概率论与随机过程课程论文

1、浅析二阶模糊随机过程均方henstockstieltjes积分摘要:定义了二阶模糊随机过程均方henstockst iehjes积分，并探究了其部分性质。同时对二阶二阶模 糊随机过程均方henstockst iehjes积分的一个收敛定理和可导性做了简单研究。关键词：二阶模糊随机过程；henstock积分；均方henstock积分1引言在现实牛活中存在大量既具有随机性又具有模糊性的不确定性现彖，这些现彖被称为 模糊随机现象.许多人们感兴趣的模糊随机现象往往是通过积分、导数和微积分方程等数 学形式出现的，这就为研究描述模糊随机现彖的模糊随机过程以及模糊随机微积分提供了 实际背景.文献1比较系统地

2、研究了一类模糊随机过程的均方微积分.如同实值过程的均 方微积分，模糊随机过程的均方微积分亜要性在于简单实用，不涉及很深的随机分析理 论.众所周知，经典牛顿积分与黎曼积分互不包含，虽然勒贝格积分包含了黎曼积分，但 也不包含牛顿积分。henstock积分不仅包含牛顿积分、黎曼积分和勒贝格积分，而且不需 要测度理论支持，便于应川科学工作者和工程研究人员很快地掌握并应川到他们的实际研 究中去.本文讨论一类模糊随机过程的均方henstock积分及其基本性质，使文献1中的 结果为本文的特例，推广了其结果.文中第一部分対实值henstock枳分、模糊数空间以及 关于模糊随机变量的i?空间筹预备知识作了介绍，

3、第二部分给出了二阶模糊随机过程均方 hcnstock积分的定义并对其基本性质等进行了讨论，第三部分则对二阶模糊随机过程均方 hcnstock积分的收敛定理和可导性做了简单讨论。2预备知识定义1(参阅文献)设d(x)> 0是区间azb±一实值，a,b的一个划分冷1心旳心1,2丄/称为心)细分(细的划分,简称细分),如果下列条件成立:(1) a = v x v 七 v l < xtl = b ； xj xj. !，xj (x,.- d(x,),x. + d(x,),z= 1,2,l，其中齐称为分点,x,称为坷召的关联点。引理1(1)给定a,b±函数d(x)>

4、0,那么a,b的心)细分p总是存在的。(2) 设0< dj(x) 2(兀)，则b，b的任意d)(x)细分也是4(兀)细分。(3)设口是定义在a,c上的止实值函数，4(兀)是定义在c,b上的止实值函数，令i' mindj(x),c- x,x a,c)min (x),d2cv),x= cmind2(x),x- c,x (c,b对于任意d(q细分，如果c不是关联点，那么c总是一个分点。证明：(1)的证明见文献的引理2.1.(2)设a,b上任意 氐兀)细分 d=1,2,l ,n,则对 x ：曲有,xz - r,-., < dj(x-) 2(x,),r,- x- < dx,)2

5、(xj，所以有xz tj. !，r, j (xz (x-),x, + do(x/),因此as)细分也是细分。(3)设zy. pfjjxpi = 1,2,l ,是a,b的任意d(x)细分，设c不是一个分点,则必存 在d中某个区间包含c,不妨设"/,切。c不是关联点，所以c 若oxz,则 tj - xj > c- xj,另由 ck.r)定义知此时 d(x/.)= min d(x,),c- x, ,又由 tt - x, < d(x,),得 xf < c- xj,才炳'。若c< d(x,),类似可证得x厂th < x,c ,才厉。所以，c点一定 是分点。

6、定义2 (参阅文献)实值函数于 称为a,b± henstock可积的(简称h可积)，如果 存在常数a,对每个e> 0 ,都存在一个函数d(x)> 0 ,对a,b的任意d(x)细分 p = 兀卜,兀,；x/,i = 1,2,l ,m,有3 f(x；)(%/ xj_ |)- ave。i=注：如果上述定义中的d(x)为常值函数，那么h积分即为黎曼积分。由牛顿积分的定义, 易证牛顿可积的实值函数也是h可积的(见文献屮定理2)o由文献2屮定理5.7知如 果实值函数于(兀)在a,b±勒贝格可积,则其在a,b± h可积。模糊数空间ed = u : rd 0,1i,w

7、满足下面的(1)(4： (1) u杲正规模糊集；(2)u是模糊凸的；(3) u是上半连续的；(4) w°= x?/?</l«(x)0是紧集。设ed ,u的r 一水平集定义为ur = xrdu(x) r(0< r 1),在e”上定义距离d(w,v)= sup d(urm)o (e“，d)是一完备度量空间。0 r 1设(wa,p)是一完备的概率空间。borel可测函数x ：wa) (e,d)称为模糊随机变 量(简记为f.r.vjo如果e|x|< ，则x的期望值ex存生，且exr= exr对所有昇0,1 成立。设z?二xix是-灿e|xv 。对任意x,y l2,

8、定义z?上的距离如下： r(x,y)=(eq2(x,y#。对任何 x,y,zim2, r ,有r(x + z,y+ z)= r(x,y),r(lx,l y)= |l |r(x,y),r(x,y) (x,z)+ r(y,z).定理1设(xw)(zi3 0是l_2中序列，则下列条件等价：i3(1) xi l2,并hxn® x ,即 r(x”x) 0；(2) (x“)(“3】)是l?屮一个柯西序列，即当加,/7时，有r(xmx,j 0；0p(3) (|出/3 1)致可积且d(x“,x)®(),即xn以概率收敛到f.r.v.x.由定理1可见，(厶2,r)是一完备的距离空间。2二阶模

9、糊随机过程均方henstockstiehjes积分的定义及部分 性质以下给出二阶模糊随机过程均方henstockstiehjes积分的定义.定义3设x(/)是定义在a,b上的二阶模糊随机过程，g(f)是b上的实值函数，若对ne> 0,$尺度函数d(/)> 0,使得对a,b上的任意d精细划分丁=也切;x门心1,2丄/,br(sb x(7)dg(r)ve, an其 >psr= a x(xj 也 4) go，则称 x 在a,b± 关于 g(/)均方 h enstock-stieltjes 可/-1积。均方henstock积分的性质：定理2x(/)是均方h可积的，则枳分值是

10、唯一的。证明：设有两个积分值x o，x$,由定义知，任意给定的e> 0,存在d,(x)>0和4(切>0,对任意q(x)细分卩和(%)细分a，有r(s“,x0)< -和r(5w,x(q v空，其屮s”和匚分别2 2细分d和细分q上的黎曼和。令d(x)= min金(兀)，4(切,对任意cu)细分d,山引理1知，d既是q(x)细分也是(x)细分。因此对细分d的黎曼和sk ,有r(x°,x()(x°,sj+ r(s.,x0)< e山e的任意性可知积分值唯一。定理3x(/)是均方h可积徳当且仅当对任意e> 0,存在实值函数d(x)>0,対任意

11、d(x)细分片=兀,召吠,心1,2丄，川和& = 讪,切必,心1,2丄，?,有r(s“,s,”)v e,其nm中 s“ =x(x,.)(x/ 耳 |),s,“ = x(x挟舛-冷 |)./=1/=1证明:(p)设 xo=b"x(/)df,所以有 r(szhs/n) (s“,x°)+ r(s,",x°)< ea(cl)取一列单调下降到o的序列e“，对每个e“，存在4?(x)>0,使对任意两个细分° ,q有r(sps2)< ezj,其中s和s?是d和6上的黎曼和。可设4(切单调递减，对每个d“(x)细分作黎曼和sn, n

12、= 1,2丄.当加n时，由于d,h (x) < d, (x),由引理1知细分 也是4(兀)细分,因而<r(5n,sw)< e，即(sntn3 1为厶?中柯西序列,由芒的完备性可知存在 f.r.v.xq i £2,使得 r(s“,xo)0。对任意e>0,存在n,使e < |,同时有r(s”,x()v号成立，对此d”(x)的任意细分p, 有g,sm)(s“,x°)+ r(s加,x°)< e所以x(r)是均方h可积的。定理4如果x(r)在区间a,c, c,b上都是均方h可积的(ovcvb),则x(r)在a,b上是 均方h可积的，并且有

13、姑x(r)dr= ：x(r)df+ :xdt。cb证明：设厶=x(t)dtj2= x山。acx(f)在a,ca/czb±均方h可积，因而，对给定的e> 0,存在d)(x)> 0和0,对a,c的任意djo)细分 d= tj.,= 1,2,l ,和c,b的任意q(x)细分d2 = 触,"內,心1,2丄，加,有j1er(a x(xj4 61)/)v 亍/=i2oner(a x(x£ -.1),/2)<-o/=i2令d(x)为式(2)所定义，则对a,b的任意d(x)细分，有引理1的(3),可设c总是一个分 点。(如果c是某个关联点，可将c增加为分点，此时

14、，d(x)细分的黎曼和保持不变。)又由引理1的(2)知a,c.上d(x)细分也是业兀)细分，c,b上 心)细分也是4(兀)细分。对a,b 的任意d(兀)细分耳1，兀站,心1,2,l ,灯，其上黎曼和去可表示为两部分,不妨设 s& = s + s?，其中s表不a,c上的和，s?表不c,b上的和。因此，w+ /2)= r(sj+ s2,zj+ 12) (sjj+ r(s2,z2)< e即x(f)是均方h可积的，且有 幷xd心 :x山+ :x山。4二阶模糊随机过程均方henstockstiehjes积分的收敛定理及 可导性定理5设g是b上的增实函数，二阶模糊随机过程序列乙关于g在a,b

15、上均 方henstock-stieltjes nj积，且一致收敛于二阶模糊随机过程x(f),则x«)在a,b±关于 g(/)是均方henstock-stieltjes可积的,并且bb(r) lim xn(t)dg(t)= x(t)dg(t)naa证明：x”一致收敛于x(r),对任意e> 0,当n时，有sup r(xn(r),x(r)< t a.b由于x“(f)关于g在a,b上均方henstock-stieltjes可积，则对e存在尺度惭数d”(f)> 0,使得当 tntn 是0, b的任意 4 精细划分时，有 r(st-ist )< e,其a sti

16、= a x“(x(ga) """i- 1现令d(r)= dn(r),使得对区间a,b±的任意d精细划分刁和込，有和式= a x *坍g(tj_ |), sr = a, x(xjg(/j) g(s j,则 /= 1 /=!r(ss沪 r(x(x頂g(a g(侶儿 x(x,麻(护 g(")/=i/=irk(x(xi)g©)- g j,x”(xjg(0- g(") +/= 1i= 1l/r( x(xjg©) g(/j,x“(xj)g®) g(6j) +/= 1/= 1kir( x(x/i)tg(g gdl),g

17、(4)2eg(“) g(d)+1qg(b) g(a)+ e< 3ez=l/=!v 2 sup r(xn(tx(r)qg(b) g(a)+ e< t a,b因此 x(/)在a,b±关于 g(t)是均方 henstock-stieltjes uf积的。r( x3g(dx(gg)(xfx心 su p(xqx(f)dg(f)aaaa t a,bev ©g® g(d)veg(0) g(a)+ 1即bb(r) lim x(/)dg(/)= x(/)dgn aa定理6设二阶模糊随机过程x在a,b±连续，a是a,b上的实值增函数，g(x)=虫为x(f)在a,

18、b上均方hs积分的原函数，则g在a,b上均方a可导,且对任意的八atb,有g典)=x(z)o证明：由二阶模糊随机过程x(t)在a,b上连续,则x(r)在a,b上关于a(r)均方hs可积, 对任意给定的zol a,b,有r(x(/),x«o)关丁乜均方rs可积，对任何区间r,s满足0 fr,5 (r0- d(r0),r0 + ckr0),有r(g(_g( x1r(g(5)- ggx(ro)a($) a(r)a(s) a(r)a(s) a(r)| $ £= r( x(/)da(/),x(z0)ja(r)a(5)- a(r) 厂厂" (rs)d (x,x(/o)m(/).a (5