可降阶的二阶微分方程55575

1、),(yxfy 可降阶的二阶微分方程 第六节一、一、 型的微分方程型的微分方程 二、二、 型的微分方程型的微分方程 )()(xfyn),(yyfy 三、三、 型的微分方程型的微分方程 一、一、)()(xfyn令,) 1( nyz)(ddnyxz则因此1d)(cxxfz即1) 1(d)(cxxfyn同理可得2)2(d cxyn1d)(cxxfxd xxfd)(依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 ., )(xf21cxc型的微分方程型的微分方程 例例1. .cos2xeyx 求解解解: 12coscxdxeyx 12sin21cxexxey241xey2811121cc此处xsi

2、n21xc32cxcxcos21cxc),(yxfy 型的微分方程型的微分方程 设, )(xpy ,py 则原方程化为一阶方程),(pxfp 设其通解为),(1cxp则得),(1cxy再一次积分, 得原方程的通解21d),(cxcxy二、二、例例. 求解yxyx 2)1(2,10 xy3 0 xy解解: ),(xpy 设,py 则代入方程得pxpx2)1(2分离变量)1(d2d2xxxpp积分得,ln)1(lnln12cxp)1(21xcp即,3 0 xy利用, 31c得于是有)1(32xy两端再积分得233cxxy利用,10 xy, 12c得133xxy因此所求特解为例例. 绳索仅受重力作用

3、而下垂,解解: 取坐标系如图. 考察最低点 a 到sg( : 密度, s :弧长)弧段重力大小按静力平衡条件, 有,coshtsa1tanmsgoyx)(gha其中sgtsinyxyxd102a1故有211yay 设有一均匀, 柔软的绳索, 两端固定, 问该绳索的平衡状态是怎样的曲线 ? 任意点m ( x, y ) 弧段的受力情况: t a 点受水平张力 hm 点受切向张力t两式相除得hamsgoyxha211yya , aoa 设则得定解问题: , 0ayx0 0 xy),(xpy 令,ddxpy 则原方程化为pdxad1两端积分得)1(lnshar2ppp,shar1cpax0 0 xy由

4、, 01c得则有axysh两端积分得,ch2cayax, 0ayx由02c得故所求绳索的形状为axaych)(2axaxeea悬悬 链链 线线a21p三、三、),(yyfy 型的微分方程型的微分方程 令),(ypy xpydd 则xyypddddyppdd故方程化为),(ddpyfypp设其通解为),(1cyp即得),(1cyy分离变量后积分, 得原方程的通解21),(dcxcyy例例. 求解.02 yyy代入方程得,0dd2 pyppyyyppdd即两端积分得,lnlnln1cyp,1ycp 即ycy1(一阶线性齐次方程)故所求通解为xcecy12解解:),(ypy 设xpydd 则xyyp

5、ddddyppddm : 地球质量m : 物体质量例例. 静止开始落向地面, 求它落到地面时的速度和所需时间(不计空气阻力). 解解: 如图所示选取坐标系. 则有定解问题:22ddtym2ymmk,0lyt00ty,ddtyv 设tvtydddd22则tyyvddddyvvdd代入方程得,dd2yymkvv积分得122cymkv一个离地面很高的物体, 受地球引力的作用由 yorl,1122lymkv,ddtyv yyllmkv2即tdyylymkld2两端积分得mklt2,0lyt利用, 02c得因此有)arccos(22lylyylmkltlylyylarccos22c, 0000lyyvt

6、tt利用lmkc21得注意注意“”号号由于 y = r 时,gy 由原方程可得mrgk2因此落到地面( y = r )时的速度和所需时间分别为)arccos(212lrlrrlglrtrylrlrgvry)(222ddtym,2ymmkyyllmkv2)arccos(22lylyylmkltyorl说明说明: 若此例改为如图所示的坐标系, ryol22ddtym2)(ylmmk,00ty00ty，令tyvdd解方程可得)11(22lylmkv问问: 此时开方根号前应取什么符号? 说明道理 .则定解问题为例例. 解初值问题解解: 令02 yey,00 xy10 xy),(ypy ,ddyppy

7、则代入方程得yeppydd2积分得1221221cepy利用初始条件, 0100 xyyp, 01c得根据yepxydd积分得,2cxey, 00 xy再由12c得故所求特解为xey1得为曲边的曲边梯形面积上述两直线与 x 轴围成的三角形面例例.)0()(xxy设函数二阶可导, 且, 0)( xy)(xyy 过曲线上任一点 p(x, y) 作该曲线的切线及 x 轴的垂线,1s区间 0, x 上以,2s记为)(xy, 1221 ss且)(xyy 求解解:, 0)(, 1)0(xyy因为. 0)(xy所以于是cot2121ys yy222s)(xyy 设曲线在点 p(x, y) 处的切线倾角为 ,

8、满足的方程 ., 1)0(y积记为( 99 考研考研 )ttysxd)(02pxy1s1oyx再利用 y (0) = 1 得利用,1221 ss得xttyyy021d)(两边对 x 求导, 得2)( yyy 定解条件为)0(, 1)0(yy),(ypy 令方程化为,ddyppy 则yyppdd,1ycp 解得利用定解条件得,11c, yy 再解得,2xecy , 12c故所求曲线方程为xey 2ddpyppy12spxy1s1oyx内容小结内容小结可降阶微分方程的解法 降阶法)(. 1)(xfyn逐次积分),(. 2yxfy 令, )(xpy xpydd 则),(. 3yyfy 令, )(yp

9、y yppydd 则思考与练习思考与练习1. 方程)(yfy 如何代换求解 ?答答: 令)(xpy 或)(ypy 一般说, 用前者方便些. 均可. 有时用后者方便 .例如,2)(yey 2. 解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题 ?答答: (1) 一般情况 , 边解边定常数计算简便.(2) 遇到开平方时, 要根据题意确定正负号. p165 1 、(1) () () 2 、() () 3 、 4 作业作业 oyx) 1 , 0(a速度大小为 2v, 方向指向a , )0 , 1(),(yxbtv提示提示: 设 t 时刻 b 位于 ( x, y ), 如图所示, 则有 ytsvdd2xysxd112xytxd1dd12txydd12去分母后两边对 x 求导, 得xtvxyxdddd22又由于ytv 1x设物体 a 从点( 0, 1 )出发, 以大小为常数 v 备用题备用题的速度沿 y 轴正向运动, 物体 b 从 (1