2015届【北师大版】高三数学一轮课时作业【32】（含答案）

1、课时作业32数列的综合应用一、选择题(每小题5分，共40分)1已知an为等比数列下面结论中正确的是()Aa1a32a2Baa2aC若a1a3，则a1a2 D若a3>a1，则a4>a2解析：设公比为q，对于选项A，当a1<0，q1时不正确；选项C，当q1时不正确；选项D，当a11，q2时不正确；选项B正确，因为aa2a1a32a.答案：B2(2014·威海期中)某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产已知该生产线连续生产n年的累计产量为f(n)n(n1)(2n1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害为保护环境，环保部门应给该厂这

2、条生产线拟定最长的生产期限是()A5年 B6年C7年 D8年解析：由已知可得第n年的产量anf(n)f(n1)3n2.当n1时也适合，据题意令an150n5，即数列从第8项开始超过150，即这条生产线最多生产7年答案：C3(2013·福州模拟)在等差数列an中，满足3a47a7，且a1>0，Sn是数列an前n项的和，若Sn取得最大值，则n()A7 B81 / 12C9 D10解析：设公差为d，由题设3(a13d)7(a16d)，所以da1<0.解不等式an>0，即a1(n1)(a1)>0，所以n<，则n9，当n9时，an>0，同理可得n10时，an

3、<0.故当n9时，Sn取得最大值答案：C4黑白两种颜色的正六边形地砖按如图所示的规律拼成若干个图案，则第n个图案中有白色地砖的块数是()A4n2 B4n2C2n4 D3n3解析：白色地砖的块数成等差数列，其公差为4，即得通项为4n2.故选A.答案：A5(2014·湖南十二校联考)设f(x)是定义在R上恒不为零的函数，对任意x，yR，都有f(x)·f(y)f(xy)，若a1，anf(n)(nN)，则数列an的前n项和Sn的取值范围是()A.Sn<2 B.Sn2C.Sn1 D.Sn<1解析：由条件得：f(n)·f(1)f(n1)，即an1an

4、3;，所以数列an是首项与公比均为的等比数列，求和得Sn1()n，所以Sn<1.答案：D6设函数f(x)xmax的导函数f (x)2x1，则数列(nN)的前n项和是()A. B.C. D.解析：f (x)mxm1a2x1，a1，m2，f(x)x(x1)，Sn.答案：A7(2014·浙江金华一中月考)已知等差数列an的前n项和为Sn，a24，S10110，则的最小值为()A7 B8C. D.解析：由题意知Snn2n，an2n.2.等号成立时，n8，故选D.答案：D8(2013·辽宁理，4)下面是关于公差d>0的等差数列an的四个命题：p1：数列an是递增数列；p2

5、：数列nan是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列an3nd是递增数列其中的真命题为()Ap1，p2 Bp3，p4Cp2，p3 Dp1，p4解析：对于p1，数列an的公差d>0，所以数列是递增数列；对于p4，因为(an13(n1)d)(an3nd)d3(n1)d3nd4d>0，是递增数列对于p2，因为(n1)an1nan(n1)an(n1)dnana12nd，a1不知道正负，不一定大于零，所以不一定是递增数列；同理，对于p3，也不一定是递增数列，选D.答案：D二、填空题(每小题5分，共15分)9(2014·赣州模拟)设关于x的不等式x2x<2nx(nN)的解集

6、中整数的个数为an，数列an的前n项和为Sn，则S100的值为_解析：由x2x<2nx(nN)，得0<x<2n1，因此知an2n.S10010 100.答案：10 10010(2014·南通模拟)已知a，b，c成等比数列，如果a，x，b和b，y，c都成等差数列，则_.解析：赋值法如令a，b，c分别为2,4,8，可求出x3，y6，2.答案：211已知(0，)(，)，且sin，sin2，sin4成等比数列，则的值为_解析：由题意，sin22sin·sin4，sin222sin·sin2·cos2，即sin22sin·cos2，2s

7、incos2sin·cos2，即coscos2，2cos21cos，(2cos1)(cos1)0.解得cos1(舍去)或cos，.答案：三、解答题(共3小题，每小题15分，共45分解答写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)12从4月1日开始，有一新款服装投入某商场销售，4月1日该款销售出10件，第二天销售出25件，第三天销售出40件，以后，每天售出的件数分别递增15件，直到4月12号日销售量达到最大，然后，每天销售的件数分别递减10件(1)记该款服装四月份日销售量与销售天数n的关系为an，求an；(2)求四月份的总销售量解：(1)依题意，数列a1，a2，a12是首项为10，公差为1

8、5的等差数列an15n5(1n12)，a13，a14，a15，a30是首项为a13a1210165，公差为10的等差数列an165(n13)(10)10n295(13n30)，an.(2)四月份的总销售量为18×1652 550(件)13祖国大陆允许台湾农民到大陆创业以来，在11个省区设立了海峡两岸农业合作试验区和台湾农民创业园，台湾农民在那里申办个体工商户可以享受“绿色通道”的申请、受理、审批一站式服务，某台商到大陆一创业园投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费12万美元，以后每年增加4万美元，每年销售蔬菜收入50万美元，设f(n)表示前n年的纯收入(f(n)前n年的总收

9、入前n年的总支出投资额)(1)从第几年开始获取纯利润？(2)若干年后，该台商为开发新项目，有两种处理方案：年平均利润最大时以48万美元出售该厂；纯利润总和最大时，以16万美元出售该厂，问哪种方案最合算？解：由题意，知每年的经费是以12为首项，4为公差的等差数列设纯利润与年数的关系为f(n)，则f(n)50n12n×4722n240n72.(1)获取纯利润就是要求f(n)>0，故有2n240n72>0，解得2<n<18.又nN，知从第三年开始获利(2)平均利润为402(n)16，当且仅当n6时取等号故此方案获利6×1648144(万美元)，此时n6.f

10、(n)2n240n722(n10)2128，当n10时，f(n)max128.故此方案共获利12816144(万美元)比较两种方案，第种方案只需6年，第种方案需要10年，故选择第种方案14(2013·安徽理，20)设函数fn(x)1x(xR，nN)，证明：(1)对每个nN，存在唯一的xn，1，满足fn(xn)0(2)对任意pN，由()中xn构成的数列xn满足0<xnxnp<.解：(1)对每个nN，当x>0时，fn(x)1>0，故fn(x)在(0，)内单调递增由于f1(1)0，当n2时，fn(1)>0，故fn(1)0.又fn()1()k··()n1<0，所以存在唯一的xn，1，满足fn(xn)0.(2)当x>0时，fn1(x)fn(x)>fn(x)，故fn1(xn)>fn(xn)fn1(xn1)0.由fn1(x)在(0，)内单调递