第二讲单自由度系统

1、汽车振动与噪声控制汽车振动与噪声控制2 2第一章第一章 振动理论基础振动理论基础3 31.1振动系统简介振动系统简介1.振动的定义：振动的定义：振动是表征一种运动的物理量在平衡位振动是表征一种运动的物理量在平衡位置附近作时而增大时而减小的反复变化。置附近作时而增大时而减小的反复变化。2.研究对象研究对象4系统系统激励激励响应响应（输入）（输入）（输出（输出）振动问题按照这三个环节分为三类：振动问题按照这三个环节分为三类： 第一类：已知激励和系统，求响应第一类：已知激励和系统，求响应 第一类：已知激励和响应，求系统第一类：已知激励和响应，求系统 第一类：已知系统和响应，求激励第一类：已知系统和响

2、应，求激励5第一类：已知激励和系统，求响应第一类：已知激励和系统，求响应 ； 正问题正问题主要任务：主要任务：验算结构、产品等在工作时的动力验算结构、产品等在工作时的动力响应（如变形、位移、应力等）是否满足预响应（如变形、位移、应力等）是否满足预定的安全要求等。定的安全要求等。 在在产品设计阶段产品设计阶段，对具体设计方案进行动力，对具体设计方案进行动力响应验算，若不符合要求再进行修改，直到响应验算，若不符合要求再进行修改，直到达到要求而最终确定设计方案，这一过程就达到要求而最终确定设计方案，这一过程就是所谓的是所谓的振动设计振动设计。激励输入系统响应输出？6 第二类：系统识别，模态参数识别第

3、二类：系统识别，模态参数识别 主要指获得对于系统的物理参数（如主要指获得对于系统的物理参数（如质量质量、刚度刚度、阻尼阻尼等）和系统关于振动的固有特性等）和系统关于振动的固有特性（固有频率固有频率、主振型主振型等）等）激励输入系统响应输出？7第三类：已知系统和响应，求激励；第三类：已知系统和响应，求激励； 逆问题逆问题 通常被称为通常被称为环境预测环境预测，例如道路模拟器中对，例如道路模拟器中对于路谱的采集。于路谱的采集。激励输入系统响应输出？3.自由度数自由度数8完全描述该系统一切部位在任何瞬完全描述该系统一切部位在任何瞬间的位置所需的独立坐标的数目。间的位置所需的独立坐标的数目。4.连续系

4、统和离散系统连续系统和离散系统9离散系统，也称集中参数系统离散系统，也称集中参数系统连续系统，也称分布参数系统连续系统，也称分布参数系统5.振动的分类振动的分类10非线性振动线性振动按运动微分方程形式自激振动强迫振动自由振动固有振动按激振情况无限自由度系统振动多自由度系统振动单自由度系统振动按自由度随机振动瞬态振动非周期振动周期振动按运动规律1) 按运动微分方程分类按运动微分方程分类11线性振动系统线性振动系统：描述其运动的方程为线性微分：描述其运动的方程为线性微分 方程。其重要特征是线性叠加原理成立。方程。其重要特征是线性叠加原理成立。 例如：例如：非线性振动系统非线性振动系统：描述其运动的

5、方程为非线性：描述其运动的方程为非线性微分方程。对于非线性系统，线性叠加原理微分方程。对于非线性系统，线性叠加原理不成立。不成立。0mxcxkx2) 按自由度分按自由度分12单自由度系统振动单自由度系统振动：用一个独立坐标就能确定：用一个独立坐标就能确定的系统的振动。的系统的振动。多自由度系统振动多自由度系统振动：用多个独立坐标才能确定：用多个独立坐标才能确定的系统的振动。的系统的振动。无限自由度系统振动无限自由度系统振动：即弹性体的振动，需要：即弹性体的振动，需要用无限多个独立坐标才能确定系统的振动用无限多个独立坐标才能确定系统的振动 实际研究的弹性体振动问题，都属于无限自由度系统实际研究的

6、弹性体振动问题，都属于无限自由度系统的振动。但是，这要求偏微分方程，只对简单的情况才能的振动。但是，这要求偏微分方程，只对简单的情况才能求解。因此，对于大量工程振动问题，按具体情况，求解。因此，对于大量工程振动问题，按具体情况，抓住抓住主要矛盾，简化为有限自由度问题求解主要矛盾，简化为有限自由度问题求解。3) 按激励情况分按激励情况分13固有振动固有振动：无激励时系统所有可能的运动集合，不是：无激励时系统所有可能的运动集合，不是 现实的振动，仅反映系统关于振动的固有属性。现实的振动，仅反映系统关于振动的固有属性。自由振动自由振动：激励消失后系统所做的振动（现实的振动）。：激励消失后系统所做的振

7、动（现实的振动）。强迫振动强迫振动：系统在外部激励下所做的振动。：系统在外部激励下所做的振动。随机振动随机振动：非确定性激励下所做的振动。如行使中的汽：非确定性激励下所做的振动。如行使中的汽车。车。自激振动自激振动：系统受自身运动诱发出的激励作用而产生和：系统受自身运动诱发出的激励作用而产生和维持维持 的振动。如琴声、发动机噪声、机翼的震颤。的振动。如琴声、发动机噪声、机翼的震颤。4) 按运动规律分按运动规律分14周期振动周期振动-运动时位移随时间按正弦或余弦规律变运动时位移随时间按正弦或余弦规律变化，按固定频率振动。化，按固定频率振动。(简谐振动简谐振动)sin()xat00.10.20.3

8、0.40.5-1-0.500.51时 间 t(s)幅值aclcclear allclose alla=1;fs=1024;n=512;tt=0:n-1;t=tt/fs;f=10;w=2*pi*f;ph=pi/3;x=a*sin(w*t+ph);plot(t,x)15瞬态振动瞬态振动-振动参量是时间的非周期函数，通常只振动参量是时间的非周期函数，通常只在一段时间内存在在一段时间内存在随机振动随机振动-振动能量不是时间的确定性函数，只能振动能量不是时间的确定性函数，只能用统计方法研究，如汽车在不平路面上的颠簸等用统计方法研究，如汽车在不平路面上的颠簸等非周期振动非周期振动-不按固定频率振动不按固定

9、频率振动6.振动的分析过程振动的分析过程16阐明问题阐明问题假设与简化假设与简化力学模型简化力学模型简化对模型进行受力分析对模型进行受力分析根据牛顿定律建立动力根据牛顿定律建立动力学微分方程学微分方程对方程进行求解对方程进行求解结果阐述结果阐述简谐振动简谐振动17.22sin()sin(2)cos()sin()22sin()sin()2xataftxawtawtxawtawt 超前又超前l微分方程微分方程 :l简谐振动简谐振动:2220d xxdt可以用旋转矢量表示18简谐振动三要素：振幅、频率、初相位简谐振动三要素：振幅、频率、初相位19l简谐振动的合成简谐振动的合成1 . 两个同频率的简谐

10、振动的合成仍是简谐振动两个同频率的简谐振动的合成仍是简谐振动,频率不变频率不变11222211221122111221122( )sin()sin()sin()(coscos)(sinsin)sinsincoscosx tatatataaaaaaatgaa其中：202 .频率不同的两个简谐振动的合成不再是简谐振动频率不同的两个简谐振动的合成不再是简谐振动. * 频率比为有理数时频率比为有理数时,合成为周期振动合成为周期振动 * 频率比为无理数时频率比为无理数时,合成为非周期振动合成为非周期振动12121212112212,22()()()()()( )( )( )mm nnmntmtntx t

11、tx ttx ttx tmtx tntx tx tx t为互质整数。l简谐振动的合成简谐振动的合成213.频率很接近的两个简谐振动的合成会出现频率很接近的两个简谐振动的合成会出现“拍拍”的现象的现象.122222111112121211221211221212122122,sin()sin()2 ,sin()sin()2sin()sin()2)cos()sin()222aaxatxataaxxxttaattxaatt和相近时令则：（这是一个频率为=的变幅振动。l简谐振动的合成简谐振动的合成22 22第一章第一章 振动理论基础振动理论基础23 l1. 2 单自由度系统单自由度系统包括包括自由振动

12、自由振动和和强迫振动强迫振动两种。前者是指振动两种。前者是指振动系统受到某种初始外界激励后，在所定义的时系统受到某种初始外界激励后，在所定义的时间零点开始后不再受到外界激励情况下，系统间零点开始后不再受到外界激励情况下，系统所表达的运动；后者是指系统在外部激励下所所表达的运动；后者是指系统在外部激励下所做的振动。做的振动。24单自由度线性系统是最简单也是最基础的振动系统，单自由度线性系统是最简单也是最基础的振动系统，可以用一常系数的二阶常微分方程描述它的运动规可以用一常系数的二阶常微分方程描述它的运动规律。律。实际中应把结构简化成一个单自由度系统可得到初实际中应把结构简化成一个单自由度系统可得

13、到初步的、有时是工程上满意的结果步的、有时是工程上满意的结果在理论分析中，利用它的直观、简单，可以把握系在理论分析中，利用它的直观、简单，可以把握系统的许多基本性质。统的许多基本性质。1.运动微分方程运动微分方程25自由振动也包括两类：自由振动也包括两类：有阻尼有阻尼和和无阻尼。无阻尼。26 为位移，质量块的静平衡位置为坐标原为位移，质量块的静平衡位置为坐标原点，为弹簧静变形点，为弹簧静变形质量块受力：重力质量块受力：重力 弹簧力弹簧力)(xk系统受到初始扰动，根据牛顿第二定律：系统受到初始扰动，根据牛顿第二定律：在静平衡位置：在静平衡位置：振动微分方程：振动微分方程：2.无阻尼自由振动无阻尼

14、自由振动0mxkxmgk()mxmgkxxmg27单自由度系统无阻尼自由振动的微分方程式一个单自由度系统无阻尼自由振动的微分方程式一个二二阶常系数齐次阶常系数齐次线性微分方程。线性微分方程。常系数常系数：系统的质量、刚度是与时间无关的常数：系统的质量、刚度是与时间无关的常数齐次齐次：自由振动的激励为零，振动是由初始条件引：自由振动的激励为零，振动是由初始条件引 起的起的系统的动平衡分别与加速度和位移成线性关系的惯系统的动平衡分别与加速度和位移成线性关系的惯性力和弹性力的矛盾运动决定。性力和弹性力的矛盾运动决定。解方程解方程280mxkx求解方程求解方程令令nkm方程可写为方程可写为0nxx方程

15、通解：方程通解：12cossinnnxctct29其中其中 为任意常数。也可把通解写为为任意常数。也可把通解写为12cc、sin()nxat这里这里 为任意常数。它们与为任意常数。它们与 的关系为的关系为a、12cc、2212acc112ctgc30振动曲线振动曲线31只取决于系统的只取决于系统的刚度刚度、质量的比值质量的比值，与外界激励，与外界激励（初始位移和初始速度初始位移和初始速度）无关，与系统是否振动）无关，与系统是否振动以及振动方式无关。以及振动方式无关。固有频率：固有频率：振幅和初相位：振幅和初相位：不是系统固有属性，与系统受到的外界激励以及不是系统固有属性，与系统受到的外界激励以

16、及振动初始时刻的状态有关。振动初始时刻的状态有关。122nnkfm2212acc112ctgc32零时刻的初始条件为：零时刻的初始条件为：零初始条件的自由振动为：零初始条件的自由振动为：0(0)xx0(0)xx00cossinsin()nnnnxxxttat2200nxax100nxtgx33无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后，其自无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后，其自由振动以由振动以 固有频率为振动频率做简谐运动，固有频率为振动频率做简谐运动，永永无休止无休止。说明：初始条件是指外界能量转入的一种方式，说明：初始条件是指外界能量转入的一种方式，有初始位移即转入了有初始位移即转入了弹性势能弹

17、性势能，有初始速度即，有初始速度即转入了转入了动能。动能。求解步骤总结求解步骤总结341020sincosctct( )x t12cossinnnxctct( )x t固有频率的计算固有频率的计算35在静平衡位置：在静平衡位置：则有：则有：对于不易得到对于不易得到m和和k的系统，若能测出弹的系统，若能测出弹簧变形，可利用该式计算。簧变形，可利用该式计算。nkmmgknkgm36例：例：弹簧质量系统沿光弹簧质量系统沿光滑斜面自由振动滑斜面自由振动斜面倾角：斜面倾角：质量：质量：弹簧刚度：弹簧刚度：开始时候弹簧无伸长，且速度开始时候弹簧无伸长，且速度为零，重力角速度取为零，重力角速度取9.8求：系

18、统运动方程求：系统运动方程37解解：以静平衡位置为坐标原点建立以静平衡位置为坐标原点建立坐标系，则系统振动的固有频坐标系，则系统振动的固有频率为：率为：振动初始条件：振动初始条件：考虑方向初始速度：初始速度：得到系统运动方程：得到系统运动方程：3800.10.20.30.40.5-0.1-0.0500.050.10.15时 间 t(s)幅值a(cm)clcclear allclose alla=-0.1;fs=1024;n=512;tt=0:n-1;t=tt/fs;f=10;w=70;ph=0;x=a*cos(w*t+ph);plot(t,x)39提升机系统振动提升机系统振动重物重量：重物重量

19、：钢丝绳的弹簧刚度：钢丝绳的弹簧刚度：重物以重物以的初速度下降。的初速度下降。求：求：绳的上端突然被卡住时绳的上端突然被卡住时：（：（1）物体的振动频）物体的振动频率；（率；（2）钢丝绳中的最大张力。）钢丝绳中的最大张力。40解：解：振动频率：振动频率：重物匀速下降时处于平衡位置，重物匀速下降时处于平衡位置，取卡住瞬时重物位置为坐标原取卡住瞬时重物位置为坐标原点，则点，则t=0时时振动解：振动解：41动张力为静张力的一半。动张力为静张力的一半。钢丝绳中的最大张力，等于静张力钢丝绳中的最大张力，等于静张力与因振动引起的动张力之和：与因振动引起的动张力之和：故：减少振动引起的动张力，必须降低升降系

20、统的故：减少振动引起的动张力，必须降低升降系统的刚度刚度4200.20.40.60.81-1.5-1-0.500.511.5时 间 t(s)位移x(cm)单自由度无阻尼自由振动特点单自由度无阻尼自由振动特点431.单自由度系统无阻尼自由振动是简谐振动，振幅、单自由度系统无阻尼自由振动是简谐振动，振幅、初相位决定于初始条件和系统刚度、质量。运动的中初相位决定于初始条件和系统刚度、质量。运动的中点是系统的平衡位置；点是系统的平衡位置；2.振动频率值只与系统的刚度、质量有关。振动频率值只与系统的刚度、质量有关。3.当系统的质量不变刚度增加时，系统的固有频率增当系统的质量不变刚度增加时，系统的固有频率

21、增高；当系统刚度不变而质量增加时，固有频率降低。高；当系统刚度不变而质量增加时，固有频率降低。443. 阻尼自由振动阻尼自由振动 前面讲的自由振动系统没有考虑阻力的影响，实际由于前面讲的自由振动系统没有考虑阻力的影响，实际由于阻力的存在系统机械能不可能守恒，振动中这种阻力称为阻力的存在系统机械能不可能守恒，振动中这种阻力称为阻阻尼。尼。常见阻尼：常见阻尼：粘性阻尼粘性阻尼:viscous damping 库伦阻尼库伦阻尼(干摩擦阻尼干摩擦阻尼)：coulomb damping 结构阻尼：结构阻尼：structural damping 对于实际系统中的阻尼很难确定，工程中最常见的对于实际系统中的

22、阻尼很难确定，工程中最常见的一种阻尼力学模型是一种阻尼力学模型是粘性阻尼粘性阻尼，如果没有特殊说明，有，如果没有特殊说明，有阻尼系统即粘性阻尼系统。阻尼系统即粘性阻尼系统。45粘性阻尼力与相对速度成正比粘性阻尼力与相对速度成正比c：粘性阻尼系数，或阻：粘性阻尼系数，或阻尼系数，单位：尼系数，单位：建立平衡位置坐标系，受力分析：建立平衡位置坐标系，受力分析：阻尼力、弹性力、重力阻尼力、弹性力、重力得到动力学方程：得到动力学方程：或者写为：或者写为：其中，固有频率：其中，固有频率：相对阻尼系数：相对阻尼系数：46得到特征方程：得到特征方程：令：令：再得到方程特征根：再得到方程特征根：对应三种情况：对应三种情况：47第一种情况：欠阻尼第一种情况：欠阻尼两个复数根两个复数根阻尼固有频率：阻尼固有频率：方程特征根：方程特征根：21cc、由初始条件决定由初始条件决定振动方程：振动方程：也称为有