2022年任意角和弧度制及任意角的三角函数知识点与题型归纳DOC

1、1 高考明方向1. 了解任意角的概念2. 了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化3. 理解任意角的三角函数 ( 正弦、余弦、正切 )的定义. 备考知考情1. 三角函数的定义与三角恒等变换等相结合，考查三角函数求值问题2. 三角函数的定义与向量等知识相结合，考查三角函数定义的应用3. 主要以选择题、填空题为主，属中低档题. 一、知识梳理名师一号p47 知识点一角的概念(1) 分类按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 18 页 - - - - - - - - -

2、2 (2) 终边相同的角：所有与角 终边相同的角，连同角 在内，可构成一个集合s| k360，kz. 名师一号 p47 对点自测 1、2 注意：1、 名师一号 p48 问题探究问题 1、2 相等的角终边相同，终边相同的角也一定相等吗？相等的角终边一定相同，但终边相同的角却不一定相等，终边相同的角有无数个，它们之间相差360的整数倍角的表示形式是唯一的吗？角的集合的表示形式不是唯一的，如：终边在y 轴的负半轴上的角的集合可以表示为x|x k36090，kz，也可以表示为 x|x k360270，kz( 补充) 2、正角 零角 负角3、下列概念应注意区分小于 90的角；锐角；第一象限的角； 090

3、的角4、(1) 终边落在坐标轴上的角精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 18 页 - - - - - - - - -3 1）终边落在 x 轴非负半轴上的角 x|x2k，kz2）终边落在 x 轴非正半轴上的角 x|x2k+，kz终边落在 x 轴上的角x|x k，kz3）终边落在 y 轴非负半轴上的角 x|x2k+2，kz4）终边落在 y 轴非正半轴上的角 x|x2k+32，kz终边落在 y 轴上的角x|x k+2，kz(2) 象限角（自己课后完成）知识点二弧度的定义和公式(1) 定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度

4、的角，弧度记作rad. (2) 公式：弧度与角度的换算：3602 弧度；180 弧度；精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 18 页 - - - - - - - - -4 弧长公式： l | |r ；扇形面积公式： s扇形12lr 和12| |r2. 关键：基本公式180rad名师一号 p47 对点自测 3 注意：1、 名师一号 p48 问题探究问题 3 在角的表示中角度制和弧度制能不能混合应用？不能在同一个式子中， 采用的度量制度是一致的，不可混用2、弧长公式与扇形面积公式（扇形的圆心角为弧度，半径为r）弧长公式|lr扇形面积

5、公式12slr( 补充)（将扇形视为曲边三角形，记l 为底，r为高）知识点三任意角的三角函数(1) 定义：设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 p(x，y) ，则 sin ，cos，tan(x 0)精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 18 页 - - - - - - - - -5 ( 补充) 1 、广义的三角函数定义三角函数的定义让角的顶点与原点 o 重合，始边与 x轴的非负半轴重合，在角的终边上任取一点，则角的三角函数值如下：220orprxy22sinyyrxy22cosxxrxytan0yxx特别地，当时221opr

6、xysinycosxtan0yxx2、各象限角的三角函数值符号规律：(补充) 关键：立足定义正弦一二正，横为零余弦一四正，纵为零正切一三正，横为零，纵不存在3、特殊角的三角函数值（自己课后完成）知识点三任意角的三角函数(2) 几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 18 页 - - - - - - - - -6 表示正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是 (1,0) 如图中有向线段mp ，om ，at分别叫做角 的正弦线，余弦线和正切线名师一号 p47 对点自测

7、 6 注意：名师一号 p48 问题探究问题 4 如何利用三角函数线解不等式及比较三角函数值的大小？(1) 先找到“正值”区间， 即 02 间满足条件的范围，然后再加上周期(2) 先作出角，再作出相应的三角函数线，最后进行比较大小，应注意三角函数线的有向性也可以利用相应图象求解精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 18 页 - - - - - - - - -7 二、例题分析：（一) 角的表示及象限角的判定例 1. 名师一号 p48 高频考点例 1 (1) 写出终边在直线 y3x 上的角的集合；(2) 已知 是第三象限角，求2所在的

8、象限【思维启迪】(1) 角的终边是射线，应分两种情况求解(2) 把 写成集合的形式，从而2的集合形式也确定解：(1) 当角的终边在第一象限时，角的集合为| 2k3，kz，当角的终边在第三象限时，角的集合为| 2k43，kz，故所求角的集合为精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 18 页 - - - - - - - - -8 | 2k3，kz| 2k43，kz | k3，kz(2) 2k2k32(k z)，k22k34(k z)当 k2n(nz)时，2n222n34，2是第二象限角，当 k2n1(nz)时，2n3222n74，2是

9、第四象限角，综上知，当 是第三象限角时，2是第二或第四象限角注意: 名师一号 p48 高频考点例 1 规律方法精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 18 页 - - - - - - - - -9 (1) 若要确定一个绝对值较大的角所在的象限，一般是先将角化为2k(02)(k z)的形式，然后再根据 所在的象限予以判断(2) 利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需角（二) 弧度制的定义和公式例 1. 名师一号 p48 高频考点例 2 (1)

10、 已知扇形周长为 10，面积是 4，求扇形的圆心角(2) 已知扇形周长为 40， 当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？解：(1) 设圆心角是 ，半径是 r，则2rr1012r24?r1，8(舍)，精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 18 页 - - - - - - - - -10 r4，12故扇形圆心角为12. (2) 设圆心角是 ，半径是 r ，则 2rr 40. s12r212r(40 2r) r(20 r) (r 10)2100100，当且仅当 r10 时，smax100，2. 所以当 r10， 2 时，扇形面

11、积最大名师一号 p47 对点自测 4 注意： 名师一号 p48 高频考点例 2 规律方法1. 弧度制下 l | | r，s12lr ，此时 为弧度在角度制下，弧长l nr180，扇形面积 snr2360，此时 n 为角度，它们之间有着必然的联系2在解决弧长、面积及弓形面积时要注意合理精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 18 页 - - - - - - - - -11 应用圆心角所在的三角形（三) 三角函数的定义及应用例 1. 名师一号 p48 高频考点例 3 (1) 已知角 的顶点为坐标原点，始边为 x 轴的正半轴，若 p(

12、4，y) 是角 终边上一点，且 sin 255，则 y_. 解：(1)r x2y216y2，且 sin 255，所以 sin yry16y2255，所以 为第四象限角，解得y8. 名师一号 p47 对点自测 5 (3)(2015 日照模拟 ) 已知点 p(sin cos，2cos)位于第三象限，则角 是第_象限角精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 18 页 - - - - - - - - -12 解：(3) 因为点 p(sin cos，2cos)位于第三象限，所以 sin cos0,2cos0，cos0，所以 为第二象限角(

13、2) 如图，在平面直角坐标系xoy中，一单位圆的圆心的初始位置在 (0,1) ， 此时圆上一点 p的位置在 (0,0) ，圆在 x 轴上沿正向滚动当圆滚动到圆心位于(2,1) 时，op的坐标为 _ 解： (2) 如图，连接 ap，分别过 p，a作 pc ，ab垂直 x 轴于 c，b点，过 a作 ad pc于 d点，由题意知 bp的长为 2. 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 18 页 - - - - - - - - -13 圆的半径为 1， bap 2. 故dap 22. dp ap sin22cos2. pc 1cos2

14、，da apcos22sin2. oc 2sin2 ，故op(2 sin2,1 cos2) 注意： 名师一号 p48 高频考点例 2 规律方法 1.利用定义求三角函数值在利用三角函数的定义求角 的三角函数值时，若角 终边上点的坐标是以参数的形式给出的，则要根据问题的实际及解题的需要对参数进行分类讨论 任意角的三角函数值仅与角 的终边位置有关，而与角 终边上点 p的位置无关2三角函数值的符号及角的位置的判断已知一角的三角函数值 (sin ，cos，tan)中任意两个的符号，可分别确定出角终边所在的可能位置，二者的交精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - -

15、 - 第 13 页，共 18 页 - - - - - - - - -14 集即为该角的终边位置，注意终边在坐标轴上的特殊情况3与向量等问题形成的交汇问题，抓住问题的实质，寻找相应的角度，然后通过解三角形求得解练习：若一个角 的终边在直线3yx上，求310sincos的值。答案： 0 注意：立足定义是根本！三角函数的定义是三角函数的基础，由三角函数的定义可得同角三角函数的基本关系及各象限角的三角函数值符号等。利用三角函数的定义解题时应先确定点的坐标及点的位置。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 18 页 - - - - - -

16、 - - -15 （四）以三角函数的定义为载体的创新问题名师一号 p49 特色专题三角函数的概念是考查三角函数的重要工具，在高考命题中很少单独考查，但常结合三角函数的基础知识、三角恒等变换和向量等知识综合考查，涉及的知识点较多，且难度不大【典例】如图所示，质点p在半径为的圆周上逆时针运动，其初始位置为p0(2，2) ，角速度为 1，那么点p到 x 轴的距离 d 关于时间 t 的函数图象大致为 ( ) abcd【规范解答】用 t 表示出 op与 x 轴正方向所成的角，然后利用三角函数的定义得到d 的函数表达式即精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - -

17、 第 15 页，共 18 页 - - - - - - - - -16 可p0(2，2)， p0ox4. 按逆时针转时间t 后， 得pop0t ， pox t 4. 由三角函数定义，知点p的纵坐标为2sin t 4. 因此 d2 sin t 4. 令 t 0，则 d2 sin 42，当 t 4时，d0，故选 c. 【名师点评】解决本题的关键有以下两点：(1) 结合圆周运动，准确理解题意，根据三角函数定义，表示出d2sint 4是关键(2) 涉及函数图象判定问题，结合函数的性质、特殊化思想是快捷求解的有效途径精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页，共 18 页 - - - - - - - - -17 练习: 名师一号 p49对应训练如图，已知 l1l2，圆心在 l1上、半径为1 m 的圆 o在 t 0 时与 l2相切于点 a圆 o沿 l1以 1 m/s 的速度匀速向上移动，圆被直线 l2所截上方圆弧长记为x，令 ycosx，则 y 与时间 t(0 t 1，单位：s) 的函数 yf(t)的图象大致为 ( ) abcd解析圆半径为 1，设弧长 x 所对的圆心角为 ，精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - -