jacobi,高斯,牛顿迭代

1、实验二：迭代法求解方程组姓名：徐炜学号：08072105时间：2010-11-17一、实验目的利用jacobi迭代法和gauss-seidei迭代法求解线性方程组，利用newton迭代法求解非线性方程组。在求解过程中，利用这三种方法的迭代原理，根据迭代法的求解流程，写出三种迭代法的迭代格式，学习三种迭代法的原理和解题步骤，并使用 matlab软件求解方程。在 实验过程中，分别取不同的初值进行求解，并做结果分析，解怒同德方程来比较这三种迭代方法的利弊。二、实验步骤newton迭代法1. newton迭代原理考虑非线性方程f(x)=0,求解她的困难在于f是非线性函数。为克服这一困难，考虑它的线 性

2、展开。设当前点为 Xk,在Xk处的Taylor展开式为f x f Xk f Xk x Xk令上式右端为0.解其方程得到f xkxk 1xk-k 0,1f xk此式就称为Newton公式。2. newton迭代法的matlab实现function x=newton(fname,dfname,x0,e,N)3. 途：牛顿迭代法解非线性方程组分f(x)=0%fname和dfname分别表示f(x)及其到函数的 M函数句柄或内嵌函数的表达式x0为迭代初值，e为精度%x为返回数值解，并显示计算过程，设置迭代次数上线N以防发散if nargin<5,N=500;end if nargin<4,

3、e=le-4;end x=x0;x0=x+2*e;k=0;fprintf('It.no=%2d x%2d=%12.9fn',k,k,x) while abs(x0-x)>e&k<Nk=k+1;x0=x;x=x0-feval(fname,x0)/feval(dfname,x0);fprintf('It.no=%2d x%2d=%12.9fn',k,k,x) endif k=N,fprintf(' 已达到迭代次数上限');end在试验中，我用这种方法求 f(x)=x3-3*x-1=0 的解初值为 2 时，新建一个文件，输入：fun

4、=inline('xA3-3*x-1');dfun=inline('3*xA2-3');x=newton(fun,dfun,2,0.5e-6)即可得此方程的解为：It.no= 0 xIt.no= 1 x 1= 1.888888889It.no= 2 x 2= 1.879451567It.no= 3 x 3= 1.879385245It.no= 4 x 4= 1.879385242 x =1.879385241571817e+000初值为 5 时，新建一个文件，输入：fun=inline('xA3-3*x-1');dfun=inline('

5、3*xA2-3');x=newton(fun,dfun,5,0.5e-6)即可得此方程的解为：It.no= 0 xIt.no= 1 x 1= 3.486111111It.no= 2 x 2= 2.562343095It.no= 3 x 3= 2.075046554It.no= 4 x 4= 1.902660228It.no= 5 x 5= 1.879777024It.no= 6 x 6= 1.879385355It.no= 7 x 7= 1.879385242 x =1.879385241571826e+000初值为 8 时，新建一个文件，输入：fun=inline('xA3-

6、3*x-1');dfun=inline('3*xA2-3');x=newton(fun,dfun,8,0.5e-6)即可得此方程的解为：It.no= 0 xIt.no= 1 x 1= 5.423280423It.no= 2 x 2= 3.754505841It.no= 3 x 3= 2.719579123It.no= 4 x 4= 2.148629510It.no= 5 x 5= 1.920654127It.no= 6 x 6= 1.880593045It.no= 7 x 7= 1.879386323It.no= 8 x 8= 1.879385242It.no= 9 x

7、 9= 1.879385242 x =1.879385241571817e+000gauss-seidel实验过程1. gauss-seidel迭代原理将方程组Ax=b （设an0；i 1,2,n）化成等价方程组: (bi aiiaijxj)(i 1,2 ,n)采用迭代格式:-biaiji 1nk 1ka x axij人jj人jj 1j i 1i 1,2, n2. gauss-seidel迭代法的 matlab 实现function x=jacobi(A,b,x0,emg,N)% A是线性方程组的系数矩阵% b是值向量% x0是迭代初始向量% N是迭代上限，诺迭代次数大于>N,则迭代失败

8、% emg是控制精度%用gauss-seidei迭代法求解线性方程组Ax=b的解%k表示迭代次数%x表示用迭代法求得的解线性方程组的近似解if nargin<5N=500;else N=N;endn=length(b);x1=zeros(n,1);x2=zeros(n,1);x1=x0;k=0;r=max(abs(b-A*x1);while r>emgfor i=1:nsum=0;for j=1:nif i=jsum=sum+A(i,j)*x1(j);endendx2(i)=(b(i)-sum)/A(i,i);endr=max(abs(x2-x1);x1=x2;k=k+1;if k

9、>Nwarning(' 迭代次数达到上限！ ');return;endendx=x1 ；在试验中，我用此方法求7 1 210A1= 2 8 2 , b= 8的线性方程组的解2296新建一个文件，输入：A=7 1 2;2 8 2;2 2 9;b=10 8 6'x0=0 0 0'emg=10A(-6);x=gaussseidel(A,b,x0,emg)可得此方程的解为：x =1.269406363593758e+0006.210045136516440e-0012.465753606121330e-001改变此初值为 x0=1 2 3 时，可得此方程的解为：x

10、 =1.269406358870516e+0006.210045989420114e-0012.465753427083272e-00110 -2 -21A2= -2 10 -1 , b= 0.5的线性方程组的解-1 -2 31新建一个文件，输入：A=10 -2 -2;-2 10 -1;-1 -2 3;b=10 8 6'x0=0 0 0'emg=10A(-6);x=gaussseidel(A,b,x0,emg) 即可得此方程的解为：x =2.067226785332675e+0001.588235242744889e+0003.747899090274151e+000改变此初值

11、为x0=4 5 6'时， 可得此方程的解为：x =2.067226982320636e+0001.588235338736795e+0003.747899219931409e+000jacobi迭代法的实验过程1. jacobi迭代原理将方程组Ax=b (设a。0；i 1,2 ,n)化成等价方程组:1 ，、K (biaijxj)(i 1,2 , n)aiij i采用迭代格式：k 11kKbiajxji 1,2, naiij 12. Jacobi迭代法的matlab实现function x=jacobi(A,b,x0,emg,N)% A是线性方程组的系数矩阵% b是值向量% x0是迭代初

12、始向量% N是迭代上限，诺迭代次数大于>N,则迭代失败% emg是控制精度%用jacobi迭代法求解线性方程组Ax=b的解%k表示迭代次数%x表示用迭代法求得的解线性方程组的近似解if nargin<5N=500;else N=N;endn=length(b);x1=zeros(n,1);x2=zeros(n,1);x1=x0;k=0;r=max(abs(b-A*x1);while r>emgfor i=1:nsum=0;for j=1:nif i=jsum=sum+A(i,j)*x1(j);endendx2(i)=(b(i)-sum)/A(i,i);endr=max(abs

13、(x2-x1);x1=x2;k=k+1;if k>Nwarning(' 迭代次数达到上限！ ');return;endendx=x1 ；在实验中，我用此方法求7 1 210A1= 2 8 2 , b= 8的线性方程组的解，这样可以比2296这两种方法的优越性新建一个文件，输入：A=7 1 2;2 8 2;2 2 9;b=10 8 6'x0=0 0 0'emg=10A(-6);x=jacobi(A,b,x0,emg)即可得此方程的解为：x=1.269406606540146e+0006.210048051684348e-0012.46575563584531

14、2e-001改变此初值为 x0=1 2 3 时，可得此方程的解为：x =1.269406576962693e+0006.210047721178078e-0012.465755330013612e-00110 -2 -21A2= - 2 10 -1 , b= 0.5的线性方程组的解-1 -2 31新建一个文件，输入：A=10 -2 -2;-2 10 -1;-1 -2 3;b=10 8 6'x0=0 0 0'emg=10A(-6);x=jacobi (A,b,x0,emg)即可得此方程的解为： x =2.067226548410933e+0001.588235036073759e

15、+0003.747898577034409e+000改变此初值为 x0=4 5 6 时，可得此方程的解为： x =2.067227297951090e+0001.588235601041707e+0003.747899852657807e+000三、实验分析由 Jacobi 的迭代公式可以看到，在计算机上使用该法线性方程组时， x(m) 分量必须保存到x(m+1) 的分量全部复出后才不再需要。而如果我们每算出 x(m+1) 的每一个分量便在其有段立即用新算出来的分量代替x(m) 对应的分量，这就是Jacobi 的迭代与 gaussseidel 迭代方法的不同之处。我分别用 Jacobi 和 gaussseidel 解