2022年全国中考数学压轴题分类解析汇编专题01

1、专题 1：动点问题1. （2012 上海市 14 分）如图，在半径为2 的扇形 aob中， aob=90 ，点c是弧 ab上的一个动点（不与点a、 b重合） od bc ，oe ac ，垂足分别为d、e（1）当 bc=1时，求线段od的长；（2）在 doe中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；（3）设 bd=x ，doe的面积为y，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出它的定义域【答案】 解： （1）点 o是圆心， od bc ， bc=1 ，bd=12bc=12。又ob=2 ，2222115od=obbd222。（2）存在， de是不变的。如图，连接

2、ab，则22ab=ob +oa2 2。d 和 e是中点， de=1ab=22。（3）bd=x ，2od4x。1=2，3=4，aob=900。2+3=45。过 d作 df oe ，垂足为点f。df=of=24x2。由bod edf ，得bdod=efdf，即精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 44 页 - - - - - - - - -22x4x=ef4x2，解得 ef=12x。oe=2x+4x2。2222114xx+4x4x +x4xydf oe=0 x222422（）。【考点】 垂径定理，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质

3、，三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）由 od bc ，根据垂径定理可得出bd=12bc=12，在 rt bod 中利用勾股定理即可求出od的长。（2）连接 ab ，由 aob是等腰直角三角形可得出ab的长， 再由 d和 e是中点，根据三角形中位线定理可得出de= 2。（3）由 bd=x ，可知2od4x，由于1= 2， 3= 4，所以2+ 3=45，过d作 df oe ，则 df=of=24x2，ef=12x，oe=2x+4x2，即可求得y 关于 x 的函数关系式。22ab=ob +oa22，点 c是弧 ab上的一个动点（不与点a、b重合） ，0 x2。2. （2012

4、福建南平14 分） 如图，在 abc中，点 d、e分别在边bc 、ac上，连接 ad 、de ，且1=b=c（1）由题设条件，请写出三个正确结论：（要求不再添加其他字母和辅助线，找结论过程中添加的字母和辅助线不能出现在结论中，不必证明）答：结论一：；结论二：；结论三：（2）若 b=45 ， bc=2 ，当点 d在 bc上运动时（点d不与 b、c重合） ，求 ce的最大值；若 ade是等腰三角形，求此时bd的长精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 44 页 - - - - - - - - -（注意：在第（2）的求解过程中，若有运用

5、（1）中得出的结论，须加以证明）【答案】 解： （1） ab=ac ；aed= adc ；ade acd 。（2） b=c，b=45 ， acb为等腰直角三角形。22acbc2222。1=c，dae= cad ， ade acd 。ad ： ac=ae ： ad ，22adadaeac222ad2。当 ad最小时， ae最小，此时ad bc ， ad=12bc=1 。ae的最小值为222122。 ce的最大值 = 22222。当 ad=ae 时， 1=aed=45 ， dae=90 。点 d与 b重合，不合题意舍去。当 ea=ed 时，如图1， ead= 1=45。ad平分 bac ，ad 垂

6、直平分bc 。bd=1 。当 da=de 时，如图2，ade acd ，da ： ac=de ：dc 。dc=ca=2。bd=bc dc=2 2。综上所述，当 ade 是等腰三角形时，bd的长的长为1 或22。【考点】 相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰（直角）三角形的判定和性质。【分析】 （1）由b=c， 根据等腰三角形的性质可得ab=ac ；由1=c， aed= edc+ c得到 aed= adc ；又由 dae= cad ，根据相似三角形的判定可得到ade acd 。（ 2 ） 由 b=c ， b=45 可 得 acb 为 等 腰 直 角 三 角 形 ， 则22acbc2222， 由

7、 1=c， dae= cad ， 根 据 相 似 三 角 形 的 判 定 可 得精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 44 页 - - - - - - - - -ade acd ，则有ad ：ac=ae ：ad，即22adadaeac222ad2，当 ad bc，ad 最小，此时ae最小，从而由ce=ac ae得到 ce的最大值。分当 ad=ae ， ，ea=ed ，da=de 三种情况讨论即可。3. （2012 甘肃兰州12 分） 如图， rtabo 的两直角边oa 、ob分别在 x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上， o为坐标原

8、点， a、 b两点的坐标分别为( 3，0) 、(0 ，4) ，抛物线y23x2bx c 经过点 b，且顶点在直线x52上(1) 求抛物线对应的函数关系式；(2) 若把a bo沿 x 轴向右平移得到 dce ，点a、b、o的对应点分别是d、c 、e，当四边形abcd 是菱形时，试判断点c和点 d是否在该抛物线上，并说明理由；(3) 在(2) 的条件下， 连接 bd ，已知对称轴上存在一点p使得 pbd的周长最小， 求出 p点的坐标；(4) 在(2) 、(3) 的条件下，若点m是线段 ob上的一个动点( 点 m与点 o 、b不重合 ) ，过点 m作bd交 x 轴于点 n，连接 pm 、pn，设 o

9、m的长为 t ，pmn 的面积为s，求 s和 t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围， s是否存在最大值？若存在，求出最大值和此时m点的坐标；若不存在，说明理由【答案】 解： （1）抛物线y23x2bx c 经过点 b(0，4) ，c 4。顶点在直线x52上，b5=2223，解得10b=3。所求函数关系式为2210y=xx+433。（2）在 rtabo中， oa 3，ob 4，22aboaob5=。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 44 页 - - - - - - - - -四边形abcd 是菱形， bc cd da

10、ab 5。c、 d两点的坐标分别是(5，4) 、 (2，0) ，当 x5 时，2210y=55+4=433；当 x2 时，2210y=22+4=033。点 c和点 d都在所求抛物线上。（3）设 cd与对称轴交于点p，则 p为所求的点，设直线 cd对应的函数关系式为ykx b，则5k+b=42k+b=0，解得，4k=38b=3。直线 cd对应的函数关系式为48y=x33。当 x52时，4582y=3233。 p(5223，) 。（ 4）mn bd ， omn obd 。omonobod，即ton42，得ton2。设对称轴交x于点f，则pfom112555spfomof=+t=t+223246梯形

11、。2mon1111somon=tt=t2224，pme1151215snf pf=t=t+2222366，monpmepfoms=sss梯形2255115117t+tt+t +t46466412 (0 t 4) 。22117117289s=t +t=t+41246144，104，01764，当17t=6时， s取最大值是289144。此时，点m的坐标为 (0 ，176) 。【考点】 二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 4

12、4 页 - - - - - - - - -【分析】（1）根据抛物线y23x2bxc 经过点 b(0，4) ，以及顶点在直线x52上，得出b，c 即可。（2）根据菱形的性质得出c、 d两点的坐标分别是(5 ，4)、(2 ， 0)，利用图象上点的性质得出x5 或 2 时， y 的值即可。（3）首先设直线cd对应的函数关系式为ykxb，求出解析式，当x52时，求出 y 即可。（4）利用 mn bd ，得出 omn obd ，进而得出omonobod，得到ton2，从而表示出 pmn的面积，利用二次函数最值求出即可。4. （2012 广东省 9 分） 如图，抛物线213y=xx922与 x 轴交于 a

13、、b两点，与 y 轴交于点 c，连接 bc 、ac（1）求 ab和 oc的长；（2）点 e从点 a出发，沿x 轴向点 b运动（点e与点 a、b不重合），过点 e作直线 l 平行bc ，交 ac于点 d 设 ae的长为 m ，ade的面积为s，求 s 关于 m的函数关系式，并写出自变量 m的取值范围；（3）在（ 2）的条件下，连接ce ，求 cde面积的最大值；此时，求出以点e为圆心，与bc相切的圆的面积（结果保留） 【答案】 解： （1）在213y=xx922中，令 x=0，得 y= 9，c（ 0， 9） ；令 y=0，即213xx9=022，解得： x1=3，x2=6， a（3，0） 、b

14、（ 6，0） 。ab=9 ， oc=9 。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 44 页 - - - - - - - - -（2）ed bc ， aed abc ，2aedabcsaesab，即：2sm199 92。s=12m2（0m 9） 。（3）sa ec=12ae?oc=92m ，saed=s=12m2，sedc=saecsaed=12m2+92m= 12（m 92）2+818。cde的最大面积为818，此时， ae=m=92， be=ab ae=92。又22bc6 +9 =3 13，过 e作 ef bc于 f， 则 rt

15、bef rtbco ，得：efbeocbc， 即：9ef293 13。27ef1326。以 e点为圆心，与bc相切的圆的面积 se=?ef2=72952。【考点】 二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值，勾股定理，直线与圆相切的性质。【分析】（1）已知抛物线的解析式，当x=0，可确定c点坐标；当y=0 时，可确定a、b点的坐标，从而确定ab 、oc的长。（2）直线 l bc ，可得出 aed abc ，它们的面积比等于相似比的平方，由此得到关于 s、m的函数关系式；根据题目条件：点e与点 a、b不重合，可确定m的取值范围。（3）首先用 m列出 aec

16、的面积表达式， aec 、aed的面积差即为 cde 的面积，由此可得关于scde关于 m的函数关系式，根据函数的性质可得到scde的最大面积以及此时m的值。过 e做 bc的垂线 ef，这个垂线段的长即为与bc相切的e的半径， 可根据相似三角形 bef 、bco 得到的相关比例线段求得该半径的值，由此得解。5. （2012 贵州毕节16 分） 如图，直线l1经过点 a（ 1，0） ，直线 l2经过点 b(3，0), l1、l2均为与 y 轴交于点c(0，3) ，抛物线2y=a x+bx+c(a0)经过 a、b、c三点。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - -

17、- - - 第 7 页，共 44 页 - - - - - - - - -（1）求抛物线的函数表达式；（2）抛物线的对称轴依次与x轴交于点 d、与 l2交于点 e、与抛物线交于点f、与 l1交于点g 。求证： de=ef=fg; (3) 若 l1l2于 y 轴上的 c 点处，点p为抛物线上一动点，要使pcg 为等腰三角形，请写出符合条件的点p的坐标，并简述理由。【答案】 解： （1）抛物线2y=ax +bx+c(a0)经过 a（ 1，0） ，b（3，0） ，c（0，3）三点，abc09a3bc0 c3，解得3a323b3c3。抛物线的解析式为：232 3y=x +x333（2）证明：设直线l1的

18、解析式为y=kx+b，由直线l1经过 a （ 1，0） ，c（0，3） ，得 kb0 b3， 解 得k3 b3， 直 线l1的 解 析 式 为 ：y=-3x3。直线 l2经过 b （3，0） ，c （0，3）两点，同理可求得直线l2解析式为：y= 33x3。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 44 页 - - - - - - - - -抛物线2232 334 3y=x +x3=x13333，对称轴为x=1，d（1，0） ，顶点坐标为f（1，4 33） 。点 e为 x=1 与直线 l2：y= 33x3的交点， 令 x=1，得 y

19、=2 33，e（1，233） 。点 g为 x=1 与直线 l1：y=-3x3的交点，令x=1，得 y=2 3，g （ 1，2 3） 。各点坐标为： d （ 1， 0） ，e （1，2 33） ，f （ 1，433） ，g （1，2 3） ，它们均位于对称轴x=1 上。de=ef=fg=2 33。（3）如图，过c 点作 c 关于对称轴x=1 的对称点p1，cp1交对称轴于h点，连接cf，pg 。pcg为等腰三角形，有三种情况：当 cg=pg 时，如图，由抛物线的对称性可知，此时p1满足 p1g=cg 。c（ 0，3） ，对称轴x=1，p1（2，3） 。当 cg=pc 时，此时p 点在抛物线上，且

20、cp的长度等于 cg 。如图， c（ 1，3） ，h点在 x=1 上， h（ 1，3） 。在 rtchg中， ch=1 ，hg=|ygyh|=|2 3（3）|= 3，由勾股定理得：22cg132。 pc=2如图， cp1=2，此时与中情形重合。又 rtoac中，22ac132，点 a满足 pc=2的条件，但点a、c、g在同一条直线上，所以不能构成等腰三角形。当 pc=pg 时，此时p点位于线段cg的垂直平分线上. l1l2， ecg为直角三角形。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 44 页 - - - - - - - - -由

21、（ 2）可知， ef=fg ，即 f 为斜边 eg的中点。cf=fg ，f 为满足条件的p点，p2（1，4 33） 。又cg3cos cgeeg2， cge=30 。hcg=60 。又 p1c=cg ，p1cg为等边三角形。p1点也在 cg的垂直平分线上，此种情形与重合。综上所述， p点的坐标为p1（2，3）或 p2（1，433） 。【考点】 二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，等腰三角形的性质，勾股定理， 直角三角形斜边上中线的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】（1）已知 a、b、c三点坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式。（2）d、e

22、、f、g四点均在对称轴x=1 上，只要分别求出其坐标，就可以得到线段de 、 ef、fg的长度。 d是对称轴与x 轴交点， f 是抛物线顶点，其坐标易求；e是对称轴与直线 l2交点，需要求出l2的解析式， g是对称轴与l1的交点，需要求出l1的解析式，而a、b、c三点坐标已知，所以l1、 l2的解析式可以用待定系数法求出。从而问题得到解决。（3）pcg为等腰三角形，需要分三种情况讨论：cg=pg ，cg=pc ，pc=pg 。6. （2012 贵州遵义12 分） 如图， abc是边长为6 的等边三角形，p是 ac边上一动点，由 a向 c运动（与a 、c不重合）， q是 cb延长线上一点，与点p

23、同时以相同的速度由b向cb延长线方向运动（q不与 b重合） ，过 p作 pe ab于 e，连接 pq交 ab于 d（1）当 bqd=30 时，求ap的长；（2）当运动过程中线段ed的长是否发生变化？如果不变，求出线段ed的长；如果变化请说明理由【答案】 解： （1） abc是边长为6 的等边三角形， acb=60 。bqd=30 ， qcp=90 。设 ap=x，则 pc=6 x，qb=x ，qc=qb+c=6+x。在 rtqcp中，bqd=30 ， pc=12qc ，即 6x=12（ 6+x） ，解得 x=2。当 bqd=30 时， ap=2 。精品学习资料 可选择p d f - - - -

24、 - - - - - - - - - - 第 10 页，共 44 页 - - - - - - - - -（2）当点 p、q运动时，线段de的长度不会改变。理由如下：作 qf ab ，交直线ab的延长线于点f，连接 qe ，pf。pe ab于 e， dfq= aep=90 。点 p、q做匀速运动且速度相同，ap=bq 。abc是等边三角形， a=abc= fbq=60 。在 ape和bqf中，a=fbq ， ap=bq ，aep= bfq=90 ， ape bqf （aas ） 。ae=bf ， pe=qf 且 pe qf 。四边形peqf是平行四边形。de=12ef。eb+ae=be+bf=a

25、b，de=12ab 。又等边 abc的边长为6，de=3 。当点 p、q运动时，线段de的长度不会改变。【考点】 动点问题，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含30 度角的直角三角形的性质。【分析】（1）由 abc 是边长为6 的等边三角形，可知 acb=60 ，再由 bqd=30 可知qcp=90 ，设ap=x ，则 pc=6 x，qb=x ，在 rtqcp中， bqd=30 ， pc=12qc ，即 6x=12（6+x） ，求出 x 的值即可。（2）作 qf ab ，交直线ab的延长线于点f，连接 qe ，pf ，由点 p、q做匀速运动且速度相同，可知ap=bq ，再根据全等三角形

26、的判定定理得出ape bqf ，再由ae=bf ，pe=qf 且 pe qf ，可知四边形peqf是平行四边形，进而可得出eb+ae=be+bf=ab，de=12ab ，由等边 abc的边长为6 可得出 de=3，故当点p、q运动时，线段de的长度不会改变。7. （2012 湖北宜昌12 分） 如图，在平面直角坐标系中，直线y=33x+1 分别与两坐标轴交于 b， a两点， c为该直线上的一动点，以每秒1 个单位长度的速度从点a开始沿直线ba向上移动，作等边 cde ，点d和点 e都在 x 轴上，以点c为顶点的抛物线y=a（xm ）2+n经过点 em与 x 轴、直线ab都相切，其半径为3（ 1

27、3）a（1）求点 a的坐标和 abo的度数；（2）当点 c与点 a重合时，求a 的值；（3）点 c移动多少秒时，等边 cde 的边 ce第一次与m相切？精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 44 页 - - - - - - - - -【答案】 解： （1）当 x=0 时， y=1；当 y=0 时， x=3，oa=1 ， ob=3。a的坐标是（ 0，1） 。tan abo=oa13ob33。 abo=30 。（2） cde为等边三角形，点a（0，1） ，tan30=odoa，od=33。d 的坐标是（33， 0） ，e的坐标是（

28、33，0） ，把点 a（0，1） ，d（33，0） ，e（33，0）代入 y=a （xm ）2+n，得2221=am +n30=am+n330=am+n3，解得a=3m=0n=1。a= 3。（3）如图，设切点分别是q ，n，p，连接 mq ，mn ， mp ，me ，过点 c作 ch x轴， h为垂足，过a作 af ch ，f为垂足。cde是等边三角形， abo=30 ，bce=90 ， ecn=90 。ce ，ab分别与m相切， mpc= cnm=90 。 四边形mpcn 为矩形。mp=mn，四边形mpcn 为正方形。mp=mn=cp=cn=3（ 13）a（a0） 。ec和 x 轴都与m相切

29、， ep=eq 。nbq+ nmq=180， pmq=60 。 emq ，=30。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 44 页 - - - - - - - - -在 rtmep中，tan30=pepm，pe= （33）a。ce=cp+pe=3（ 13）a+（33）a= 23a。dh=he=3a，ch= 3a，bh= 33a。oh= 33a3，oe= 43a3。e（ 43a3，0） ，c（ 33a3， 3a） 。设二次函数的解析式为：y=a（x+33a+3）23a，e 在该抛物线上， a（43a3+33a+3）23a=0，得：

30、 a2=1，解之得a1=1，a2=1。a0，a= 1。af=23，cf=2 ，ac=4 。点 c移动到 4 秒时，等边 cde的边 ce第一次与m相切。【考点】 动点问题，二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，等边三角形的性质，直线与圆相切的性质。【分析】 （1）已知直线ab的解析式，令解析式的x=0，能得到a点坐标；令y=0，能得到b点坐标；在rtoab中，知道oa 、ob的长，用正切函数即可得到abo 的值。（2）当 c、a重合时，可知点c的坐标，然后结合oc的长以及等边三角形的特性求出 od 、oe的长，即可得到d、 e的坐标，利用

31、待定系数即可确定a 的值。（ 3）作出第一次相切时的示意图，已知的条件只有圆的半径，那么连接圆心与三个切点以及点e，首先能判断出四边形cpmn 是正方形，那么cp与m的半径相等，只要再求出 pe就能进一步求得c点坐标；那么可以从pe=eq ，即 rtmep入手，首先 ced=60 ，而mep= meq ，易求得这两个角的度数，通过解直角三角形不难得到pe 的长，即可求出pe及点 c、e的坐标然后利用c、e的坐标确定a 的值，从而可求出ac的长，由此得解。8. （2012 湖南常德10 分） 已知四边形abcd是正方形， o为正方形对角线的交点，一动点p从 b开始，沿射线bc运动，连结dp ，作

32、 cn dp于点 m ，且交直线ab于点 n，连结 op ，on 。 （当 p在线段 bc上时，如图1：当 p在 bc的延长线上时，如图2）（1）请从图 1，图 2 中任选一图证明下面结论：bn=cp ：op=on，且op on精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 44 页 - - - - - - - - - (2) 设 ab=4 ，bp=x ，试确定以o 、p、b、n为顶点的四边形的面积y 与 x 的函数关系。【答案】（1）证明：如图1，四边形abcd 是正方形，oc=ob，dc=bc ， dcb= cba=90 ，ocb=

33、 oba=45 ，doc=90 ，dc ab 。dp cn ， cmd= doc=90 。bcn+ cpd=90 ， pcn+ dcn=90 。 cpd= cnb 。dc ab ， dcn= cnb= cpd 。在 dcp和cbn中， dcp= cbn ，cpd= bnc ，dc=bc ，dcp cbn （ aas ） 。cp=bn 。在 obn和ocp中， ob=oc ，ocp= obn ， cp=bn ，obn ocp （ sas ） 。on=op，bon= cop 。bon+ bop= cop+ bop ，即 nop= boc=90 。on op 。（2）解： ab=4 ，四边形abcd

34、 是正方形，o到 bc边的距离是2。图 1 中，obnbopopbn11sss4x2x 240 x422四形（）（）边。以 o 、p、b、n为顶点的四边形的面积y 与 x 的函数关系是：240 x4y=1 xxx42（）（）。【考点】 正方形的性质，三角形外角性质，全等三角形的判定和性质，两线垂直的判定，多边形的面积的分解，函数解析式的确定，分段函数，点到直线的距离。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 44 页 - - - - - - - - -【分析】（1）对于图 1，证明线段相等，一般情况下找全等。根据bn，cp的分布情

35、况可以观察 cnb和dpc ，然后证明两三角形全等。也可以观察can和dbp ，证明an=bp ，从而有 bn=cp 。对于图 2，证明如下：abcd为正方形， ac ， bd为对角线， dcp=90o 。cm dp ，pcm= pdc 。 pdb= can 。又 dpb= anc ， bd=ac ， pdb nca （ asa ） 。pb=an ， dp=cn 。cp=bn 。 pdb= can ， od=oc， cp=bn ， pdo nco （ sas ） 。op=on，dop= con 。doc=90o ， pon= noc+poc=dop+ poc= doc=90o 。op on 。

36、（2）求以 o、p、b 、n为顶点的四边形的面积，则要把四边形分解为两个三角形去解决问题。图1 中， s四边形 opbn=sobn+sbop， ， ；图 2中， s四边形 obnp=spob+spbn，代入求出即可。9. （2012 湖南张家界10 分） 如图，o的直径 ab=4 ，c为圆周上一点，ac=2 ，过点 c作o 的切线 dc ，p点为优弧cba上一动点（不与ac重合） （1）求 apc与acd的度数；（2）当点 p移动到 cb弧的中点时，求证：四边形obpc 是菱形（3）p点移动到什么位置时，apc 与abc全等，请说明理由【答案】 解： （1）连接 ac ，如图所示：ab=4 ，

37、oa=o b=oc=12ab=2 。又ac=2 ，ac=oa=oc。 aco 为等边三角形。aoc= aco= oac=60 ，apc=12aoc=30 。又 dc与圆 o相切于点c，oc dc 。 dco=90 。acd= dco aco=90 60=30。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页，共 44 页 - - - - - - - - -（2）连接 pb ，op ，ab为直径， aoc=60 ， cob=120 。当点 p移动到弧cb的中点时， cop= pob=60 。cop和bop都为等边三角形。 ac=cp=oa=op

38、。四边形aopc 为菱形。（ 3）当点 p与 b重合时， abc 与apc重合，显然 abc apc 。当点 p继续运动到cp经过圆心时， abc cpa ，理由为：cp与 ab都为圆 o的直径， cap= acb=90 。在 rtabc与 rtcpa中， ab=cp ，ac=ac rtabc rtcpa （ hl ） 。综上所述， 当点 p与 b重合时和点p运动到 cp经过圆心时， abc cpa 。【考点】 切线的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，菱形的判定。【分析】 （1）连接 ac ，由直径 ab=4 ，得到半径oa=oc=2 ，又 ac=2 ，得到 a

39、c=oc=oa，即 aoc为等边三角形，可得出三个内角都为60，再由同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2 倍，得到 apc 为 30，由cd为圆 o 的切线，得到oc垂直于cd ，可得出 ocd 为直角，用ocd - oca可得出 acd的度数。（ 2）由 aoc为 60， ab为圆 o的直径，得到 boc=120 ，再由p为 cb 的中点，得到两条弧相等，根据等弧对等角，可得出 cop= bop=60 ， 从而得到 cop与bop都为等边三角形，可得出oc=ob=pc=pb，即四边形obpc 为菱形。（3）点 p有两个位置使 apc 与abc全等，其一： p与 b重合时，显然两三角形全等；第二

40、：当cp为圆 o的直径时，此时两三角形全等。10. （2012 江苏无锡10 分） 如图，菱形abcd的边长为2cm ，dab=60 点p从 a点出发，以cm/s 的速度，沿ac向 c作匀速运动；与此同时，点q也从 a点出发，以1cm/s的速度，沿射线ab作匀速运动当p运动到 c点时， p、q都停止运动设点p运动的时间为 ts （1）当 p异于 ac时，请说明pq bc ；（2）以 p为圆心、 pq长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t 为怎样的值时，p与边 bc分别有 1 个公共点和2 个公共点？精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1

41、6 页，共 44 页 - - - - - - - - -【答案】 解： （1）四边形abcd 是菱形，且菱形abcd 的边长为2，ab=bc=2 ，bac=12dab 。又 dab=60 ， bac= bca=30 。如图 1，连接 bd交 ac于 o 。四边形abcd 是菱形，ac bd ， oa=12ac 。ob=12ab=1 。oa=3， ac=2oa=23。运动 ts 后， ap=3t ，ao=t，apac=3aqab。又 paq= cab ， paq cab. apq= acb.pq bc.（2）如图 2，p 与 bc切于点 m ，连接 pm ，则 pm bc 。在 rtcpm中，

42、pcm=30 ， pm=13pc=3t22。由 pm=pq=aq=t ，即33t2=t ，解得 t=4 36，此时p 与边 bc有一个公共点。如图 3，p 过点 b ，此时 pq=pb ，pqb= paq+ apq=60 pqb为等边三角形。 qb=pq=aq=t。t=1。当4 36t1时，p 与边 bc有 2 个公共点。如图 4，p 过点 c ，此时 pc=pq ，即2 33t =t t=33。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 17 页，共 44 页 - - - - - - - - -当 1t 33时，p 与边 bc有一个公共点。当点

43、 p运动到点 c，即 t=2 时， q 、 b重合，p过点 b，此时，p与边 bc有一个公共点。综上所述，当t=4 36或 1t 33或 t=2 时，p 与菱形 abcd的边 bc有 1 个公共点；当4 36t1，则m1n，解出不等式组的解为10a2。若a0，则n1m。由题设，n0m2，解出不等式组的解为1a02。综上所述，数a 的取值范围为1a02，10a2和a0，此时，点e已在边 da延长线上，不合题意，舍去（实际上是无理方程的增根）。当22x2时， y=222225+22+4=2222，此时，点e在边 ad上，符合题意。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - -

44、- - - - - 第 23 页，共 44 页 - - - - - - - - -当22x2时，点 d关于直线 pe的对称点d落在边 ab上。【考点】 矩形的性质， 相似三角形的判定和性质，勾股定理， 折叠对称的性质，解无理方程。【分析】（1）cm=1 ， cp=x ，de=y ，dp=4 x，且 mcp pde ，dedpcpcm，即y4xx1。 y=x24x。（2）当点 e与点 a重合时， y=2，即 2=x24x，x24x2=0。解得x22。（3）过点 p作 ph ab于点 h，则由点 d关于直线pe的对称点d落在边ab上，可得 e da与dp h 相似，由对应边成比例得得关于x 的方程

45、即可求解。注意检验。14. （2012 江苏徐州8 分） 如图 1，a、b、c、d为矩形的四个顶点，ad=4cm ，ab=dcm 。动点 e、f 分别从点d、b出发，点e以 1 cm/s 的速度沿边da向点 a移动，点 f 以 1 cm/s 的速度沿边bc向点 c移动，点 f 移动到点c时， 两点同时停止移动。 以 ef为边作正方形efgh ，点 f 出发 xs 时，正方形 efgh 的面积为ycm2。已知 y 与 x 的函数图象是抛物线的一部分，如图 2 所示。请根据图中信息，解答下列问题：（1）自变量x 的取值范围是 ；（2）d= ， m= ，n= ；（3）f 出发多少秒时，正方形efgh

46、 的面积为16cm2？【答案】 解： （1）0 x4。（2） 3，2，25（3）过点 e作 eibc垂足为点i 。则四边形deic为矩形。ei=dc=3 ， ci=de=x。bf=x ，if=4 2x。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 24 页，共 44 页 - - - - - - - - -在 rtefi 中，22222efeiif342 x。y是以 ef为边长的正方形efgh 的面积，22y342 x。当 y=16 时，22342 x16，解得，124747xx22，。f 出发472或472秒时，正方形efgh 的面积为16cm2。

47、【考点】 动点问题，矩形的判定和性质，平行线间垂直线段的性质，勾股定理，解一元二次方程。【分析】（1）自变量x 的取值范围是点f 从点 c到点 b的运动时间，由时间=距离速度，即可求。（2）由图 2 知，正方形efgh 的面积的最小值是9，而正方形efgh 的面积最小时，根据地两平行线间垂直线段最短的性质，得d=ab=ef=3 。当正方形efgh 的面积最小时，由bf=de和 ef ab得， e 、f分别为 ad 、bc的中点，即m=2 。当正方形efgh的面积最大时，ef等于矩形abcd的对角线，根据勾股定理，它为 5，即 n=25。（3）求出正方形efgh的面积y 关于 x 的函数关系式，

48、即可求得f 出发472或472秒时，正方形efgh 的面积为16cm2。15. （2012 四川乐山13 分） 如图，在平面直角坐标系中，点a的坐标为（ m ， m ） ，点 b的坐标为（ n， n） ，抛物线经过a、o 、b三点，连接oa 、ob 、ab ，线段 ab交 y 轴于点 c已知实数 m 、n（m n）分别是方程x22x3=0 的两根（1）求抛物线的解析式；（2）若点 p为线段 ob上的一个动点（不与点o、b重合） ，直线 pc与抛物线交于d、e两点（点 d在 y 轴右侧），连接 od 、bd 当 opc为等腰三角形时，求点p的坐标；求 bod 面积的最大值，并写出此时点d的坐标精

49、品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 25 页，共 44 页 - - - - - - - - -【答案】 解： （1）解方程x22x3=0，得 x1=3，x2=1。m n，m= 1，n=3。a（ 1， 1） ，b（3， 3） 。抛物线过原点，设抛物线的解析式为y=ax2+bx。ab=19a3b=3，解得：1a=21b=2。抛物线的解析式为211y=x +x22。（2）设直线ab的解析式为y=kx+b。k+b=13k+b=3，解得：1k=23b=2。直线 ab的解析式为13y=x22。c 点坐标为（ 0，32） 。直线 ob过点 o（0， 0）

50、 ，b（3， 3） ，直线ob的解析式为y=x。opc为等腰三角形， oc=op或 op=pc 或 oc=pc 。设 p（ x， x） 。（i ）当 oc=op 时，229x +x=4，解得12323 2x =x =44，（舍去）。p1（3 23244，） 。（ii ）当 op=pc 时，点 p在线段 oc的中垂线上，p2（3344，） 。（iii）当 oc=pc 时，由2239x +x+=24，解得123x =x =02，（舍去）。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 26 页，共 44 页 - - - - - - - - -p3（332

51、2，） 。综上所述， p点坐标为p1（3 23244，）或 p2（3344，）或 p3（3322，） 。过点 d作 dg x轴，垂足为g ，交 ob于 q ，过 b作 bh x轴，垂足为h设 q（x， x） ，d（x，211x +x22） sbod=sodq+sbdq=12dq?og+12dq?gh=12dq （og+gh）=2111x+x +x3222=23327x+4216。0 x3，当3x=2时， s取得最大值为2716，此时 d（3328，） 。【考点】 二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，解一元二次方程，等腰三角形的性质，二次函数的最值。【分析】（1）首先解方程得

52、出a ，b两点的坐标，从而利用待定系数法求出二次函数解析式即可。（2）首先求出ab的直线解析式， 以及 bo解析式， 再利用等腰三角形的性质得出当 oc=op 时，当 op=pc 时，点 p在线段 oc的中垂线上，当oc=pc 时分别求出x 的值即可。利用 sbod=sodq+sbdq得出关于x 的二次函数，从而得出最值即可。16. （2012 四川攀枝花12 分） 如图，在平面直角坐标系xoy 中，四边形abcd是菱形，顶点 acd均在坐标轴上，且ab=5 ，sinb=45（1）求过 acd三点的抛物线的解析式；（2）记直线 ab的解析式为y1=mx+n， （1）中抛物线的解析式为y2=ax

53、2+bx+c，求当 y1y2时，自变量 x 的取值范围；（3）设直线ab与（ 1）中抛物线的另一个交点为e，p点为抛物线上ae两点之间的一个动点，当p点在何处时， pae 的面积最大？并求出面积的最大值精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 27 页，共 44 页 - - - - - - - - -【答案】 解： （1）四边形abcd 是菱形，且ab=5 ，ab=ad=cd=bc=5， sinb=sind=45。在 rtocd中，oc=cd?sind=4， od=3 ，oa=ad od=2 。a（ 2，0） 、 b（ 5，4） 、c（0，4）

54、 、d（3，0） 。设抛物线的解析式为：y=a（x+2） （x3） ，将 c （0，4）代入得：2（ 3）a=4，解得 a=23。抛物线的解析式为y=23（ x+2） （x3）222x +x+433。（2）由 a（ 2，0） 、b（ 5，4）得直线ab ：148yx33。由（ 1）得：2222yx +x+433，则：248yx3322yx +x+433，解得：11x2y0，22x528y3。由图可知：当y1y2时， 2x5。（ 3）spae等于 ae和 ae上高乘积的一半，当在抛物线上ae两点之间， p到直线 ab的距离最大时，spae最大。若设直线lab ，则直线l 与抛物线有且只有一个交点

55、时，该交点为点p 。设直线 l：4yx+b3，当 直 线l 与 抛 物 线 有 且 只 有 一 个 交 点 时 ，2422x+bx +x+4333，且 =0。由2422x+bx +x+4333化简，得精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 28 页，共 44 页 - - - - - - - - -22x6x+3b120，2=6423b1224b+132=0，解得， b=112。且24x12x+90，解得3x=2。直线 l：411yx+32。点 p（3722，）。由（ 2）得： e（5，283），则直线pe ：11yx+93。设直线 pe与 x

56、 轴交于点f，则点 f（2711，0）， af=oa+of=4911。pae的最大值：paepafaef149287343sss2113212（）。综上所述，当p （3722，）时， pae的面积最大，为34312。【考点】 二次函数综合题，菱形的性质，锐角三角函数定义，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，直线与抛物线的交点，平行线的性质，一元二次方程根的判别式。【分析】 （1）由菱形 abcd 的边长和一角的正弦值，可求出 oc od oa的长，从而确定 a cd三点坐标，通过待定系数法可求出抛物线的解析式。（2）首先由a b的坐标确定直线ab的解析式，然后求出直线ab与抛物线解析式的两

57、个交点，然后通过观察图象找出直线y1在抛物线y2图象下方的部分。（3）该题的关键点是确定点p的位置： pae 的面积最大，那么ae上的高最大，即点 p离直线 ae的距离最远， 那么点 p为与直线ab平行且与抛物线有且仅有的唯一交点。根据一元二次方程根的判别式=0求解即可。17. （ 2012 四川广元12 分）如图，在矩形 abco 中，ao=3 ，tan acb=34，以 o为坐标原点，oc为 x 轴， oa为 y 轴建立平面直角坐标系。设d，e分别是线段ac ，oc上的动点，它们同时出发，点 d以每秒 3 个单位的速度从点a向点 c运动， 点 e以每秒 1 个单位的速度从点c向点 o运动，

58、设运动时间为 t 秒。（1）求直线ac的解析式；精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 29 页，共 44 页 - - - - - - - - -（2）用含 t 的代数式表示点d的坐标；（3）当 t 为何值时， ode为直角三角形？（4）在什么条件下， 以 rtode的三个顶点能确定一条对称轴平行于y 轴的抛物线？并请选择一种情况，求出所确定抛物线的解析式。【答案】 解： （1）根据题意，得co=ab=bc?tanacb=4 ，a（ 0，3） 、b（4，3） 、c（4，0） 。设直线 ac的解析式为：y=kx+3，代入 c点坐标，得： 4k+

59、3=0，k=34。直线 ac ：y=34x+3。（2）分别作df ao ，dh co ，垂足分别为f，h，则有 adf dch aco 。ad ： dc ：ac=af ：dh ： ao=fd ： hc ：oc ，而 ad=3t（其中 0t 35） ，oc=ab=4 ，ac=5 ，fd=412adt55，af=39adt55，dh=93t5，hc=124t5。d（12t5，93t5） 。（3）ce= t ，e（t ，0） ，oe=oc-ce=4- t，he=|ch-ce|=12t17t(4)t455，则 od2=dh2+oh2=2229t12t54(3)() =9tt9555，de2=dh2+h

60、e2=2229t17t74(3)(4) =t38t25555。当ode为直角三角形时，有od2+de2=oe2，或 od2+oe2=de2，或 de2+oe2=od2，即2225474(9tt9)(t38t25)(4t)55，精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 30 页，共 44 页 - - - - - - - - -或2225474(9tt9)(4t)t38t2555，或2227454(t38t25)(4t)9tt955，上述三个方程在0t 35内的所有实数解为12341520tt1t0t1917，。（4）当 do oe ，及 de o