一元函数微分学的应用

1、第一节第一节 柯西（柯西（c ca auchyuchy）中值定理与）中值定理与 洛必达（洛必达（lhospitallhospital）法则）法则 第二节第二节 拉格朗日（拉格朗日（lagrangelagrange）中值定理）中值定理 及函数的单调性及函数的单调性 *第四节第四节 曲曲 率率 第三节第三节 函数的极值与最值函数的极值与最值 第五节第五节 函数图形的描绘函数图形的描绘 第四章第四章 一元函数微分学的应用一元函数微分学的应用第六节第六节 一元函数微分学在经济上的应用一元函数微分学在经济上的应用 一、一、 柯西中值定理柯西中值定理 二、二、 洛必达法则洛必达法则 第一节第一节 柯西（柯

2、西（cauchycauchy）中值定理与洛必）中值定理与洛必达（达（lhospitallhospital）法则）法则 定理定理 1 1 （柯西中值定理） 如果函数（柯西中值定理） 如果函数)(xf与与 )(xf满满足下列条件：足下列条件： (1) (1) 闭区间闭区间,ba上连续；上连续； (2) (2) 在开区间在开区间),(ba内可导内可导； (3) (3) )( xf在在),(ba内的每一点均不为零， 那么， 在内的每一点均不为零， 那么， 在),(ba内至少有一点内至少有一点， .f(b)f(a)f ()f(b)f(a)f ()使得使得一、一、 柯西柯西中值定理中值定理二、二、洛必达洛

3、必达法则法则 把把两两个个无无穷穷小小量量之之比比或或两两个个无无穷穷大大量量之之比比的的极极限限称称为为 00型型或或 型型不不定定式式( (也也称称为为 00型型或或 型型未未定定型型) )的的极极限限, ,洛洛必必达达法法则则就就是是以以导导数数为为工工具具求求不不定定式式的的极极限限方方法法 ( (1 1) ) 0)(lim0 xfxx，0)(lim0 xgxx； ( (2 2) ) )(xf与与)(xg在在 0 x的的某某邻邻域域内内（点点 0 x可可除除外外）可可导导，且且0)( xg； 定定理理 2 2 ( (洛洛必必达达法法则则) ) 若若 (3) (3) axgxfxx)()

4、(lim0( ( a为有限数，也可为为有限数，也可为或或 ) )，则，则 证证 由于我们要讨论的是函数在点由于我们要讨论的是函数在点 0 x的极限，的极限，而极限与函数在点而极限与函数在点 0 x的值无关， 所以我们可补充的值无关， 所以我们可补充)(xf与与)(xg在在0 x的定义，而对问题的讨论不会发生任何影的定义，而对问题的讨论不会发生任何影响令响令0)()(00 xgxf，则，则)(xf与与)(xg在在点点 0 x就连就连续了在续了在 0 x附近任取一点附近任取一点 x，并应用柯西中值定理，并应用柯西中值定理，得得 axgxfxgxfxxxx)()(lim)()(lim00 . . )

5、()()()()()()()(00gfxgxgxfxfxgxf (在x与 0 x之间) . 由由于于0 xx 时时，0 x ，所所以以，对对上上式式取取极极限限便便得得要要证证的的结结果果，证证毕毕 注注：上上述述定定理理对对x时时的的 00未未定定型型同同样样适适用用，对对于于0 xx 或或x时时的的未未定定型型 ，也也有有相相应应的的法法则则 例例 1 1 求求123lim2331xxxxxx 解解 123lim2331xxxxxx = 12333lim221xxxx = 266lim1xxx = 46 = 23 例例 2 2 求求xxxtancos1lim 解解 xxxtancos1li

6、m = xxx2cos1sinlim = 0 例例 3 3 求求 arctan2lim1xxx 解解 arctan2lim1xxx = 22111limxxx = 221limxxx = 1 例例 4 4 求求 )0(lnlimnxxnx. . 解解 01lim1limlnlim1nxnxnxnxnxxxx 例例 5 5 求求xxxxln11lim1 解解 这这是是未未定定型型，通通过过“通通分分”将将其其化化为为 00未未定定型型 xxxxxxxxxxln) 1() 1(lnlimln11lim11xxxxxxx1ln1ln1lim1 除未定型除未定型00与与之外， 还有之外， 还有00,1

7、 ,0 ,0等未等未定型， 这里不一一介绍， 有兴趣的同学可参阅相应定型， 这里不一一介绍， 有兴趣的同学可参阅相应的书籍，下面就的书籍，下面就未定型再举一例未定型再举一例 在使用洛必达法则时，应注意如下几点：在使用洛必达法则时，应注意如下几点： (1) (1) 每次使用法则前，必须检验是否属于每次使用法则前，必须检验是否属于 00或或 未定型，若不是未定型，就不能使用该法则；未定型，若不是未定型，就不能使用该法则； ( (2 2) ) 如如果果有有可可约约因因子子， 或或有有非非零零极极限限值值的的乘乘积积因因子子，则则可可先先约约去去或或提提出出，以以简简化化演演算算步步骤骤； (3) (

8、3) 当当(x)g(x)flim不存在不存在( (不包括不包括 的情况的情况) )时，并不时，并不能断定能断定g(x)f(x)lim也不存在，此时应使用其他方法求极限也不存在，此时应使用其他方法求极限 xxxxln11lnlim121111lim21xxxx . . 2 2把柯西中值定理中的“把柯西中值定理中的“)(xf与与)(xf在闭区间在闭区间,ba上连续”换成“上连续”换成“f(x)与与)(xf在开区间在开区间 ),(ba内连续”内连续”后，柯西中值定理的结论是否还成立？试举例（只需画后，柯西中值定理的结论是否还成立？试举例（只需画出函数图象）说明出函数图象）说明 思思考考题题 1 1用

9、用洛洛必必达达法法则则求求极极限限时时应应注注意意什什么么？ 第二节第二节 拉格朗日（拉格朗日（lagrangelagrange）中值）中值定理及函数的单调性定理及函数的单调性 一、一、 拉拉格朗日中值定理格朗日中值定理 二、二、 两个重要推论两个重要推论 三、三、 函数的单调性函数的单调性 定理定理 1 1 如果函数如果函数)(xf满足下列条件：满足下列条件： （1 1） 在在 区间区间,ba上连续；上连续； （2 2） 在开区间在开区间),(ba内可导，那么，在内可导，那么，在),(ba内内至少有一点至少有一点 ，使得，使得 )()()(abfafbf . . 如果令如果令abxax,，则

10、上式为，则上式为 xfxfxxf)( )()( , 其其 中中介介 于于x与与xx之之 间间 ， 如如 果果 将将 表表 是是 成成) 10(xx，上上式式也也可可写写成成 ()( )()(01)f xxf xfxxx . 一一、拉格朗日拉格朗日中值定理中值定理拉格朗日中值定理几何演示拉格朗日中值定理几何演示推论推论 1 1 如果函数如果函数)(xf在区间在区间),(ba内满足内满足0)( xf，则在，则在),(ba内内cxf)(（c为常数） 为常数） 证证 设设21,xx是区间是区间),(ba内的任意两点，且内的任意两点，且21xx ，于是在区间，于是在区间,21xx上函数上函数)(xf满足

11、拉格朗日满足拉格朗日中值定理的条件，故得中值定理的条件，故得 由由于于0)( f，所所以以0)()(12xfxf，即即)()(21xfxf. . 212112()( )( )()(),f xf xf xxxx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 二、两个重要推论二、两个重要推论因因为为21,xx是是),(ba内内的的任任意意两两点点，于于是是上上式式表表明明)(xf在在),(ba内内任任意意两两点点的的值值总总是是相相等等的的，即即)(xf在在),(ba内内是是一一个个常常数数，证证毕毕 推 论推 论 2 2 如 果 对如 果 对),(ba内

12、任 意内 任 意 x， 均 有， 均 有)()(xgxf，则在，则在),(ba 内内)(xf与与)(xg之间只差一个之间只差一个常数，即常数，即cxgxf)()(（c为常数） 为常数） 证证 令令)()()(xgxfxf，则则0)( xf，由由推推论论 1 1知知 ，)(xf 在在),(ba内内 为为 一一 常常 数数c， 即即),(,)()(baxcxgxf，证证毕毕 如图观察区间如图观察区间,ba上的单调递上的单调递增函数增函数)(xf的图像，当的图像，当 x增大时，增大时，曲线上任一点处的切线与曲线上任一点处的切线与 x轴正轴正向夹角为锐角，即向夹角为锐角，即0)( xf（个别点（个别点

13、处处( )0fx） ，反过来是否也成立） ，反过来是否也成立呢？我们有如下定理：呢？我们有如下定理： 定理定理 2 2 设函数设函数)(xf在在,ba上连续，在上连续，在),(ba内内可导，则有可导，则有 （1 1）如如果果在在),(ba内内0)( xf，则则函函数数)(xf在在,ba上上单单调调增增加加； xy0ab三、函数的单调性三、函数的单调性证证 设设21,xx是是,ba上上任任意意两两点点, ,且且21xx ，由由拉拉格格朗朗日日中中值值定定理理有有 )()()()(211212xxxxfxfxf . 如如果果0)( xf，必必有有0)(f，又又012 xx， 于于是是有有0)()(

14、12xfxf， 即即)()(12xfxf, ,由由于于21,xx)(21xx 是是,ba上上任任意意两两点点，所所以以函函数数)(xf在在,ba上上单单调调增增加加 同同理理可可证证，如如果果0)( xf，则则函函数数)(xf在在,ba上上单单调调减减少少，证证毕毕 （2 2）如如果果在在),(ba内内0)( xf，则则函函数数)(xf在在 ,ba上上单单调调减减少少 函函数数单单调调区区间间的的确确定定： （1 1） 求出使） 求出使0)( xf的点 （称这样的点为驻点） ，的点 （称这样的点为驻点） ， （2 2）用用这这些些驻驻点点将将)(xf的的定定义义域域分分成成若若干干个个子子区区

15、间间，再再在在每每个个子子区区间间上上判判断断函函数数的的单单调调性性. . 例例 讨论函数讨论函数323)(xxxf的单调性的单调性 解解 因因为为323)(xxxf, , 所所以以)2(336)( 2xxxxxf, , 令令0)( xf得得驻驻点点：01x，22x, ,用用它它们们将将)(xf的的定定义义区区间间),(分分成成三三个个部部分分区区间间: : )0 ,(，)2 , 0(，), 2( . . 当当)0 ,(x时时， 有有0)( xf； 当当)2 , 0(x时时0)( xf; ;当当), 2( x时时，0)( xf， 因因此此， 由由定定理理 2 2 知知， 函函数数)(xf在在

16、区区间间)0 ,(与与), 2( 上上单单调调减减少少，在在区区间间)2 , 0(单单调调增增加加 1 1 将将拉拉格格朗朗日日中中值值定定理理中中的的条条件件)(xf“在在闭闭区区间间,ba上上连连续续”换换为为“在在开开区区),(ba内内连连续续”后后, ,定定理理是是否否还还成成立立? ?试试举举例例( (只只需需画画图图) )说说明明 罗尔罗尔(rolle)(rolle)中值定理中值定理 若若)(xf满足如下满足如下 3 3 条条: : ( (1 1) ) 在闭区间在闭区间,ba上连续上连续; ; (2) (2) 在开区间在开区间),(ba内可导内可导; ; (3) (3) 在区 间在

17、区 间,ba端 点出的 函数 值相等端 点出的 函数 值相等 , ,即即)()(bfaf, ,则在开区间则在开区间),(ba内至少存在一点内至少存在一点, ,使使得得0)(f 思思考考题题 2 2 罗尔罗尔(rolle(rolle) )中值定理是微分中值定理中一中值定理是微分中值定理中一个最基本的定理仔细阅读下面给出的罗尔中值定理个最基本的定理仔细阅读下面给出的罗尔中值定理的条件与结论的条件与结论, ,并回答所列问题并回答所列问题 需回答的问题需回答的问题: : ( (1 1) ) 罗尔中值定理与拉格朗日中值定理的联系与罗尔中值定理与拉格朗日中值定理的联系与区别区别? ? (2) (2) 若将

18、罗尔中值定理中条件若将罗尔中值定理中条件(1)(1)换成“在开区间换成“在开区间),(ba内连续”内连续”, ,定理的结论还成立吗定理的结论还成立吗? ?画图说明画图说明 (3) (3) 不求不求)4)(3)(2)(1()(xxxxxf的导数的导数, ,说明方程说明方程)(xf 有几个实根有几个实根, ,并指出它们所在的区间并指出它们所在的区间 第三节第三节 函数的极值与最值函数的极值与最值 一、一、函数的极值函数的极值 二、二、函数的最值函数的最值 定定义义 设设函函数数)(xf在在 0 x的的某某邻邻域域内内有有定定义义, ,且且对对此此邻邻域域内内任任一一点点)(0 xxx, ,均均有有

19、)()(0 xfxf, ,则则称称)(0 xf是是函函数数)(xf的的一一个个极极大大值值; ;同同样样, ,如如果果对对此此邻邻域域内内任任一一点点)(0 xxx, ,均均有有)()(0 xfxf, ,则则称称)(0 xf是是函函数数)(xf的的一一个个极极小小值值函函数数的的极极大大值值与与极极小小值值统统称称为为函函数数的的极极值值使使函函数数取取得得极极值值的的点点 0 x, ,称称为为极极值值点点 一、函数的极值一、函数的极值定理定理 1 1 ( (极值的必要条件极值的必要条件) ) 设设)(0 xf在点在点0 x处具有导数处具有导数, , 且在点且在点0 x取得极值取得极值 , ,

20、那么那么0)(0 xf 观察可导函数在取得极值处切线特征，观察可导函数在取得极值处切线特征， 可以看出可以看出, ,可导函数在取得极值处的可导函数在取得极值处的 切线是水平的切线是水平的, ,即极值点即极值点 0 x处处, ,必有必有 0)(0 xf, ,于是有下面的定理于是有下面的定理 证证 只证只证)(0 xf是极大值的情形由假设是极大值的情形由假设, , )(0 xf 存在存在, ,所以所以 00000)()(lim)()(lim)(00 xxxfxfxxxfxfxfxxxx, , xyo因因为为)(0 xf是是)(xf的的一一个个极极大大值值, ,所所以以对对于于 0 x的的某某邻邻域

21、域内内的的一一切切 x, ,只只要要0 xx , ,恒恒有有)()(0 xfxf因因此此, ,当当0 xx 时时, , 有有0)()(00 xxxfxf于于是是, ,有有 00)()(lim0 xxxfxfxx0， 当当0 xx 时时, ,0)()(00 xxxfxf, ,所以所以 00)()(lim0 xxxfxfxx 0, ,从而得到从而得到0)(0 xf 类似可证类似可证)(0 xf为极小值情形为极小值情形, ,证毕证毕 函函数数极极值值点点特特征征：对对于于可可导导函函数数由由定定理理 1 1 知知，可可导导函函数数)(xf的的极极值值点点必必是是)(xf的的驻驻点点反反过过来来, ,

22、驻驻点点却却不不一一定定 是是)(xf的极值点如的极值点如0 x是函数是函数3)(xxf的驻点，但的驻点，但不是其极值点对于连续函数不是其极值点对于连续函数, ,它的极值点还可能是它的极值点还可能是使导数不存在的点使导数不存在的点, ,称这种点为尖点 例如称这种点为尖点 例如, ,xxf)(，但但0 x处导数不存在处导数不存在, ,但是，但是，0 x是它的极小值点是它的极小值点 定理定理 （极值的第一充分条件）设（极值的第一充分条件）设)(xf在点在点 0 x连续，在点连续，在点 0 x的某一空心邻域内可导当的某一空心邻域内可导当 x由小由小增大经过增大经过 0 x时，如果时，如果 (1)(1

23、) )(xf 由正变负，那么由正变负，那么 0 x 是极大值点；是极大值点；(2)(2) )(xf 由负变正，那么由负变正，那么 0 x是极小值是极小值点；点；(3) (3) )(xf 不变号，那么不变号，那么 0 x不是极值点不是极值点 证证 （）由假设知，（）由假设知，)(xf在在 0 x的左侧邻近单调的左侧邻近单调增加增加, , 即当即当0 xx 时，时，)()(0 xfxf; ;在在0 x的右侧邻近的右侧邻近单调减少，即当单调减少，即当0 xx 时，时，)()(0 xfxf. .因此因此 0 x是是)(xf的的极大值点极大值点, , )(0 xf是是)(xf的极大值的极大值 类似可以证

24、明（类似可以证明（2 2） ） ( (3 3) ) 由由假假设设，当当 x在在 0 x 的的某某个个邻邻域域)(0 xx 内内取取值值时时，)0(0)( xf，所所以以，在在这这个个邻邻域域内内是是单单调调增增加加（减减少少）的的，因因此此0 x不不是是极极值值点点，证证毕毕 定理定理 （极值的第二充分条件）（极值的第二充分条件） 设设)(xf在点在点 0 x处具有二阶导数处具有二阶导数, ,且且0)(0 xf, ,0)( xf (1)(1) 如果如果0)(0 xf, ,则则)(xf在点在点 0 x取得极大值；取得极大值； (2) (2) 如果如果0)(0 xf, ,则则)(xf在点在点 0

25、x取得极小值取得极小值 证证 （）由于（）由于0)(0 xf, ,所以所以 0)( )( lim)(0000 xxxfxfxfxx， 所以，在所以，在0 x的某邻域内必有的某邻域内必有 0)()(00 xxxfxf , , )(0 xx ， 因为因为0)( xf，所以有，所以有0)(0 xxxf , , )(0 xx . . 从从而而知知道道， 当当0 xx 时时，0)( xf； 当当0 xx 时时，0)( xf, ,由由定定理理知知)(0 xf为为)(xf的的极极大大值值类类似似地地可可证证明明（） ，证证毕毕. . 例例 求求函函数数xxxxf96)(23的的极极值值. . 解解 一一 因

26、因 为为96)(23xxxf的的 定定 义义 域域 为为( (,) ), ,且且 )3)(1(39123)(2xxxxxf, , 令令0)( xf，得得驻驻点点11x, ,32x . . 在在) 1 ,(内内，0)( xf，在在)3 , 1 (内内，0)( xf, ,故故由由定定理理2 2 知知，4) 1 (f为为函函数数)(xf的的极极大大值值 解解二二 因因为为xxxxf96)(23的的定定义义域域为为),(， 且且 9123)(2xxxf, ,126)( xxf 令令0)( xf, ,得得驻驻点点11x, ,32x又又因因为为06) 1 ( f, ,所所以以，4) 1 (f为为极极大大值

27、值 06)3( f, ,所所以以0)3(f为为极极小小值值 例例 2 2 求求函函数数32) 1(2)(xxf的的极极值值 解解 因 为因 为32) 1(2)(xxf的 定 义 域 为的 定 义 域 为),(, ,且且)(xf在在),(上连续，所以上连续，所以 131322( )(1)(1)33(1)fxxxx , ,1x时时, ,)(xf 不不存存在在 , , 所所 以以1x为为)(xf的的 可可 能能 极极 值值 点点 在在) 1 ,(内内, ,0)( xf; ;在在), 1 ( 内内, ,0)( xf, ,由由定定理理知知)(xf在在1x处处取取得得极极大大值值2) 1 (f 对于闭区间

28、对于闭区间,ba上的连续函数上的连续函数)(xf由最值存在定由最值存在定理知一定存在着最大值和最小值显然，函数在闭区理知一定存在着最大值和最小值显然，函数在闭区间间,ba上的最大值和最小值只能在区间上的最大值和最小值只能在区间),(ba内的极内的极值点和区间端点处达到因此可得求闭区间值点和区间端点处达到因此可得求闭区间,ba上的上的连续函数连续函数)(xf的最值步骤为： （的最值步骤为： （1 1）求出一切可能的极）求出一切可能的极值点值点( (包括驻点和尖点包括驻点和尖点) )和端点处的函和端点处的函数值， （数值， （2 2）比较）比较这些函数值的大小，最大的值为函数的最大值，最小这些函数

29、值的大小，最大的值为函数的最大值，最小的值为函数的最小值的值为函数的最小值 二、函数的最值二、函数的最值例例 3 3 求求函函数数xxxxf1232)(23在在4 , 3上上的的最最大大值值和和最最小小值值 解解 因因为为 在在xxxxf1232)(23在在4 , 3上上连连续续，所所以以在在该该区区间间上上存存在在着着最最大大值值和和最最小小值值 又因为又因为) 1)(2(61266)(2xxxxxf, , 令令0)( xf, ,得驻点得驻点21x, ,12x, ,由于由于 20)2(f, ,7) 1 (f, ,9) 3(f, ,128)4(f 比较各值可得函数比较各值可得函数)(xf的最大

30、值为的最大值为128)4(f, ,最小值最小值为为7) 1 (f 对于实际问题的最值， 往往根据问题的性质就可断对于实际问题的最值， 往往根据问题的性质就可断定函数定函数)(xf在定义区间的内部确有最大值或最小值在定义区间的内部确有最大值或最小值 理论上可以证明： 若实际问题断定理论上可以证明： 若实际问题断定)(xf在其定义区间内在其定义区间内部（不是端点处）存在最大值（或最小值） ，且部（不是端点处）存在最大值（或最小值） ，且0)( xf在定义区间内只有一个根在定义区间内只有一个根0 x, ,那么，可断定那么，可断定)(xf在点在点 0 x取得相应的最大值（最小值） 取得相应的最大值（最

31、小值） 例例 4 4 有一块宽为有一块宽为a2的长方形铁皮，将宽的两的长方形铁皮，将宽的两个边缘向上折起，做成一个开口水槽，其横截面为矩个边缘向上折起，做成一个开口水槽，其横截面为矩形，高为形，高为x, ,问高问高 x取何值时水槽的流量最大取何值时水槽的流量最大( (下图所下图所示为水槽的横截面）？示为水槽的横截面）？ 解解 设两边各折起设两边各折起 x, ,则横截面积为则横截面积为 )(2)(xaxxs )0(ax x2a-2xx这样，问题归结为：当这样，问题归结为：当 x为何值时，为何值时，)(xs取得最大值取得最大值 由于由于xaxs42)(, ,所以令所以令0)( xs, ,得得)(x

32、s的的惟惟一驻点一驻点2ax 又因为铁皮两边折的过大或过小，其横截面积都又因为铁皮两边折的过大或过小，其横截面积都会变小，因此，该实际问题存在着最大截面积会变小，因此，该实际问题存在着最大截面积 所以，所以，)(xs的最大值在的最大值在2ax 处取得，即当处取得，即当2ax 时，水槽的流量最大时，水槽的流量最大 例例 5 5 铁铁路路线线上上ab的的距距离离为为 1 10 00 0 k km m, ,工工厂厂c距距a处处为为 2 20 0 k km m, ,ac垂垂直直于于ab, ,要要在在ab线线上上选选定定一一点点 d向向工工厂厂修修筑筑一一条条公公路路，已已知知铁铁路路与与公公路路每每

33、k km m 货货运运费费之之比比为为3 3：5 5, ,问问d选选在在何何处处，才才能能使使从从b到到 c的的运运费费最最少少? ? 解解 设设 xad (km),(km),则则 xdb100, ,2220 xcd 由由于于铁铁路路每每 k km m 货货物物运运费费与与公公路路每每 k km m 货货物物运运费费之之比比为为3 3：5 5，因因此此，不不妨妨设设铁铁路路上上每每k km m 运运费费为为k3, ,则则公公路路上上每每 k km m运运费费为为k5, ,并并设设从从 b 到到 c 点点需需要要的的总总运运费费为为 y, ,则则 )100(320522xkxky 0( x )1

34、00. . 由此可见，由此可见，x过大或过小，总运费过大或过小，总运费 y均不会变小，均不会变小，故有一个合适的故有一个合适的 x使总运费使总运费 y达到最小值达到最小值 c bad 又又因因为为 340052xxky 令令0 y, ,即即2530400 xx, ,得得15x为函数为函数 y在在其定义域内的惟一驻点，故知其定义域内的惟一驻点，故知 y在在15x处取得最小处取得最小值，即值，即d点应选在距点应选在距 a为为 15 kmkm 处，运费处，运费最少最少 1. 1. 画图说明闭区间上连续函数画图说明闭区间上连续函数)(xf的极值与最的极值与最值之间的关系值之间的关系 2. 2. 可能极

35、值点有哪几种可能极值点有哪几种？如何判断可能极值点如何判断可能极值点是否为极值点是否为极值点. . 思思考考题题 一、一、曲率的概念曲率的概念 二、二、曲率的计算曲率的计算* *第四节第四节 曲曲 率率 设设和和 , ,是曲线是曲线)(xfy 上两个点，假如曲线在上两个点，假如曲线在点和点和点的切线与点的切线与 x 轴的夹角分别为轴的夹角分别为 和和 ，那，那么， 当点从么， 当点从沿曲线沿曲线)(xfy 变到变到 时，时， 角度改变了角度改变了 ，而改变这个角度所经过的路程则是弧长而改变这个角度所经过的路程则是弧长s ab，我们，我们自然就用比值自然就用比值s来刻画曲线段来刻画曲线段 ab上

36、的弯曲程度，称上的弯曲程度，称为平均曲率为了刻画曲线在某点处的曲率，我们有如为平均曲率为了刻画曲线在某点处的曲率，我们有如下定义下定义 定定义义 称称sskxddlim0为为曲曲线线在在点点 a的的曲曲率率 一、曲率的概念一、曲率的概念例例 1 1 求求半半径径为为r的的圆圆的的平平均均曲曲率率及及曲曲率率. . 解解 在图中，由于在图中，由于boa 等于等于 ， 又等于又等于rs，所以，所以rsrss1 为弧为弧 ab 段的平均曲率，段的平均曲率， 当当 时，有时，有0s， 所以圆上任意一点所以圆上任意一点 a 的曲率的曲率 rrsakss11limlim00 . o xyoaba+aaa可

37、见可见, ,圆上任一点处的曲率都等于圆半径的倒数圆上任一点处的曲率都等于圆半径的倒数. .因而圆的半径愈大因而圆的半径愈大, ,曲率愈小曲率愈小; ;半径愈小半径愈小, ,曲率愈大曲率愈大. .这这表明曲率确实反映了曲线的弯曲程度表明曲率确实反映了曲线的弯曲程度. . 由于圆的半径等于圆的曲率的倒数由于圆的半径等于圆的曲率的倒数, ,所以对于一般所以对于一般的曲线的曲线, ,我们把它在各点的曲率的倒数称为它在该点的我们把它在各点的曲率的倒数称为它在该点的曲率半径曲率半径, ,记为记为r, ,因此因此, ,kr1( (如果如果0k, ,则说明曲率则说明曲率半径为半径为) ). . 以以s表示这条

38、曲线由基点表示这条曲线由基点0m到点到点m的一段弧的一段弧0m m的长的长度（当度（当m在在0m右边时规定右边时规定0s, ,当当m在在0m左边时规定左边时规定0s）, ,弧长弧长 s是是 x的函数，的函数， 设设函函数数)(xfy 在在),(ba内内具具有有连连续续导导数数， 0 x为为),(ba内内一一个个定定点点；x, ,xx为为),(ba内内两两个个邻邻近近的的点点；0m，m，m分分别别为为曲曲线线)(xfy 上上与与 0 x, , x, , xx对对应应的的点点. . ox yabm0mmxyxxx0 x二、曲率的计算二、曲率的计算设对应于设对应于 x的增量的增量 x，弧长，弧长 s

39、的增量为的增量为 s， 则则00sm mm m. .于是有于是有0lim0mmx我们还我们还可以证明：可以证明：1lim0mmsx这就是说这就是说 s与与mm是是 0s时的两个等价无穷小量，因此时的两个等价无穷小量，因此 00220dlimlimd()()limxxxssmmxxxxyx 21y, 所以所以 xysd1d2. . 又又因因为为曲曲线线)(xfy 在在点点 m处处的的切切线线斜斜率率为为tany 所所以以，arctan y 2dd1yxy, , 因此因此 223/22dd1d(1)1dyxyyksyyx 这就是曲线这就是曲线)(xfy 的曲率计算公式的曲率计算公式 例例 2 2

40、求求直直线线baxy的的曲曲率率 解解 因为因为ay , ,0 y, ,所以所以 0k, ,即直线的即直线的弯曲程度为弯曲程度为 0（直线不弯曲） （直线不弯曲） 例例 3 3 一一飞飞机机沿沿抛抛物物线线路路径径40002xy 做做俯俯冲冲飞飞行行， 在在原原点点o处处的的速速度度为为400v m m/ /s s 飞飞行行员员体体重重 7 70 0 k kg g，求求俯俯冲冲到到原原点点时时，飞飞行行员员对对座座椅椅的的压压力力 解解 在在o点飞行员受到两个力作用，即重力点飞行员受到两个力作用，即重力 p和座椅对飞行员的反力和座椅对飞行员的反力 q， 他们的合力， 他们的合力p-q为飞行员为

41、飞行员随飞机俯冲到随飞机俯冲到o点时， 所需的向心力点时， 所需的向心力 f, ,即即fp-q或或fq p，物体做匀速圆周运动时，物体做匀速圆周运动时，向心力为，向心力为 2mrv（r为圆半径）为圆半径） o 点可看成是曲线在这点的曲率圆上点可看成是曲线在这点的曲率圆上的点，所以在这点向心力为的点，所以在这点向心力为 2mfrv（r为为 o点的曲率半点的曲率半径） ，径） ， 因为因为 020000 xxy, ,20001 y 故故曲曲线线在在 o o 点点的的曲曲率率20001k, ,曲曲率率半半径径 r r= =2 20 00 00 0 m m，所所以以 n5600n2000)400(70

42、2f )56008 . 970(qn n6286 n n 因因为为飞飞行行员员对对座座椅椅的的压压力力和和座座椅椅对对飞飞行行员员的的反反力力大大小小相相等等，方方向向相相反反，所所以以，飞飞行行员员对对座座椅椅的的压压力力为为6 62 28 86 6 n n. . ypoxq 1.1. 对圆来说，其半径与其曲率半径相等吗？对圆来说，其半径与其曲率半径相等吗？ 为什么？为什么？ 2.2.是否存在负曲率，为什么？是否存在负曲率，为什么？ 思思考考题题 一、一、曲线的凹向及其判别法曲线的凹向及其判别法 二、二、拐点及其求法拐点及其求法 三、三、曲线的渐近线曲线的渐近线 四、四、函数作图的一般步骤函

43、数作图的一般步骤 第五节第五节 函数图形的描绘函数图形的描绘定定义义 1 1 若若在在某某区区间间()a,b内内曲曲线线段段总总位位于于其其上上任任意意一一点点处处切切线线的的上上方方，则则称称曲曲线线段段在在 ()a,b内内是是向向上上凹凹的的（简简称称上上凹凹， 也也称称凹凹的的） ； 若若曲曲线线段段总总位位于于其其上上任任一一点点处处切切线线的的下下方方，则则称称该该曲曲线线段段),(ba内内是是向向下下凹凹的的（简简称称下下凹凹，也也称称凸凸的的） 从从图图可可以以看看出出曲曲线线段段ab是是下下凹凹的的；曲曲线线段段 bc是是上上凹凹的的 定理定理 1 1 设函数设函数 y= =)

44、(xf在开在开区间区间()a,b内具有二阶导数内具有二阶导数 ( (1 1) )若若在在()a,b内内0)( xf, ,则则曲曲线线)(xfy 在在),(ba内内是是向向上上凹凹的的； yox abcabc 一、曲线的凹向及其判别法一、曲线的凹向及其判别法( (2 2) )若若在在),(ba内内0)( xf, ,则则曲曲线线)(xfy 在在),(ba上上是是向向下下凹凹的的. 若把定理若把定理1 1中的区间改为无穷区间， 结论仍然成立中的区间改为无穷区间， 结论仍然成立 例例 1 1 判判定定曲曲线线xyln的的凹凹向向 解解 函函数数xyln的的定定义义域域为为), 0( , , xy1,

45、, 21xy , ,当当0 x时时，0 y， 故故曲曲线线xyln在在), 0( 内内是是向向下下凹凹的的 定定义义 2 2 若若连连续续曲曲线线 y= =)(xf上上的的点点 p是是曲曲线线向向上上凹凹与与向向下下凹凹的的分分界界点点，则则称称 p是是曲曲线线)(xfy 的的拐拐点点 由由于于拐拐点点是是曲曲线线凹凹向向的的分分界界点点， 所所以以拐拐点点左左右右两两侧侧近近旁旁)(xf 必必然然异异号号因因此此，曲曲线线拐拐点点的的横横坐坐标标 0 x，只只可可能能是是使使0)( xf的的点点或或)(xf 不不存存在在的的点点从从而而可可得得求求),(ba内内连连续续函函数数 y= =)(

46、xf拐拐点点的的步步骤骤： ( (1 1) ) 先先求求出出)(xf ，找找出出在在),(ba内内使使0)( xf的的点点和和)(xf 不不存存在在的的点点； (2) (2) 用上述各点按照从小到大依次将用上述各点按照从小到大依次将),(ba分成小分成小区间区间, ,再在每个小区间上考察再在每个小区间上考察)(xf 的符号；的符号； 二、拐点及其求法二、拐点及其求法( (3 3) ) 若若)(xf 在在某某点点 ix两两侧侧近近旁旁异异号号， 则则(,()iixf x是是曲曲线线y= =)(xf的的拐拐点点，否否则则不不是是 例例 2 2 曲线曲线3xy 的定义域为的定义域为),(，画其草图，

47、画其草图 解解 因因为为3xy 的的定定义义域域为为),(，且且23xy , , xy6 , , 令令0 y，得得0 x 用用0 x将将),(分分成成两两个个 小小区区间间：)0 ,( 和和), 0( . . 当当)0 ,(x时时，0 y, , 曲曲线线3xy 下下凹凹 当当), 0( x时时，0 y, , 曲曲线线3xy 上上凹凹 所所以以，点点)0 , 0(为为曲曲线线3xy 的的拐拐点点 yxo11-1-1定义定义 3 3 若曲线若曲线c上动点上动点 p沿着曲线无限地远离沿着曲线无限地远离原点时，点原点时，点 p与某一固定直线与某一固定直线 l的距离趋于零，的距离趋于零， 则称直线则称直

48、线 l为曲线为曲线 c的渐的渐近近线线 1 1斜斜渐渐近近线线 定定理理 2 2 若若)(xf满满足足： ( (1 1) ) kxxfx)(lim; ; ( (2 2) ) bkxxfx)(lim, , 则则曲曲线线y= =)(xf有有斜斜渐渐近近线线bkxy yoxcmnplay kx b( )yf x三、曲线的渐近线三、曲线的渐近线例例 3 3 求曲线求曲线3223xxxy的渐的渐近近线线 解解 令令32)(23xxxxf, ,因因为为 132lim)(lim22xxxxxfkxx, 2)32(lim)(lim23xxxxkxxfbxx, 故故得得曲曲线线的的渐渐近近线线方方程程为为2 x

49、y 2 2铅铅直直渐渐近近线线 定义定义 4 4 若 当若 当cx 时（有时仅当时（有时仅当cx或或cx） ，） ，)(xf则称直线则称直线cx 为曲线为曲线)(xfy 的铅的铅直渐近线（也叫垂直渐近线） （其中直渐近线（也叫垂直渐近线） （其中 c为常数） 为常数） 所以当所以当3x和和1x时时 ，有，有y，所以曲线，所以曲线3223xxxy有两条铅直渐近线有两条铅直渐近线3x和和1x 例例 ) 1)(3(32323xxxxxxy， 例例 当当x时时，有有2e0 x, ,所所以以0y为为曲曲线线2exy的的水水平平渐渐近近线线. . y o x 3 3水水平平渐渐近近线线 定定义义 5 5

50、若若当当x时时，cxf)(则则称称曲曲线线)(xfy 有有水水平平渐渐近近线线cy . . (1) (1) 确定函数的定义域及值域；确定函数的定义域及值域； (2) (2) 考察函数的周期性与奇偶性；考察函数的周期性与奇偶性； (3)(3) 确定函数的单增、单减区间、极值点、凹确定函数的单增、单减区间、极值点、凹凸区间及其拐点；凸区间及其拐点； (4) (4) 考察渐近线；考察渐近线； (5) (5) 考察与坐标轴的交点考察与坐标轴的交点 最最后后，根根据据上上面面几几方方面面的的讨讨论论画画出出函函数数的的图图像像 四、函数作图的一般步骤四、函数作图的一般步骤例例 4 4 描绘函数描绘函数x

51、yx1e的图的图像像 解解 函函数数xxfy1e)(x的的定定义义域域为为1x的的全全体体实实数数，且且当当1x时时，有有0)(xf，即即1x时时，图图像像在在x轴轴下下方方，当当1x时时，有有0)(xf, ,即即1x时时，图图像像在在x轴轴上上方方 由于由于)(lim1xfx，所以，所以1x为曲线为曲线)(xfy 的的铅直渐铅直渐近近线线 又因为又因为01elimxxx，所以，所以，0y为该曲线的水为该曲线的水平渐平渐近近线线 因为因为 2)1 (exxyx, , 32)1 () 1(exxyx ， 令令0 y, ,得得, 0 x又又1x时，时，y 不存在不存在 用用0 x, ,1x将将定定

52、义义区区间间分分开开， 并并进进行行讨讨论论如如下下： x (,1) (1,0) 0 (0,+) y + y + + y 极小值 注注：符符号号 表表示示曲曲线线单单减减且且下下凹凹； 表表示示单单增增且且上上凹凹，其其余余类类推推 极极小小值值0e(0)11 0f. .根根据据如如上上讨讨论论，画画出出图图像像 y o x 1 2 1 2 -1 例例 5 5 描描绘绘函函数数xxxfln)(的的图图像像 （2 2） 渐渐近近线线 因为因为)(lim0 xfx，所以，所以0 x为铅直渐为铅直渐近近线线 又因为又因为0lnlimxxx，所以，所以y=0=0 为水平渐为水平渐近近线；线； （3 3

53、） 因为因为2/32ln2xxy，2/548ln3xxy 所以所以，令令0 y得得2ex389. 7令令0 y得得 38ex39.14; ; 解解 （1 1）定定义义域域), 0( ； （4 4） 列列表表讨讨论论： x (0,e2) e2 (e2,e8/3) e8/3 (e8/3,+) y + y + y 极大值极大值 2e 拐点拐点48/338(e,e)3 y o x 1 e2 e8/3 ( (5 5) ) 令令ln0 xx，得得 x= =1 1 为为曲曲线线与与 x 轴轴交交点点的的横横坐坐标标 ( (6 6) ) 根根据据上上述述讨讨论论画画出出曲曲线线 1 1 若 若)(,(00 x

54、fx为连续曲线弧为连续曲线弧)(xfy 的拐点， 问：的拐点， 问： (1) (1) )(0 xf有无可能为有无可能为)(xf的极值，为什么？的极值，为什么？ (2) (2) )(0 xf 是否一定存在？为什么？画图说明是否一定存在？为什么？画图说明 2. 2. 根据下列条件，画曲线：根据下列条件，画曲线： (1) (1) 画出一条曲线，使得它的一阶和二阶导数处画出一条曲线，使得它的一阶和二阶导数处处为正；处为正； (2) (2) 画出一条曲线，使得它的二阶导数处处为负，画出一条曲线，使得它的二阶导数处处为负，但一阶导数处处为正；但一阶导数处处为正； (3) (3) 画出一条曲线，使得它的二阶

55、导数处处为正，画出一条曲线，使得它的二阶导数处处为正，但一阶导数处处为负；但一阶导数处处为负； (4) (4) 画出一条曲线，使得它的一阶和二阶导数处画出一条曲线，使得它的一阶和二阶导数处处为负处为负 思思考考题题 第六节第六节 一元函数微分学在经济上一元函数微分学在经济上的应用的应用 一、一、成本函数与收入函数成本函数与收入函数 二、二、边际分析边际分析 三、三、弹性与弹性分析弹性与弹性分析一个企业的经营效益取决于该企业的成本支出、收一个企业的经营效益取决于该企业的成本支出、收 入以及二者关于产量变化率等因素本节重点研究导数入以及二者关于产量变化率等因素本节重点研究导数 应用于成本函数和收入

56、函数应用于成本函数和收入函数 成成本本函函数数( )c q给给出出了了生生产产数数量量为为 q的的某某种种产产品品的的总总成成本本 )(qc是单增函数是单增函数. .对一些产对一些产品来说，如汽车或电视机等，产品来说，如汽车或电视机等，产量量q只能是整数，所以只能是整数，所以)(qcc 的图像由彼此孤立的点组成 （右的图像由彼此孤立的点组成 （右图一） ；对糖、煤等产品来说，图一） ；对糖、煤等产品来说，产量产量q可以连续变化，所以可以连续变化，所以)(qcc 的图像可能是一条连的图像可能是一条连续曲线（右图二） 续曲线（右图二） o c q 图二 o c q 图一 一、成本函数与收入函数一、

57、成本函数与收入函数 总假定成本函数总假定成本函数)(qcc 对一切非负实数有意义对一切非负实数有意义 由由于于任任何何企企业业在在正正式式生生产产之之前前，都都要要先先期期投投入入，即即企企业业的的产产量量0q时时，成成本本0)0(cc一一般般不不为为零零，通通常常成成为为固固定定成成本本，几几何何上上，固固定定成成本本 c0 0就就是是成成本本函函数数曲曲线线在在 c 轴轴上上的的截截距距 一般来说，成本函数最初一段时间增长速度很快，然一般来说，成本函数最初一段时间增长速度很快，然后逐渐慢下来（即成本函数后逐渐慢下来（即成本函数)(qcc 的曲线的斜率由大到的曲线的斜率由大到小变化，曲线下凹

58、） ，因为生产产品数量较大时要比数量小变化，曲线下凹） ，因为生产产品数量较大时要比数量较小时的效率高较小时的效率高这称为经济规模 当产品保持较高水这称为经济规模 当产品保持较高水平时， 随着资源的逐渐匮乏， 成本函数再次开始较快增长，平时， 随着资源的逐渐匮乏， 成本函数再次开始较快增长，当不得不更新厂房等设备时，成本函数就会急速增长因当不得不更新厂房等设备时，成本函数就会急速增长因此，曲线此，曲线)(qcc 开始时是下凹的，后来是上凹的（如上开始时是下凹的，后来是上凹的（如上页页图图二二） ） 收收入入函函数数)(qr表表示示企企业业售售出出数数量量为为 q的的某某种种产产品品所所 获获得

59、得的的总总收收入入由由于于售售出出量量 q 越越多多，收收入入)(qr越越大大，所所 以以)(qr是是单单增增函函数数. . 如果价格如果价格p是常数是常数, ,那么那么 qpr ,数量价格收入 且且r的图像是通过原点的图像是通过原点的直线（图一） ，实际上，当的直线（图一） ，实际上，当产量产量q的值增大时， 产品可能的值增大时， 产品可能充斥市场，从而造成价格下充斥市场，从而造成价格下落，落，r的图像如图二的图像如图二 作作出出决决策策常常考考虑虑到到利利润润 l, , 成本收入利润, ,即即crl. . o r q 图一 o r q 图二 例例 1 1 如果成本函数如果成本函数)(qc及

60、收入函数及收入函数)(qr由下图给由下图给 出，问出，问q的值多大时，企业可获得利润的值多大时，企业可获得利润 ？ 解解 只有当收入大于只有当收入大于成本时，即成本时，即 r c 时，企业时，企业才可以获得利润 由右图可才可以获得利润 由右图可知， 当知， 当200100 q时，时，r的的图像位于图像位于c的图象之上，因的图象之上，因此产量介于此产量介于100和和200之间，之间，可获得利润可获得利润 c o r q c r 100 200 边际概念是经济学中的重要概念，通常指经济变化边际概念是经济学中的重要概念，通常指经济变化的变化率利用导数研究经济变量的边际变化方法，即的变化率利用导数研究