解向量的概念课件

1、解向量的概念解向量的概念设有齐次线性方程组设有齐次线性方程组 000221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa若记若记（1）,aaaaaaaaaAmnmmnn 212222111211 nxxxx21则上述方程组（则上述方程组（1）可写成向量方程）可写成向量方程.Ax0 1212111nnx,x,x 若若为方程为方程 的的0 Ax解，则解，则 121111nx 称为方程组称为方程组(1) 的的解向量解向量，它也就是向量方程，它也就是向量方程(2)的解的解齐次线性方程组解的性质齐次线性方程组解的性质（1 1）若）若 为为 的解，则的解，则 21 x

2、,x0 Ax21 x0 Ax也是也是 的解的解. .证明证明 02121 AAA0021 A,A.Axx的解的解也是也是故故021 （2 2）若）若 为为 的解，的解， 为实数，则为实数，则 也是也是 的解的解1 x0 Axk1 kx 0 Ax证明证明 .kkAkA0011 由以上两个性质可知，方程组的全体解向量由以上两个性质可知，方程组的全体解向量所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的，所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的，因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线性方程组性方程组 的的解空间解空间0 Ax证毕证毕.如果如果解系解系的基础的基础

3、称为齐次线性方程组称为齐次线性方程组,0 , 21 Axt ; 0,)1(21的的解解的的一一组组线线性性无无关关是是 Axt .,0)2( 21出出线线性性表表的的任任一一解解都都可可由由tAx 基础解系的定义基础解系的定义的的通通解解可可表表示示为为那那么么的的一一组组基基础础解解系系为为齐齐次次线线性性方方程程组组如如果果0 AxAxt,0,21 ttkkkx 2211.,21是任意常数是任意常数其中其中rnkkk 线性方程组基础解系的求法线性方程组基础解系的求法 00001001,1, 111rnrrrnbbbbA设齐次线性方程组的系数矩阵为设齐次线性方程组的系数矩阵为 ，并不妨，并不

4、妨设设 的前的前 个列向量线性无关个列向量线性无关r于是于是 可化为可化为AAA00000100121,1, 111 nrnrrrnxxxbbbb nrn ,rrrrnrn ,rxbxbxxbxbx11111110 Ax现对现对 取下列取下列 组数：组数：nrx,x1 rn nrrxxx21 nrn ,rrrrnrn ,rxbxbxxbxbx1111111分分别别代代入入., 100, 010, 001依次得依次得 rxx1,bbr 0011111 ,0102122 rbb .bbrn,rrn,rn 1001 从而求得原方程组的从而求得原方程组的 个解：个解：rn .bb,rn,rrn, 1,

5、bbr 212,bbr 111,下面证明下面证明 是齐次线性方程组解空是齐次线性方程组解空间的一个基间的一个基rn, 21 100,010,001由于由于 个个 维向量维向量rn rn 线性无关，线性无关，所以所以 个个 维向量维向量 亦线性无关亦线性无关.rn nrn, 21.,)1(21线线性性无无关关证证明明n .,2)( 21线线性性表表示示可可由由证证明明解解空空间间的的任任一一解解都都rn .11方方程程组组的的一一个个解解为为上上述述设设Tnrrx ,rn的的线线性性组组合合再再作作 21rnnrr 2211由于由于 是是 的解的解 故故 也是也是 的的解解.rn, 210 Ax

6、 0 Ax,. 下面来证明下面来证明 0011111rrbb 0102122rrbb 1001rn , rrn ,nbb rnnrr 2211 nrrrcc 211,Ax的的解解都都是是方方程程与与由由于于0 又又等等价价于于而而0 Ax nrnrrrrnrnrxbxbxxbxbx,11, 11111,都都是是此此方方程程组组的的解解与与所所以以 nrrrcc 211 nrrr 211由由.c,crr 11方方程程组组. 故故.rnnrr 2211即即 所以所以 是齐次线性方程组解空间的一个基是齐次线性方程组解空间的一个基.rn, 1说明说明解空间的基不是唯一的解空间的基不是唯一的解空间的基又

7、称为方程组的解空间的基又称为方程组的基础解系基础解系.kkkxrnrn 2211若若 是是 的基础解系，则的基础解系，则其其通解通解为为 rn, 210 Ax.,21是任意常数是任意常数其中其中rnkkk 定理定理1 1.,)(,0 rnSrARSxAnnmnm 的的维维数数为为解解空空间间时时当当系系数数矩矩阵阵的的秩秩是是一一个个向向量量空空间间构构成成的的集集合合的的全全体体解解所所元元齐齐次次线线性性方方程程组组);0,(,)( 维向量空间维向量空间为为向量向量此时解空间只含一个零此时解空间只含一个零系系故没有基础解故没有基础解方程组只有零解方程组只有零解时时当当nAR .,)(111

8、1221121RkkkkxSkkkkkxrnnrARrnrnrnrnrnrnrn 解空间可表示为解空间可表示为为任意实数为任意实数其中其中方程组的解可表示为方程组的解可表示为此时此时基础解系基础解系个向量的个向量的方程组必有含方程组必有含时时当当例例1 1 求齐次线性方程组求齐次线性方程组 0377, 02352, 0432143214321xxxxxxxxxxxx的基础解系与通解的基础解系与通解.解解,0000747510737201137723521111 A对系数矩阵对系数矩阵 作初等行变换，变为行最简矩作初等行变换，变为行最简矩阵，有阵，有A .7475,7372432431xxxxx

9、x 便得便得,100143 及及令令xx,7473757221 及及对对应应有有xx,107473,01757221 即得基础解系即得基础解系).,( ,10747301757221214321Rccccxxxx 并由此得到通解并由此得到通解例例2 2 解线性方程组解线性方程组 076530230553203454321543215432154321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx解解 76513123115531234111A对系数矩阵施对系数矩阵施行初等行变换行初等行变换 00000000001311034111 ,rn,n,rAR352 即方程组有无穷多解，即方程组有无穷多解，

10、其基础解系中有三个线性无关的解向量其基础解系中有三个线性无关的解向量. 543254321334xxxxxxxxx代代入入 26220262201311034111 543xxx令令, 010, 001. 100所以原方程组的一个基础解系为所以原方程组的一个基础解系为, 001121 故原方程组的通解为故原方程组的通解为.kkkx332211 .k,k,k为为任任意意常常数数其其中中321,xx 1221依依次次得得. 12, 31, 010312 . 100123 例例3 3).()(ARAART 证证明明证证.,维维列列向向量量为为矩矩阵阵为为设设nxnmA ; 0)(, 0)(, 0 x

11、AAAxAAxxTT即即则则有有满满足足若若 . 0, 0)()(, 0)(, 0)( AxAxAxxAAxxAAxTTTT从而推知从而推知即即则则满足满足若若 ,0)(0同解同解与与综上可知方程组综上可知方程组 xAAAxT).()(ARAART 因因此此.0,1)( 2121的解的解为对应的齐次方程为对应的齐次方程则则的解的解都是都是及及设设 AxxbAxxx 证明证明 . 021 bbA . 021 Axx满满足足方方程程即即 bAbA 21, 非齐次线性方程组解的性质非齐次线性方程组解的性质证明证明 AAA ,0bb .的解的解是方程是方程所以所以bAxx 证毕证毕.,0,2)( 的的

12、解解仍仍是是方方程程则则的的解解是是方方程程的的解解是是方方程程设设bAxxAxxbAxx .11 rnrnkkx其中其中 为对应齐次线性方程为对应齐次线性方程组的通解，组的通解， 为非齐次线性方程组的任意一个特为非齐次线性方程组的任意一个特解解.rnrnkk 11 非齐次线性方程组的通解非齐次线性方程组的通解非齐次线性方程组非齐次线性方程组Ax=b的通解为的通解为与方程组与方程组 有解等价的命题有解等价的命题bAx ;, 21线线性性表表示示能能由由向向量量组组向向量量nb ;,2121等等价价与与向向量量组组向向量量组组bnn .,2121的的秩秩相相等等与与矩矩阵阵矩矩阵阵bBAnn 线

13、性方程组线性方程组 有解有解bAx 线性方程组的解法线性方程组的解法（1 1）应用克莱姆法则）应用克莱姆法则（2 2）利用初等变换）利用初等变换特点：只适用于系数行列式不等于零的情形，特点：只适用于系数行列式不等于零的情形，计算量大，容易出错，但有重要的理论价值，可计算量大，容易出错，但有重要的理论价值，可用来证明很多命题用来证明很多命题特点：适用于方程组有唯一解、无解以及有特点：适用于方程组有唯一解、无解以及有无穷多解的各种情形，全部运算在一个矩阵（数无穷多解的各种情形，全部运算在一个矩阵（数表）中进行，计算简单，易于编程实现，是有效表）中进行，计算简单，易于编程实现，是有效的计算方法的计算

14、方法例例4 4 求解方程组求解方程组 .2132, 13, 0432143214321xxxxxxxxxxxx解解:施施行行初初等等行行变变换换对对增增广广矩矩阵阵B 2132111311101111B,00000212100211011 并并有有故故方方程程组组有有解解可可见见, 2)()( BRAR .212,2143421xxxxx , 042 xx取取,2131 xx则则即得方程组的一个解即得方程组的一个解.021021 取取中中组组在在对对应应的的齐齐次次线线性性方方程程,2,43421 xxxxx ,100142 及及xx,210131 及及则则xx程组的基础解系程组的基础解系即得

15、对应的齐次线性方即得对应的齐次线性方,1201,001121 于是所求通解为于是所求通解为).,( ,0210211201001121214321Rccccxxxx .123438,23622, 2323, 75432154325432154321xxxxxxxxxxxxxxxxxxx解解 12134382362120231213711111B例例5 5 求下述方程组的解求下述方程组的解 0000000000002362120711111 .,知知方方程程组组有有解解由由BRAR , 3, 2 rnAR又又所以方程组有无穷多解所以方程组有无穷多解.且原方程组等价于方程组且原方程组等价于方程组

16、236227543254321xxxxxxxxx求基础解系求基础解系.100,010,001543 xxx 令令依次得依次得.32,10,212121 xx 236227543254321xxxxxxxxx代入代入.10032,01010,0012121321 求特解求特解.223,29, 021543 xxxxx得得令令所以方程组的通解为所以方程组的通解为故得基础解系故得基础解系.0002232910032000100012121321 kkkx.,321为为任任意意常常数数其其中中kkk另一种解法另一种解法 12134382362120231213711111B 0000000000002

17、362120711111 00000000000022331211029202101则原方程组等价于方程组则原方程组等价于方程组 223321292215432531xxxxxxx 5544335432531223322922xxxxxxxxxxxxx所以方程组的通解为所以方程组的通解为.0002232910032010100012121321 kkkx.,321为为任任意意常常数数其其中中kkk齐次线性方程组基础解系的求法齐次线性方程组基础解系的求法 000010011111rn ,rrrn ,bbbbA（1）对系数矩阵）对系数矩阵 进行初等变换，将其化为进行初等变换，将其化为最简形最简形A

18、 nrn ,rrrrnrn ,rxbxbxxbxbxAx11111110由于由于令令.,xxxnrr 10001000121（2）得出）得出 ，同时也可知方程组的一，同时也可知方程组的一个基础解系含有个基础解系含有 个线性无关的解向量个线性无关的解向量 rAR rn ,bbr 0011111 ,bbr 0102122 .bb,rn ,rrn ,rn 1001 故故,bb,bb,bbxxrn ,rrn ,rrr 12121111得得为齐次线性方程组的一个基础解系为齐次线性方程组的一个基础解系.有解有解0 Ax nAR 个解向量个解向量此时基础解系中含有此时基础解系中含有ARn nBRAR nBRAR .有有无无穷穷多多解解bAx BRAR .无无解解bAx .有唯一解有唯一解bAx 线性方程组解的情况线性方程组解的情况 满满足足的的三三个个解解向向量量方方程程组组如如果果非非齐齐次次