回归迁移优化发展

1、    回归迁移优化发展    钱德春解题，无论对发展思维能力，还是提升应试水平都有着不可替代的作用.如何发挥解题的教学价值，通过问题的探究与解决，让学生思维上通下达、左关右联？笔者以为，必须抓住四个关键词：回归、迁移、优化、发展.本文拟从一道几何填空题的探究与解答、迁移与推广的过程，谈谈笔者关于解题教学的启示与思考.图1源问题如图1，ab=4，o为ab的中点，o的半径为1，p是o上一动点，以pb为直角边的等腰直角三角形pbc（点p、b、c按逆时针方向排列），则线段ac的长的取值范围为.1探究与解答由于源问题中a是定点，故ac长度的范围由点c位置的变化而

2、决定，问题的焦点是点c如何变化.解决线段长度范围的最大值最小值问题最常见的有代数法与几何法两种思路.代数法将线段表示成某一变量的函数，由这个变量的范围确定这条线段的范围（即由定义域确定值域）.具体到本题，能否将线段ac的长表示成某一变量的函数，关键是看能否找到ac与图形中某些变量之间的数量关系.结合题干中“等腰直角三角形”的条件和几何中求线段长度的常用方法，考虑构造直角三角形，利用勾股定理来建立数量关系.解答1如图2，当点p在ab上方时，过点p作pfab于f，过c分别作chab于h，cepf于e.设ec=fh=pf=x，ep=fb=y，则ch=ef=x+y，hb=y-x.ah=4-（y-x）.

3、在rtach中，ac2=ch2+ah2=（x+y）2+（4-y+x）2=2x2+2y2+8x-8y+16，又of=|ob-fb|=|2-y|，所以x2+（2-y）2=1，即x2+y2-4y=-3，所以ac2=8x+10.当x=0时acmin=10；当x=1时acmax=18=32.同理，若p在ab的下方时，ac2=10-8x，当x=0时acmax=10，x=1时acmin=2，所以2ac32.几何法初中几何中求线段长度范围的相关方法有：（1）若任意3个点中，两两间的距离分别为a、b、c，则a的范围为|b-c|ab+c（a、b、c可轮换）；（2）平面内一点p到图形l上各点的连线段：当图形l是线段

4、ab时，连接点p与线段l上各点xa（与点a重合）、x1、x2、xb（与点b重合）的线段，设pxapxb，过点p作线段ab所在直线的垂线，垂足为x0.则px的范围分两种情况：（）若x0不在线段ab上（如图3），有pxbpxpxa；（）若x0在线段ab上（如图3），有px0pxpxa.当图形l为o时（如图3），o交线段po于点a，交线段po延长线于点b，则papxpb.同理，结论可以推广到任意封闭曲线或包含两端点的连续曲线（如图3），此类问题超出初中范围，不在本文研究之列.图3源问题如何探究？由于a是定点，点c随着点p的运动具有不确定性，求ca的范围的关键是点c的变化特征.这里就需要画图尝试：作出

5、符合条件的一些点，由点c是否在一条直线上来判断属于图3中的哪一种情形.图4如图4，画图发现：c1、c2、c3、这些点不在同一直线上，故考虑这些点是否在某个圆上.如果是，那么圆心位置、半径大小如何？由画图初步判定：圆心m在ab的垂直平分线上，遂再思考mob与动态cpb在形状、大小方面有无联系，于是作大胆猜想：mobcpb！如图5，过点o作ab的垂线l，在l上截取mo=ob，则mob、cpb都为等腰直角三角形，易证bmcbop，所以有cmpo=bmbo=2，所以cm=2po=2.至此，问题迎刃而解.解答2由分析可知：点c在以m为圆心、2为半径的圆上.如图5，直线am与m有两个交点c1、c2，因此，

6、当c处于c1时ac最短为2，处于c2时ac最长32，故2ac32.问题也可直接由|am-cm|acam+cm解决.如图5，cm=2，而am=22，所以|am-cm|acam+cm，即22-2ac22+2，故2ac32.图5我们知道，刻画图形数量特征的有效载体之一是直角坐标系，源问题还可以通过建立直角坐标系来解决.但在表示线段数量关系时，无论是构造三角形用勾股定理，还是置于直角坐标系中解决，都需要根据点p、c的位置变化而分类讨论，过程比较繁琐.而解法2不需要考虑分类，对于点p、c的任意位置都适用，更具有一般意义.2迁移与推广如图5，源问题中，由两个等腰直角三角形mob、cpb相似得到bmcbop

7、，进而解决问题.这让笔者联想到苏科版教材九年级下册164探索相似三角形的条件的两个例题（为了方便说明，笔者将教材中的图形和字母进行了统一）：图6第58页的例4：如图6，点d在abc内，点e在abc外，1=2，3=4，dbe与abc相似吗？为什么？第60页的例5：如图6，d是四边形abec内一点，且abbd=acde=bcbe.（1）1与2相等吗？为什么？（2）判断abd与cbe是否相似，并说明理由.笔者将教材例题图形称为“位似旋转”型相似：将abc（如图7）以点b为位似中心缩（放）至fbg（如图7），再将fbg绕点b旋转至dbe（如图7），abc与dbe如图7所示，连接ec、ad可证得abd与

8、cbe相似.事实上，在abc与dbe、abd与cbe这两对三角形中，只要有一对相似，另一对必然相似，这是经典的基本图形模型.教材在三角形相似两个判定定理的例题中都用了这个模型，可见其重要性.图7回头再来看源问题，所构造的三角形与原动态三角形之间具有“位似旋转”的位置关系，这两对三角形都是特殊三角形，而课本例题的条件与结论都是对任意三角形而言的.此外，条件中的“o是ab的中点”也具有特殊性.于是，笔者思考：源问题可否进行一般性推广呢？ 思考1将源问题条件中的“等腰rtpbc”改为任意直角三角形，可以求ac的范围吗？图8如图8，rtpbc中，pcpb=k1，ab=2a，o半径为r，其他条件不变，求

9、ac的范围.仿源问题几何法，以线段bo为一边作obmbpc，则有mobo=cpbp=k，所以mo=kbo=ka.由obmpbc得mbo=cbp、mbcb=obpb，所以cbm=pbo，mbob=cbpb，所以cbmpbo，所以cmpo=cbpb=k2+1，故cm=k2+1r，而am=mb=k2+1a，由|am-cm|acam+cm，得|k2+1a-k2+1r|ack2+1a+k2+1r，即|ar|k2+1ac（a+r）k2+1.思考2将源问题条件中的“o为ab中点”改为“o为线段ab上任意一点”，结论又如何呢？如图9，ao=a，bo=b，o的半径为r，其他条件不变，求ac的范围.图9仿源问题几

10、何法，以线段bo为直角边作等腰rtobm，则有obmpbc，易证cbmpbo，所以cmpo=mbob=2，所以cm=2po=2r.在rtaom中，am=a2+b2，由|am-cm|acam+cm，得|a2+b2-2r|aca2+b2+2r.思考3源问题可否进行更一般的推广呢？如o为线段ab上任意一点，bpc为任意三角形，源问题的结论又如何？如图10，o为线段ab上任意一点，ao=a，bo=b，以r为半径作o，p为o上一动点，以pb为一边作bpc（b、p、c位置按顺时针顺序），使pbbccp=mnt，能确定ac的范围吗？图10问题的关键是能否找到定点m与定长cm？如图10，仿照上述方法，以线段b

11、o为一边作bombpc，则有moob=cppb，cbmpbo，所以mob=cpb，cmpo=cbpb.从而有下列结论：由cmpo=cbpb得cm=cb·popb=nrm；由moob=cppb得mo=cp·obpb=tbm；由于bpc三边比确定，所以mob=cpb确定，所以moa=180°-cpb确定.综上，在aom中，cm=nrm，mo=tbm，moa一定，故am长为定值（运用高中余弦定理可求）.设求得的am长为k，由|am-cm|acam+cm，得|k-nrm|ack+nrm.由此可见：本题结论可以推广到更一般的情形.3启示与思考经历问题的探究与解答、迁移与推广

12、过程，笔者得到许多启示，也引发一些思考：解题教学要强化教材内涵与数学本质的回归、知识经验与活动经验的迁移，力求解题策略与思想方法的优化、问题潜能与数学思维的发展，以实现学生数学核心素养的形成.3.1回归教材内涵与数学本质俗话说：万变不离其宗，数学的“宗”就是基本概念、通性通法.解题教学要强化“回归”意识，引导学生将解题思路回到通性通法、回归教材.源问题通过画图初步感知图形的变与不变，再将问题从动态向静态转化、思路从模糊向清晰转化、策略从定性向定量转化，就是回归通性通法；教材为何高频选用“位似旋转”型例题，正缘于其方法的典型性、应用的广泛性.课堂教学要重视教材例习题的的作用，引导学生回归课本和知

13、识本源，从数学教材中探“源”问题的源头与原型，充分挖掘教材例题的教学价值；从数学本质上寻“宗”揭示问题与教材、问题与问题之间的内在联系，深入浅出地开展教学活动.3.2迁移知识经验与活动经验国家从战略层面提出了“核心素养体系”的概念，核心素养“不是知识和技能，而是获取知识的能力2.”如何获取知识？由已有认知、经验迁移获取新知就是一种重要的方式.一是基本思路经验的迁移，如求线段长度的范围常用方法源于各种方法的不断积累；二是直观操作经验的迁移，通过画图发现符合条件的c点不在同一直线上，继续取点发现看似围成一个圆，而且圆心位置在ab垂直平分线上；三是策略判断经验的迁移，如由题干的“等腰直角三角形”、“

14、o为ab中点”等条件作出“构造等腰直角三角形”的策略判断；四是数学知识经验的迁移，由两个图形具有“位似旋转”的位置关系，联想到课本例题由“一对位似旋转相似三角形”得到另外一对三角形相似，从而尝试将问题进行一般性推广.3.3优化解题策略与思想方法解题的过程就是数学的方法、策略和思想不断积累、反思与优化的过程.本题分别运用了代数法与几何法，由“中点”、“等腰直角三角形”等条件，进而构造图形寻找数量关系，直指代数法，但代数法的局限性也显而易见：一是ac2的表达式是含有x、y的二次式，通过整体代换转化为关于x的一次式，如何转化对解题者是一种心理考验；二是这里的代数法依赖“等腰rtpbc”和“o为ab中

15、点”等特殊条件，将条件弱化或退化，代数法就显得力不从心；三是由构造直角三角形找数量关系需根据图形位置分类，也是难点.而运用位似加旋转的几何法，可以通过“从特殊到一般”的问题解决过程，实现解题策略的优化与数学思想的飞跃.3.4发展探究潜能与数学思维著名的数学家希尔伯特说过：“一个问题的解决意味着一系列新的问题的诞生.当我们解题成功时，不要忘记提出新的问题，因为还有许多宝藏尚未开发出来.”对于源问题，可以从两个方面开发“宝藏”：一是问题的发展性开发；二是数学思维的生长.源问题蕴含着多向的问题发展性和丰富的思维发展性，比如pbc由“等腰直角三角形”退化为“任意直角三角形”再退化为“任意三角形”；圆心o由“线段ab中点”退化为“线段ab上任意一点”等.问题的这种发展是隐性的、潜在的，教师要以敏锐的视角引导学生去挖掘与探究，让学生的数学认知下抵数学知识、上达思维“高地”.或许有人会质疑：思考3有探究的必要吗？笔