczczcFxxFyyz

17、czcxaybFFzzzczc 该该点点的的切切平平面面法法向向量量：（）（）切切平平面面方方程程 ：（）（）证明：证明：),(,(),(0cbapScbazyx通通过过定定点点在在任任何何点点处处的的切切平平面面都都故故曲曲面面）易易见见 七七 设函数设函数zyxzyxf2),(1) 求函数在点求函数在点 M ( 1, 1, 1 ) 处沿曲线处沿曲线 12 32tztytx在该点切线方向的方向导数在该点切线方向的方向导数;(2) 求函数在求函数在 M( 1, 1, 1 ) 处的处的梯度梯度与与(1)中中切线方向切线方向 的夹角的夹角 .2( , , ),zf x y zxy曲线曲线 12 32tztytx1. (1)在点在点ddd,(1 , 4 , 3)ddd1xyztttt )1 , 1 , 1(coscoscoszyxMffflf626 解答提示解答提示:函数沿函数沿 l 的方向导数的方向导数lM (1,1,1) 处切线的方向向量处切线的方向向